Cualquier cocinero con experiencia sabe hacer tres cosas a la vez sin quemar nada… y también sabe qué combinaciones acaban en desastre. Con el método de Gauss pasa lo mismo: hay atajos que ahorran muchísimo tiempo y trampas que convierten una matriz en ceros como por arte de magia. Hoy aprendes a distinguirlos.
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Si dos operaciones «se muerden la cola», una matriz no nula puede acabar siendo cero. Y eso es imposible con operaciones elementales.
Ya sabes hacer Gauss y Gauss‑Jordan. Este post cierra el Bloque C con tres cosas que separan al principiante del que domina el método:
- Atajos seguros: elegir buenos pivotes, evitar fracciones y hacer varias operaciones en un solo paso.
- Los errores que más puntos cuestan: el «ciclo», dividir por algo que puede ser cero…
- Operaciones por columnas: la versión «en espejo» de todo lo que has aprendido, y su significado como cambio de variables.
Atajos que no rompen nada
El algoritmo de Gauss del post 10 es «oficial» y siempre funciona, pero no siempre es el más cómodo. Estos atajos son completamente legales:
Elige un pivote cómodo
No tienes por qué usar el primer número no nulo de la columna. Si hay un 1 o un \(-1\) en otra fila, súbelo con un intercambio. En general, conviene el pivote de menor valor absoluto que divida a los demás de su columna: así no aparecen fracciones.
La operación «doble»
\(f_i\to\alpha f_i+\beta f_j\), con \(\alpha\neq0\), es multiplicar \(f_i\) por \(\alpha\) (Tipo III) y luego sumarle \(\beta f_j\) (Tipo II). Sirve para hacer ceros sin fracciones:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_2\to3f_2-2f_1}\begin{pmatrix}3 & 2\\ 0 & 11\end{pmatrix}\end{aligned}\]Una fila, muchas víctimas
Si usas la misma fila \(f_j\) para modificar varias filas distintas, puedes hacerlo todo en un paso. Es lo que haces en cada vuelta de Gauss.
\[\xrightarrow[f_4\to f_4-4f_1]{f_2\to f_2-2f_1,\ f_3\to f_3-f_1}\]Escalar varias filas a la vez
Multiplicar varias filas, cada una por su número no nulo, también se puede hacer de golpe. Por ejemplo, \(f_1\to\tfrac12f_1\), \(f_3\to-\tfrac13f_3\) a la vez. Es muy útil para dejar todos los pivotes en 1 al final de Gauss‑Jordan.
Reordenar todas las filas de golpe
Una permutación cualquiera de las filas (por ejemplo, la 1 a la posición 4, la 4 a la 2, la 2 a la 3 y la 3 a la 1) es una sucesión de intercambios, y se puede escribir en un solo paso. Así se bajan todas las filas nulas al final.
Ninguna fila que se va a modificar puede usarse, en ese mismo paso, para modificar otra.
Si cumples la regla, hacer las operaciones «a la vez» da exactamente lo mismo que hacerlas una detrás de otra. Si no la cumples, puedes llegar a una matriz que no es equivalente a la original.
Los errores que más puntos cuestan
Error 1: el ciclo
Es el de la portada. Con \(A=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}\), parece razonable hacer de golpe \(f_1\to f_1-2f_2\) y \(f_2\to f_2-\tfrac12f_1\), calculando cada una con la matriz original:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow[\text{¡a la vez!}]{f_1\to f_1-2f_2,\ f_2\to f_2-\frac12f_1}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{✗}\end{aligned}\]¡La matriz se ha convertido en la nula! Y eso es imposible con operaciones elementales: todas se pueden deshacer, y desde la matriz nula ninguna operación elemental te devuelve a una matriz no nula. ¿Qué ha pasado? Que \(f_1\) se modifica usando \(f_2\), y \(f_2\) se modifica usando \(f_1\): un ciclo. Se ha violado la regla de oro. Hecho bien, de una en una:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_1\to f_1-2f_2}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_2\to f_2-\frac12f_1}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}\quad\text{✓}\end{aligned}\]La segunda operación ya no hace nada, porque la nueva \(f_1\) es nula. El resultado correcto tiene una fila no nula, no ninguna.
Error 2: dividir por algo que puede ser cero
Con parámetros, es muy tentador hacer \(f_2\to f_2-\tfrac1af_1\). Pero si \(a\) puede valer 0, esa operación no existe para ese valor. Lo correcto es: o bien usar \(f_2\to af_2-f_1\) (que solo exige \(a\neq0\) como coeficiente de la fila que modificas, y estudiar \(a=0\) aparte), o bien separar los casos desde el principio. Lo practicarás en el ejercicio 12.7.
Error 3: sustituir una fila sin conservarla
«\(f_2\to3f_1\)» (cambiar la fila 2 por el triple de la 1) no es una operación elemental: es \(f_2\to0\cdot f_2+3f_1\), y el coeficiente de la fila que se modifica es 0. La información de \(f_2\) se pierde. En \(f_i\to\alpha f_i+\beta f_j\), la fila que cambia tiene que conservar un coeficiente \(\alpha\neq0\).
Operaciones por columnas: el mundo en el espejo
Todo lo que has aprendido con filas se puede hacer con columnas. Las operaciones elementales por columnas son las mismas tres:
- Tipo I: \(c_i\leftrightarrow c_j\), intercambiar dos columnas.
- Tipo II: \(c_i\to c_i+\beta c_j\) (\(j\neq i\)), sumar a una columna otra multiplicada por un número.
- Tipo III: \(c_i\to\alpha c_i\) con \(\alpha\neq0\), multiplicar una columna por un número no nulo.
Aplicar una operación elemental de columnas a \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es multiplicar \(A\) por la derecha por una matriz elemental \(F\) de orden \(n\): \(A\to AF\). La matriz \(F\) es la que resulta de aplicar esa operación de columnas a \(I_n\).
Ojo con un detalle: para \(c_i\to c_i+\beta c_j\), la \(\beta\) de \(F\) va en la posición \((j,i)\), al revés que en las filas. Es lógico: la columna \(i\) de \(AF\) es \(A\) por la columna \(i\) de \(F\), y esa columna tiene que «coger» \(c_i\) y \(\beta\) veces \(c_j\). Por ejemplo:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 3\\ 1 & 0 & 4 & -2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{c_2\to c_2-2c_1}\begin{pmatrix}2 & -5 & 0 & 3\\ 1 & -2 & 4 & -2\end{pmatrix}\end{aligned}\]El truco de la traspuesta
Todo lo que hagas por columnas en \(A\) es lo mismo que hacer por filas en \(A^t\) y trasponer al final. Por eso no hace falta aprender nada nuevo:
- Dos matrices son equivalentes por columnas, \(A\sim_cB\), si se pasa de una a otra con operaciones de columnas, es decir, si \(B=AF_1\cdots F_h\). Es una relación de equivalencia.
- Existen la escalonada por columnas, la escalonada reducida por columnas y la forma de Hermite por columnas, \(H_c(A)\), cambiando el papel de filas y columnas.
- Y la forma práctica de calcularla es: \(H_c(A)=\big(H_f(A^t)\big)^t\).
¿Qué significan las columnas? Cambiar de variables
Si \(A\) es la matriz de coeficientes de un sistema \(Ax=b\), las dos clases de operaciones tienen significados muy distintos:
- Operar por filas es combinar ecuaciones. Las soluciones no cambian. Por eso Gauss se hace por filas.
- Operar por columnas es cambiar las incógnitas: si \(x=Fx'\), el sistema se convierte en \((AF)x'=b\). Las soluciones cambian, porque ahora son otras variables, pero se recuperan las originales con \(x=Fx'\).
En física, cambiar de variables es una de las herramientas más poderosas que existen: pasar a coordenadas del centro de masas, a coordenadas polares, a los «modos normales» de un sistema que vibra… Combinando bien las filas y las columnas, un problema acoplado se puede convertir en varios problemas independientes. Lo verás en el ejercicio 12.8.
Matrices equivalentes: filas y columnas a la vez
\(A\) y \(B\) son equivalentes, \(A\sim B\), si se puede pasar de una a otra con operaciones elementales de filas y de columnas. Es decir, si existen matrices elementales \(E_1,\dots,E_k\) y \(F_1,\dots,F_h\) tales que
\[B=E_k\cdots E_1\,A\,F_1\cdots F_h\]También es una relación de equivalencia. Con filas y columnas a la vez se puede simplificar muchísimo. Por ejemplo, tras escalonar y reducir por filas, las operaciones de columnas permiten «barrer» todo lo que queda fuera de los pivotes:
\[\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\sim_f\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\sim_c\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\](con \(c_3\to c_3-c_1\) y después \(c_3\to c_3-c_2\)). Al final queda una identidad rodeada de ceros. En el post 14 verás que esto se puede hacer con cualquier matriz, y que el tamaño de esa identidad (aquí, 2) es justamente el rango.
Ocho ejercicios de oficio
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Se pueden hacer a la vez?
Para cada grupo de operaciones, di si se puede hacer en un solo paso sin peligro:
a) \(f_2\to f_2-3f_1\), \(f_3\to f_3+f_1\), \(f_4\to f_4-2f_1\). b) \(f_1\to f_1+f_3\), \(f_3\to f_3-f_1\). c) \(f_2\to 2f_2\), \(f_3\to-f_3\). d) \(f_2\to f_2-f_1\), \(f_3\to f_3-f_2\). e) \(f_1\to 0f_1+f_2\).
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Aplica la regla de oro: ¿alguna fila que se modifica se está usando para modificar otra en el mismo paso?
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- a) Sí: todas usan \(f_1\), que no se modifica.
- b) No: es un ciclo (\(f_1\) usa \(f_3\) y \(f_3\) usa \(f_1\)).
- c) Sí: escalar varias filas por números no nulos.
- d) No, tal cual: \(f_2\) se modifica y también se usa para modificar \(f_3\). Hay que hacerlas en orden: primero la de \(f_2\) y, con la \(f_2\) nueva, la de \(f_3\). Hechas «a la vez», el resultado sería distinto.
- e) No es una operación elemental: el coeficiente de \(f_1\) es 0 y la fila 1 se pierde.
Gauss sin fracciones
Escalona \(\begin{pmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & -1\\ 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) usando operaciones «dobles» \(f_i\to\alpha f_i+\beta f_j\) para no usar fracciones.
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Primera vuelta: \(f_2\to3f_2-2f_1\) y \(f_3\to3f_3-4f_1\) (las dos usan \(f_1\), así que se pueden hacer a la vez). Segunda vuelta: el pivote es 11 y debajo hay un \(-5\).
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Ni una fracción. (Otra opción en la segunda vuelta: subir la fila con el \(-5\), o dividir antes \(f_3\) entre 5. Hay muchos caminos correctos.)
Cazar el ciclo
Con \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}\), un estudiante hace «a la vez» \(f_1\to f_1-f_2\) y \(f_2\to f_2-f_1\), calculando las dos con la matriz original. ¿Qué obtiene? ¿Qué obtendría haciéndolas en orden? ¿Cuál de los dos resultados es equivalente por filas a \(A\)?
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Calcula las dos versiones y escalónalas. Fíjate en cuántas filas no nulas quedan.
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«A la vez»: \(f_1'=(1-3\ \ 2-4)=(-2\ \ -2)\) y \(f_2'=(3-1\ \ 4-2)=(2\ \ 2)\). Las dos filas son opuestas: escalonando, queda una sola fila no nula.
En orden: primero \(f_1\to f_1-f_2\) da \((-2\ \ -2)\). Después \(f_2\to f_2-f_1\), con la \(f_1\) nueva, da \((3+2\ \ 4+2)=(5\ \ 6)\). La matriz \(\begin{pmatrix}-2 & -2\\ 5 & 6\end{pmatrix}\) tiene dos filas independientes, igual que \(A\).
Solo el resultado «en orden» es equivalente por filas a \(A\). El ciclo ha destruido información: ha convertido dos filas independientes en dos filas proporcionales.
Operar por columnas, con matrices
Sea \(B=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 3\\ 1 & 0 & 4 & -2\end{pmatrix}\).
a) Escribe la matriz elemental \(F\) de orden 4 de la operación \(c_2\to c_2-2c_1\) y comprueba que \(BF\) da lo mismo que operar directamente. b) ¿Qué matriz elemental de filas es \(F\)?
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Aplica \(c_2\to c_2-2c_1\) a \(I_4\): la columna 2 de \(I_4\) es \(e_2\) y le restas 2 veces \(e_1\). ¿En qué posición acaba el \(-2\)?
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a) \(F=I_4\) con un \(-2\) en la posición \((1,2)\). Su columna 2 es \((-2,1,0,0)^t\), así que la columna 2 de \(BF\) es \(-2c_1+c_2\):
\[BF=\begin{pmatrix}2 & -5 & 0 & 3\\ 1 & -2 & 4 & -2\end{pmatrix}\ ✔\]b) Una matriz con \(-2\) en la posición \((1,2)\) es, como matriz de filas, \(E_{f_1\to f_1-2f_2}\). Es decir: \(F_{c_i\to c_i+\beta c_j}=E_{f_j\to f_j+\beta f_i}\). Los índices se cruzan.
La forma de Hermite por columnas
Calcula \(H_f(A)\) y \(H_c(A)\) para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\). ¿Coinciden?
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Para \(H_c(A)\), calcula \(H_f(A^t)\) y traspón el resultado.
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Por filas: \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-f_1\) dan las filas \((0\ \ 0\ \ 1)\) y \((0\ \ 0\ \ 1)\). Luego \(f_3\to f_3-f_2\):
\[H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]Por columnas: \(A^t=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\), y \(H_f(A^t)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\). Trasponiendo:
\[H_c(A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\]No coinciden, pero las dos tienen 2 pivotes. Esa coincidencia no es casualidad: es el rango (post 13).
Barrer con filas y columnas
Usando operaciones de filas y de columnas, transforma \(C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 4\end{pmatrix}\) en una matriz de la forma \(\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). ¿Cuánto vale \(r\)?
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Primero filas: \(f_2\to f_2-2f_1\). Después columnas, usando la columna 1 para hacer ceros en las columnas 2 y 3.
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\(r=1\). Las dos operaciones de columnas usan \(c_1\), que no se modifica, así que se pueden agrupar.
No dividas por lo que puede ser cero
Escalona \(A=\begin{pmatrix}a & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}\) en función de \(a\in\mathbb{R}\), sin dividir por ninguna expresión que pueda anularse. ¿Para qué valores de \(a\) aparece una fila nula?
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Una forma limpia: empieza con \(f_1\leftrightarrow f_2\) para tener un 1 de pivote. Así no tienes que preocuparte por \(a=0\).
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Ninguna operación divide por nada. La fila 2 es nula si y solo si \(1-a^2=0\), es decir, si \(a=1\) o \(a=-1\). Para cualquier otro valor (incluido \(a=0\)) hay dos pivotes.
¿Qué habría pasado con \(f_2\to f_2-\tfrac1af_1\) sin intercambiar? Que habría que excluir \(a=0\) y estudiarlo aparte. Es fácil olvidarlo, y en un examen ese caso «olvidado» suele valer puntos.
Desacoplar dos osciladores
Dos masas iguales unidas entre sí por un muelle, y cada una unida a una pared, cumplen (en unidades adecuadas) \(\ddot x=-Ax\), con \(x=\binom{x_1}{x_2}\) y
\[A=\begin{pmatrix}3 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}\]La matriz no es diagonal: el movimiento de cada masa depende del de la otra (están acopladas). Probamos el cambio de variables \(x=Fx'\) con \(F=\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\) y combinamos las ecuaciones con \(P=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\).
a) Calcula \(AF\) y después \(PAF\). b) ¿Qué significan las nuevas variables \(x'=(u,v)\)? (Pista: \(x_1=\tfrac{u+v}2\), \(x_2=\tfrac{u-v}2\).) c) Interpreta físicamente el resultado.
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\(PF=I_2\) (compruébalo). Así, multiplicando \(\ddot x=-Ax\) por \(P\) y sustituyendo \(x=Fx'\), queda \(\ddot x'=-(PAF)\,x'\).
Ver solución
a) ¡Una matriz diagonal! Las columnas (cambio de variables) y las filas (combinación de ecuaciones) han desacoplado el sistema.
b) Despejando, \(u=x_1+x_2\) y \(v=x_1-x_2\). \(u\) mide el movimiento en fase (las dos masas hacia el mismo lado) y \(v\) el movimiento en contrafase (cada una hacia un lado).
c) Ahora las ecuaciones son independientes: \(\ddot u=-2u\) y \(\ddot v=-4v\). Son dos osciladores separados, con \(\omega^2=2\) y \(\omega^2=4\). Se llaman modos normales. Cuando vibran en fase, el muelle central no se estira y oscilan más despacio. En contrafase, ese muelle trabaja y oscilan más deprisa. Encontrar las \(P\) y \(F\) adecuadas de forma sistemática es lo que aprenderás al diagonalizar matrices, más adelante en la asignatura.
La lista negra
- Ciclos. Modificar una fila con otra que a su vez se está modificando en el mismo paso.
- Coeficiente cero en la fila que cambia. \(f_i\to0f_i+\beta f_j\) no es legal. En \(f_i\to\alpha f_i+\beta f_j\), siempre \(\alpha\neq0\).
- Dividir por un parámetro. Si escribes \(\tfrac1a\), tienes que estudiar \(a=0\) aparte.
- Mezclar filas y columnas en un sistema. Para resolver \(Ax=b\) se opera por filas. Las columnas cambian las incógnitas.
- Colocar mal la \(\beta\) en una matriz de columnas. Para \(c_i\to c_i+\beta c_j\), va en la posición \((j,i)\).
Lo imprescindible del post
Atajos
- Pivote cómodo: un 1, o el menor que divida a los demás.
- \(f_i\to\alpha f_i+\beta f_j\) con \(\alpha\neq0\), para evitar fracciones.
- Se pueden agrupar operaciones si ninguna fila modificada se usa para modificar otra.
Columnas y equivalencia
- Operar columnas: \(A\to AF\), por la derecha.
- \(H_c(A)=\big(H_f(A^t)\big)^t\).
- \(A\sim B\iff B=E_k\cdots E_1AF_1\cdots F_h\).
- Filas = combinar ecuaciones. Columnas = cambiar incógnitas.
Bloque C, completado
Ya dominas el método de Gauss de verdad: sabes escalonar, reducir hasta Hermite, ahorrar pasos sin romper nada y evitar los errores que más puntos cuestan. Y has visto que las columnas son el espejo de las filas, con un significado propio: cambiar de variables.
Durante todo el bloque ha ido apareciendo una pregunta: ¿cuántas filas de información real tiene una matriz? Las escalonadas distintas coincidían en eso, y las formas de Hermite por filas y por columnas, también. En el próximo post ese número recibe por fin su nombre: el rango.
Rápido, sí. Pero sin morderse la cola.
Siguiente: el rango de una matriz →Un buen artesano no es el que más rápido trabaja, sino el que sabe exactamente qué atajos puede tomar.
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