Cinco testigos declaran sobre un accidente, pero tres de ellos se limitan a repetir lo que dijeron los otros. ¿Cuántas declaraciones aportan información de verdad? Dos. Ese número, el de la información que no se repite, es lo que en una matriz se llama rango.
desliza para ver todo →
Una matriz \(3\times3\) transforma el espacio. Su rango dice cuántas dimensiones «sobreviven» a la transformación: 3, 2 (como cuando el Sol proyecta tu sombra sobre el suelo) o 1.
Durante todo el Bloque C ha aparecido una y otra vez la misma idea. Hay filas que sobran porque son combinación de las demás, y cuando escalonas aparecen filas nulas. Las escalonadas distintas de una misma matriz tenían el mismo número de filas no nulas, y las formas de Hermite por filas y por columnas tenían el mismo número de pivotes.
Hoy ese número recibe su nombre: el rango. Es uno de los conceptos más importantes de toda la asignatura. Te dirá si un sistema tiene solución, si una matriz tiene inversa, cuántas ecuaciones de verdad hay en un problema físico y, más adelante, la dimensión de los espacios que una matriz es capaz de «alcanzar».
El rango: la información que no se repite
El rango de una matriz \(A\), que se escribe \(\operatorname{rg}(A)\), es el máximo número de filas independientes que tiene \(A\).
Es justo lo que calculaba el procedimiento del post 09 para encontrar un «conjunto máximo de filas independientes»: el tamaño de ese conjunto es el rango. Unos cuantos casos que se ven a simple vista:
- La matriz nula tiene rango 0: no tiene ninguna fila independiente. Y es la única con rango 0.
- \(I_n\) tiene rango \(n\): todas sus filas son independientes.
- Si todas las filas son proporcionales a una fila no nula, el rango es 1. Por ejemplo, \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 6\\ -2 & -4\end{pmatrix}\) tiene rango 1.
- Una matriz diagonal tiene como rango el número de elementos no nulos de su diagonal: \(\operatorname{rg}\big(\operatorname{diag}(2,0,5)\big)=2\).
Cómo se calcula: escalona y cuenta
Buscar «a mano» el máximo número de filas independientes puede ser muy pesado. Por suerte, hay un método mecánico, y se apoya en dos resultados:
El rango de una matriz escalonada es igual a su número de filas no nulas.
Por qué: las filas nulas nunca cuentan, así que basta ver que las no nulas, \(f_1,\dots,f_t\), son independientes. Supón que \(\alpha_1f_1+\cdots+\alpha_tf_t=0\) con algún coeficiente no nulo, y sea \(\alpha_k\) el primero de ellos. Mira la columna del pivote de \(f_k\): las filas de debajo tienen ahí un 0 (están en la escalera, más a la derecha), y las de arriba tienen coeficiente 0 en la combinación. Así que la combinación vale, en esa columna, \(\alpha_k\cdot(\text{pivote})\neq0\). Contradicción. \(\blacksquare\)
Dos matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango.
La idea: si \(A\sim_fB\), cada fila de \(B\) es combinación de las filas de \(A\) y viceversa (post 09). Así que las dos matrices «contienen la misma información», solo que escrita de otra forma, y la cantidad de información independiente no puede cambiar. (Hacerlo con todo rigor necesita un poco más de maquinaria, la noción de dimensión, pero la idea de fondo es exactamente esta.)
Juntando los dos resultados:
El rango de una matriz es el número de filas no nulas de cualquier matriz escalonada equivalente por filas a ella.
- Escalona la matriz con el método de Gauss.
- Cuenta las filas no nulas (o los pivotes, que es lo mismo).
- Ese número es el rango, sea cual sea el camino que hayas seguido.
Calcula el rango de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\ 2 & 4 & 1 & 7\\ 3 & 6 & 1 & 10\end{pmatrix}\).
\[\begin{aligned}A&\xrightarrow[f_3\to f_3-3f_1]{f_2\to f_2-2f_1}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_3\to f_3-f_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}\]Dos filas no nulas: \(\operatorname{rg}(A)=2\). No es casualidad: la tercera fila de \(A\) es la suma de las dos primeras (\(1+2=3\), \(2+4=6\), \(0+1=1\), \(3+7=10\)). ✔
Filas y columnas dicen lo mismo
Hemos definido el rango con las filas. ¿Y si contáramos columnas independientes? Sorprendentemente, sale el mismo número:
Para toda matriz \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\):
- \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\). Es decir, el máximo número de filas independientes coincide con el máximo número de columnas independientes.
- \(\operatorname{rg}(A)\le\min\{m,n\}\).
No es nada evidente. Una matriz \(3\times7\) tiene 7 columnas, pero como mucho 3 de ellas pueden ser independientes, porque solo tiene 3 filas. La demostración la verás en el próximo post, con la equivalencia de matrices.
En la práctica, esto te da libertad: puedes calcular el rango escalonando por filas, por columnas, o como te resulte más cómodo. Por ejemplo, la matriz \(\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0\\ 6 & 7 & 0\end{pmatrix}\) no es escalonada por filas, pero sí lo es «por columnas» (sus columnas forman una escalera hacia abajo), y tiene 2 columnas no nulas. Su rango es 2.
Matrices cuadradas con rango máximo
Sea \(A\) una matriz cuadrada de orden \(n\). Son equivalentes:
- \(\operatorname{rg}(A)=n\);
- \(A\sim_fI_n\), es decir, \(H_f(A)=I_n\);
- \(A\) es un producto de matrices elementales de orden \(n\).
Por qué: (1⇔2) la única escalonada reducida de orden \(n\) con \(n\) filas no nulas es \(I_n\), porque tiene \(n\) pivotes iguales a 1 en una matriz \(n\times n\), así que están todos en la diagonal. (2⇔3) \(A\sim_fI_n\) significa que existen elementales con \(A=E_k\cdots E_1I_n=E_k\cdots E_1\). \(\blacksquare\)
Este teorema es la primera pieza del «gran resultado del Tema 1» que viste en el post 0. En el post 15 añadiremos la pieza que falta: estas son exactamente las matrices que tienen inversa.
Rangos con parámetros
Un tipo de ejercicio que aparece muchísimo: calcular el rango de una matriz con un parámetro, según el valor del parámetro. La estrategia es siempre la misma:
- Escalona sin dividir por nada que contenga el parámetro (post 12).
- Al final, mira qué entradas dependen del parámetro y busca los valores que las anulan.
- Estudia por separado cada uno de esos valores especiales y el caso general.
Calcula el rango de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & a & 1\\ 3 & 6 & a\end{pmatrix}\) según el valor de \(a\in\mathbb{R}\).
\[A\xrightarrow[f_3\to f_3-3f_1]{f_2\to f_2-2f_1}\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 0 & a-4 & -1\\ 0 & 0 & a-3\end{pmatrix}\]rg = 3 si a ≠ 3, 4 · rg = 2 si a = 3 o a = 4
El caso \(a=4\) es una trampa típica: el «pivote» \(a-4\) se anula y la escalera se rompe. Siempre hay que volver a escalonar en los casos especiales.
El rango en el mundo real
- CircuitosEcuaciones de verdadEn el post 09 viste que en un circuito con \(N\) nudos solo \(N-1\) ecuaciones de nudos son independientes: la matriz de esas ecuaciones tiene rango \(N-1\), no \(N\).
- ÓpticaUn filtro que aplastaUn polarizador ideal tiene una matriz \(2\times2\) de rango 1: de las dos direcciones de vibración de la luz, solo una «sobrevive».
- SombrasProyeccionesProyectar el espacio sobre un plano (como el Sol proyecta tu sombra en el suelo) es una matriz \(3\times3\) de rango 2: se pierde una dimensión.
- QuímicaReacciones independientesEn un sistema con varias reacciones, el número de reacciones realmente independientes es el rango de su matriz estequiométrica. Lo verás en el ejercicio 13.8.
Ocho ejercicios para medir información
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Rangos a simple vista
Sin hacer apenas cuentas, da el rango de cada matriz:
Ver pista
¿Hay filas proporcionales? ¿Cuántos elementos no nulos tiene la diagonal de \(R\)? ¿\(S\) es escalonada?
Ver solución
\(\operatorname{rg}(P)=0\) (es la nula). \(\operatorname{rg}(Q)=1\), porque la fila 2 es \(-2\) veces la fila 1. \(\operatorname{rg}(R)=2\) (diagonal con dos elementos no nulos). \(\operatorname{rg}(S)=2\) (escalonada con dos filas no nulas).
Escalona y cuenta
Calcula el rango de \(B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 4 & -1 & 5\\ 3 & 0 & 3\end{pmatrix}\).
Ver pista
El rango no puede ser mayor que 3 (solo hay 3 columnas). Escalona y cuenta.
Ver solución
\(\operatorname{rg}(B)=2\). Cuatro filas, pero solo dos de información real.
Cotas para el rango
a) Una matriz \(4\times7\), ¿qué rango máximo puede tener? b) Una matriz \(5\times5\) con dos filas iguales, ¿puede tener rango 5? c) Si \(A\) es \(3\times3\) y \(\operatorname{rg}(A)=3\), ¿cuánto vale \(H_f(A)\)?
Ver pista
Usa \(\operatorname{rg}(A)\le\min\{m,n\}\) y el teorema del rango máximo.
Ver solución
a) Como mucho \(\min\{4,7\}=4\). b) No: si dos filas son iguales, son dependientes, así que como mucho habrá 4 filas independientes. c) \(H_f(A)=I_3\).
Por filas y por columnas
Sea \(C=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 6\\ 0 & 1\\ 1 & 4\end{pmatrix}\). Calcula \(\operatorname{rg}(C)\) y \(\operatorname{rg}(C^t)\), y comprueba que coinciden.
Ver pista
Para \(C^t\), que es \(2\times4\), basta ver si sus dos filas son proporcionales.
Ver solución
\(C\): con \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_4\to f_4-f_1\), la fila 2 se anula y las filas 3 y 4 quedan iguales, \((0\ \ 1)\). Con \(f_4\to f_4-f_3\) también se anula la 4. Solo sobreviven \((1\ \ 3)\) y \((0\ \ 1)\): \(\operatorname{rg}(C)=2\).
\(C^t=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}\): sus dos filas no son proporcionales (mira la tercera columna), así que \(\operatorname{rg}(C^t)=2\). ✔ Coinciden, como dice la teoría.
Tres parámetros, una condición
Calcula el rango de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & \alpha\\ 2 & 5 & \beta\\ 1 & 3 & \gamma\end{pmatrix}\) en función de \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\).
Ver pista
Los parámetros están solo en la última columna. Escalona con las dos primeras columnas, que no tienen parámetros.
Ver solución
\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(\alpha-\beta+\gamma\neq0\), y \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(\alpha-\beta+\gamma=0\). Nunca puede ser menor que 2, porque las dos primeras filas tienen pivotes que no dependen de nada.
Rango y escalares
a) Demuestra que si \(\alpha\neq0\), entonces \(\operatorname{rg}(\alpha A)=\operatorname{rg}(A)\). b) ¿Y si \(\alpha=0\)? c) Demuestra que si \(A\) tiene una fila nula, entonces \(\operatorname{rg}(A)<m\) (siendo \(m\) su número de filas).
Ver pista
a) Pasar de \(A\) a \(\alpha A\) es aplicar \(m\) operaciones de Tipo III. ¿Qué les pasa a las operaciones elementales con el rango?
Ver solución
a) \(\alpha A\) se obtiene de \(A\) multiplicando cada fila por \(\alpha\neq0\): son \(m\) operaciones elementales de Tipo III. Así que \(\alpha A\sim_fA\) y tienen el mismo rango. \(\blacksquare\)
b) Si \(\alpha=0\), entonces \(\alpha A=0\) y su rango es 0. Solo coincide con \(\operatorname{rg}(A)\) si \(A=0\).
c) Una fila nula no puede estar en ningún conjunto de filas independientes, así que como mucho hay \(m-1\) filas independientes. \(\blacksquare\)
El clásico de los clásicos
Calcula el rango de \(A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}\) según el valor de \(a\in\mathbb{R}\).
Ver pista
Para no dividir por \(a\), empieza con \(f_1\leftrightarrow f_3\), que deja un 1 de pivote. Al final te aparecerá un producto de dos factores con \(a\): busca cuándo se anula.
Ver solución
(En el último paso: \((1-a^2)+(1-a)=(1-a)(1+a)+(1-a)=(1-a)(2+a)\).)
- Si \(a\neq1\) y \(a\neq-2\): tres pivotes, \(\operatorname{rg}(A)=3\).
- Si \(a=1\): las filas 2 y 3 se anulan. Todas las filas de \(A\) son \((1\ \ 1\ \ 1)\), así que \(\operatorname{rg}(A)=1\).
- Si \(a=-2\): la fila 3 se anula y la 2 es \((0\ \ {-3}\ \ 3)\neq0\), así que \(\operatorname{rg}(A)=2\).
¿Cuántas reacciones independientes hay?
En la combustión del carbono intervienen C, O₂, CO y CO₂, y se proponen tres reacciones:
(1) \(\mathrm{C}+\mathrm{O_2}\to\mathrm{CO_2}\) (2) \(2\,\mathrm{C}+\mathrm{O_2}\to2\,\mathrm{CO}\) (3) \(2\,\mathrm{CO}+\mathrm{O_2}\to2\,\mathrm{CO_2}\)
Cada reacción se escribe como una fila con los coeficientes de (C, O₂, CO, CO₂), negativos para los reactivos y positivos para los productos. Por ejemplo, la (1) es \((-1\ \ -1\ \ 0\ \ 1)\).
a) Escribe la matriz \(3\times4\) de las tres reacciones y calcula su rango. b) ¿Qué significa químicamente?
Ver pista
Comprueba si la fila de la reacción (3) es combinación de las otras dos. Prueba con \(2\cdot(1)-(2)\).
Ver solución
a) \(2\cdot(-1\ \ -1\ \ 0\ \ 1)-(-2\ \ -1\ \ 2\ \ 0)=(0\ \ -1\ \ -2\ \ 2)\), que es la fila 3. Las filas 1 y 2 no son proporcionales, así que \(\operatorname{rg}(N)=2\).
b) Solo hay dos reacciones independientes. La tercera es «la primera dos veces menos la segunda»: si el carbono puede arder hasta CO₂ y también hasta CO, la conversión de CO en CO₂ no es un proceso nuevo, sino una combinación de los otros dos. En ingeniería química, el rango de esta matriz dice cuántas reacciones hay que estudiar de verdad.
Las trampas del rango
- Contar filas no nulas de una matriz no escalonada. \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\) tiene dos filas no nulas, pero rango 1. Primero se escalona, y después se cuenta.
- No volver a escalonar en los casos especiales. Cuando un parámetro anula un pivote, la escalera se puede romper (el caso \(a=4\) del ejemplo).
- Dividir por el parámetro. Es la forma más rápida de perder un caso.
- Creer que el rango puede superar el número de columnas. \(\operatorname{rg}(A)\le\min\{m,n\}\), siempre.
- Confundir «no hay filas iguales» con «rango máximo». Las filas pueden ser todas distintas y aun así dependientes, como en el ejercicio 13.8.
Lo imprescindible del post
Definición y cálculo
- \(\operatorname{rg}(A)\) = máximo número de filas independientes.
- Escalonada: rango = número de filas no nulas.
- \(A\sim_fB\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)\). Receta: escalona y cuenta.
- \(\operatorname{rg}(\alpha A)=\operatorname{rg}(A)\) si \(\alpha\neq0\).
Propiedades
- \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\): también es el máximo número de columnas independientes.
- \(\operatorname{rg}(A)\le\min\{m,n\}\).
- Orden \(n\): \(\operatorname{rg}(A)=n\iff H_f(A)=I_n\iff A\) es producto de elementales.
Un número que lo resume todo
El rango es la respuesta a la pregunta que nos acompaña desde el post 09: ¿cuánta información real hay en una matriz? Se calcula escalonando y contando, no cambia con las operaciones elementales, da lo mismo por filas que por columnas y decide si una matriz cuadrada se puede reducir a la identidad.
En el próximo post lo llevamos más lejos: veremos que dos matrices del mismo tamaño son equivalentes si y solo si tienen el mismo rango, demostraremos por qué \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\) y aprenderemos qué le pasa al rango cuando sumamos o multiplicamos matrices.
Muchas filas no significan mucha información.
Siguiente: matrices equivalentes y desigualdades del rango →Cinco testigos, dos verdades. El rango es el arte de no contar dos veces la misma historia.
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