Puedes estirar, aplastar y retorcer un trozo de plastilina todo lo que quieras, pero su masa no cambia. En física, a una cantidad así se la llama invariante. Las matrices tienen el suyo: por muchas operaciones de filas y columnas que hagas, el rango no se mueve. Y resulta que ese único número basta para saber si dos matrices son equivalentes.
desliza para ver todo →
Con operaciones de filas y columnas, cada matriz \(2\times3\) se puede llevar a uno de estos tres representantes. Debajo de cada uno, dos matrices de ese cajón, escritas fila a fila (la barra separa las filas).
En el post 12 definimos las matrices equivalentes: \(A\sim B\) si se pasa de una a otra con operaciones elementales de filas y de columnas, es decir, si
\[B=E_k\cdots E_1\,A\,F_1\cdots F_h\]con \(E_i\) y \(F_j\) elementales. Allí vimos un ejemplo en el que, combinando filas y columnas, la matriz acababa convertida en una identidad rodeada de ceros, y prometimos que eso pasa siempre. En el post 13 dejamos otra promesa pendiente: demostrar que \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\). Hoy cumplimos las dos y, de paso, aprendemos qué le pasa al rango cuando sumas o multiplicas matrices.
Las columnas tampoco cambian el rango
En el post 13 vimos que las operaciones de filas no cambian el rango. Para hablar de matrices equivalentes necesitamos lo mismo con las columnas, y no es tan evidente: al operar columnas, las filas cambian todas a la vez.
Si \(F\) es una matriz elemental, entonces \(\operatorname{rg}(AF)=\operatorname{rg}(A)\). Por tanto, \(A\sim_cB\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)\), y también \(A\sim B\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)\).
Por qué: la fila \(i\) de \(AF\) es \(f_iF\), donde \(f_i\) es la fila \(i\) de \(A\) (es la regla fila por matriz del producto). Entonces:
- Si unas filas de \(A\) cumplen \(\alpha_1f_{i_1}+\cdots+\alpha_tf_{i_t}=0\), multiplicando por \(F\) a la derecha, las mismas filas de \(AF\) cumplen la misma relación.
- Al revés: toda operación de columnas se puede deshacer con otra, es decir, existe una elemental \(F'\) con \(FF'=I\). Si \((\alpha_1f_{i_1}+\cdots+\alpha_tf_{i_t})F=0\), multiplicando por \(F'\) se obtiene \(\alpha_1f_{i_1}+\cdots+\alpha_tf_{i_t}=0\).
Así que un conjunto de filas de \(A\) es independiente si y solo si lo es el de las mismas filas de \(AF\), y el máximo número de filas independientes es el mismo. \(\blacksquare\)
La imagen física: operar columnas es cambiar de variables (post 12). Si dos ecuaciones decían lo mismo con las variables viejas, siguen diciendo lo mismo con las nuevas, y si eran independientes, siguen siéndolo. Cambiar de coordenadas no crea ni destruye información.
Toda matriz es, en el fondo, una identidad rodeada de ceros
Si \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) tiene rango \(r\), entonces
\[A\sim\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\](del mismo tamaño que \(A\)). Esta matriz se llama forma de Hermite de \(A\) y se escribe \(H(A)\). Es a la vez escalonada reducida por filas y por columnas.
Cómo se consigue (y es a la vez la demostración):
Halla la forma de Hermite de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\).
Por filas: con \(f_2\to f_2-2f_1\), \(f_3\to f_3-f_1\), después \(f_3\to f_3-f_2\) y por último \(f_1\to f_1-f_2\):
\[H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad\operatorname{rg}(A)=2\]Por columnas: barremos las filas de los pivotes y llevamos los unos a la diagonal.
\[\begin{aligned}H_f(A)&\xrightarrow[c_4\to c_4+c_1]{c_2\to c_2-2c_1}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{c_4\to c_4-c_3}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{c_2\leftrightarrow c_3}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}\]rg(A) = 2 → H(A) = I₂ rodeada de ceros (3×4)
Fíjate en lo poco que queda: de doce números, lo único que sobrevive es un 2, el rango. Todo lo demás era «forma», no «fondo».
La consecuencia: el rango lo decide todo
Dos matrices del mismo tamaño son equivalentes si y solo si tienen el mismo rango.
Por qué: (⇒) las operaciones de filas y de columnas no cambian el rango. (⇐) Si las dos tienen rango \(r\), las dos son equivalentes a la misma \(H=\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). Por simetría y transitividad, \(A\sim H\sim B\). \(\blacksquare\)
Esto es lo que dibuja la figura del principio: las matrices \(m\times n\) se reparten en «cajones» según su rango (\(0,1,\dots,\min\{m,n\}\)), y dentro de cada cajón todas son equivalentes entre sí.
Ojo: equivalentes no es lo mismo que equivalentes por filas. \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) tienen rango 1, así que son equivalentes (basta \(c_1\leftrightarrow c_2\)). Pero no son equivalentes por filas, porque son dos escalonadas reducidas distintas y la forma de Hermite por filas es única (post 11). Con solo filas, el rango ya no basta.
Por qué \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\)
Con la forma canónica, la demostración ocupa tres líneas. Si \(\operatorname{rg}(A)=r\), existen elementales con
\[A=E_k\cdots E_1\,H\,F_1\cdots F_h,\qquad H=\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\](despejando las operaciones al revés, porque cada una se deshace con otra elemental). Trasponiendo, y usando que la traspuesta de un producto es el producto de las traspuestas en orden inverso (post 08):
\[A^t=F_h^t\cdots F_1^t\,H^t\,E_1^t\cdots E_k^t\]- La traspuesta de una matriz elemental es elemental: las de intercambio y las de escalado son simétricas, y la traspuesta de «sumar \(\lambda\) veces la fila \(j\) a la fila \(i\)» es «sumar \(\lambda\) veces la fila \(i\) a la fila \(j\)».
- \(H^t=\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), ahora de tamaño \(n\times m\), y sigue teniendo rango \(r\).
Así que \(A^t\sim H^t\), y \(\operatorname{rg}(A^t)=\operatorname{rg}(H^t)=r\). \(\blacksquare\)
Y de regalo: \(\operatorname{rg}(A)\le m\), porque \(A\) tiene \(m\) filas, y \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\le n\), porque \(A^t\) tiene \(n\) filas. Por tanto \(\operatorname{rg}(A)\le\min\{m,n\}\).
Qué le pasa al rango al sumar y multiplicar
El rango no se comporta de forma sencilla con las operaciones. No hay una fórmula del tipo «el rango de la suma es la suma de los rangos». Lo que sí hay son desigualdades, y son muy útiles para razonar sin hacer cuentas.
Suma
\[|\operatorname{rg}A-\operatorname{rg}B|\le\operatorname{rg}(A+B)\] \[\operatorname{rg}(A+B)\le\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\]Al sumar, la información puede juntarse (como mucho, la de las dos) o cancelarse (pero no por debajo de la diferencia).
Producto
\[\operatorname{rg}(AD)\le\min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}D\}\]Una cadena de transformaciones es tan «ancha» como su eslabón más estrecho.
Factor de rango máximo
Si \(C\) es cuadrada de orden \(n\) con \(\operatorname{rg}(C)=n\):
\[\operatorname{rg}(AC)=\operatorname{rg}(A),\quad\operatorname{rg}(CD)=\operatorname{rg}(D)\]Multiplicar por ella no gana ni pierde información.
El rango de la suma
Cota superior. Apila \(A+B\) encima de \(B\), formando una matriz \(2m\times n\). Cualquier conjunto de filas independientes de \(A+B\) sigue siéndolo dentro de la matriz apilada, así que
\[\operatorname{rg}(A+B)\le\operatorname{rg}\begin{pmatrix}A+B\\ B\end{pmatrix}=\operatorname{rg}\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}\]La igualdad sale de restar a cada fila de arriba la fila correspondiente de abajo, que son operaciones elementales. Ahora escalona por separado el bloque de \(A\) y el de \(B\) (operaciones de filas dentro de cada bloque): quedan \(\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\) filas no nulas en total, y el rango nunca supera el número de filas no nulas. Por tanto, \(\operatorname{rg}(A+B)\le\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\).
Cota inferior. El truco es escribir \(A=(A+B)+(-B)\). Por la cota superior, y como \(\operatorname{rg}(-B)=\operatorname{rg}(B)\):
\[\operatorname{rg}A\le\operatorname{rg}(A+B)+\operatorname{rg}B\]Es decir, \(\operatorname{rg}(A+B)\ge\operatorname{rg}A-\operatorname{rg}B\). Cambiando los papeles, \(\operatorname{rg}(A+B)\ge\operatorname{rg}B-\operatorname{rg}A\). Las dos juntas dan el valor absoluto. \(\blacksquare\)
El rango del producto
desliza para ver todo →
En el producto \(AD\) aplicado a un vector, primero actúa \(D\) y después \(A\). La información que sale nunca es más ancha que el paso más estrecho.
Por qué \(\operatorname{rg}(AD)\le\operatorname{rg}A\): sea \(\operatorname{rg}(A)=r\). Por Gauss‑Jordan, \(H_f(A)=EA\), donde \(E\) es un producto de elementales. Entonces \(E(AD)=H_f(A)\,D\), y como las últimas \(m-r\) filas de \(H_f(A)\) son nulas, también lo son las de \(H_f(A)\,D\). Esa matriz tiene como mucho \(r\) filas no nulas y es equivalente por filas a \(AD\), así que \(\operatorname{rg}(AD)\le r\).
Por qué \(\operatorname{rg}(AD)\le\operatorname{rg}D\): la misma idea con columnas. Con \(H_c(D)=DF\) y \(\operatorname{rg}(D)=s\), \((AD)F=A\,H_c(D)\) tiene como mucho \(s\) columnas no nulas. Como el rango es también el máximo número de columnas independientes, \(\operatorname{rg}(AD)\le s\). \(\blacksquare\)
Y si \(C\) tiene rango máximo: por el post 13, \(C\) es un producto de elementales. Entonces \(CD\) se obtiene de \(D\) con operaciones de filas, y \(AC\) se obtiene de \(A\) con operaciones de columnas. Ninguna de las dos cosas cambia el rango.
Invariantes y cuellos de botella
- InvariantesLo que no cambiaLa física busca siempre cantidades que no dependen de cómo describas el sistema: la carga, la energía en un sistema aislado, el intervalo de la relatividad. El rango es el invariante de las matrices frente a cambios de ecuaciones y de variables.
- ÓpticaCadenas de filtrosLa luz que atraviesa varios elementos ópticos se describe con el producto de sus matrices. Si en la cadena hay un polarizador, de rango 1, todo el sistema tiene rango como mucho 1. Lo verás en el ejercicio 14.8.
- ProyeccionesNo se recupera lo perdidoSi un paso de un proceso aplasta el espacio a un plano (rango 2), ningún paso posterior puede devolver la tercera dimensión: el producto tiene rango como mucho 2.
- DatosSumas de piezas simplesDe la forma canónica se deduce que una matriz de rango \(r\) es suma de \(r\) matrices de rango 1. Aproximar una matriz grande por unas pocas piezas de rango 1 es la idea que hay detrás de técnicas de compresión de datos e imágenes que se estudian más adelante.
Ocho ejercicios para clasificar y acotar
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Tu primera forma canónica
Calcula \(H(A)\) para \(A=\begin{pmatrix}2 & 4 & 2\\ 1 & 3 & 2\\ 3 & 7 & 4\end{pmatrix}\), indicando las operaciones de columnas que usas.
Ver pista
Empieza con \(f_1\leftrightarrow f_2\) para tener un 1 de pivote. Fíjate en si la fila 3 es combinación de las otras dos.
Ver solución
Por filas: \(f_1\leftrightarrow f_2\); \(f_2\to f_2-2f_1\), \(f_3\to f_3-3f_1\) (las dos quedan \((0\ \ {-2}\ \ {-2})\)); \(f_3\to f_3-f_2\); \(f_2\to-\tfrac12f_2\); \(f_1\to f_1-3f_2\):
\[H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]Por columnas: \(c_3\to c_3+c_1\) y después \(c_3\to c_3-c_2\).
\[H(A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad\operatorname{rg}(A)=2\](La fila 3 de \(A\) era la suma de las dos primeras.)
¿Quién va con quién?
Agrupa en clases de equivalencia (\(\sim\)) las matrices:
¿Son \(A\) y \(B\) equivalentes por filas?
Ver pista
Solo necesitas los rangos. Para la última pregunta, compara las formas de Hermite por filas.
Ver solución
\(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}B=1\) y \(\operatorname{rg}C=\operatorname{rg}D=2\). Clases: \(\{A,B\}\) y \(\{C,D\}\).
\(A\) y \(B\) no son equivalentes por filas: \(H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(H_f(B)=B\), que son distintas.
Contar cajones
a) ¿Cuántas clases de equivalencia (\(\sim\)) hay en \(\mathfrak{M}_{3\times5}(\mathbb{R})\)? b) ¿Y en \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{R})\)? c) ¿Cuántas matrices hay en la clase de rango 0?
Ver pista
Hay una clase por cada valor posible del rango.
Ver solución
a) El rango puede ser 0, 1, 2 o 3: 4 clases. b) \(\min\{m,n\}+1\). c) Una sola, la matriz nula, porque es la única con rango 0.
Las cotas se alcanzan
Con \(A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), encuentra matrices \(B\) y \(D\) de orden 2 y rango 1 tales que: a) \(\operatorname{rg}(A+B)=2\); b) \(\operatorname{rg}(A+B)=0\); c) \(\operatorname{rg}(AD)=0\). ¿Contradice c) que \(\operatorname{rg}(AD)\le\min\{1,1\}\)?
Ver pista
a) Busca \(B\) que «rellene» lo que le falta a \(A\). b) Busca \(B\) que la cancele. c) Haz que \(D\) envíe todo justo a la parte que \(A\) aplasta.
Ver solución
a) \(B=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\): \(A+B=I_2\), de rango \(2=1+1\). La cota superior se alcanza.
b) \(B=-A\): \(A+B=0\), de rango \(0=|1-1|\). La cota inferior se alcanza.
c) \(D=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\): \(AD=0\). No hay contradicción: la desigualdad dice «como mucho», y aquí el rango cae hasta 0.
Productos que nunca llegan
Sean \(A\in\mathfrak{M}_{5\times3}(\mathbb{R})\) y \(D\in\mathfrak{M}_{3\times5}(\mathbb{R})\). a) Demuestra que \(AD\), que es \(5\times5\), nunca tiene rango 5. b) ¿Puede \(DA\), que es \(3\times3\), tener rango 3? Da un ejemplo o explica por qué no.
Ver pista
a) ¿Cuál es el rango máximo de una matriz \(5\times3\)? b) Prueba con matrices formadas por una identidad y ceros.
Ver solución
a) \(\operatorname{rg}(AD)\le\operatorname{rg}(A)\le\min\{5,3\}=3<5\). \(\blacksquare\)
b) Sí. Con \(A=\begin{pmatrix}I_3\\ 0\end{pmatrix}\) (\(5\times3\)) y \(D=\begin{pmatrix}I_3 & 0\end{pmatrix}\) (\(3\times5\)), el producto por bloques da \(DA=I_3\), de rango 3.
Moraleja: pasar por un espacio «pequeño» (aquí, de 3 dimensiones) es un cuello de botella para \(AD\), pero no para \(DA\).
Columna por fila
Sean \(u\in\mathfrak{M}_{m\times1}\) una columna y \(v\in\mathfrak{M}_{1\times n}\) una fila. a) Demuestra que \(\operatorname{rg}(uv)\le1\). b) Demuestra que \(\operatorname{rg}(uv)=1\) si \(u\neq0\) y \(v\neq0\). c) Deduce que la suma de \(k\) matrices de la forma \(uv\) tiene rango como mucho \(k\).
Ver pista
a) Usa la desigualdad del producto: ¿qué rango puede tener una matriz con una sola columna? b) Busca una entrada no nula de \(uv\).
Ver solución
a) \(\operatorname{rg}(uv)\le\operatorname{rg}(u)\le\min\{m,1\}=1\). \(\blacksquare\)
b) Si \(u_i\neq0\) y \(v_j\neq0\), la entrada \((i,j)\) de \(uv\) es \(u_iv_j\neq0\). Así que \(uv\neq0\), su rango es al menos 1 y, por a), es exactamente 1. \(\blacksquare\)
c) Aplicando la cota superior de la suma \(k-1\) veces: \(\operatorname{rg}(M_1+\cdots+M_k)\le\operatorname{rg}M_1+\cdots+\operatorname{rg}M_k\le k\). \(\blacksquare\)
¿Qué rangos son posibles?
Sean \(A\) y \(B\) matrices \(3\times3\) con \(\operatorname{rg}(A)=2\) y \(\operatorname{rg}(B)=1\). a) ¿Qué valores puede tomar \(\operatorname{rg}(A+B)\)? b) Da un ejemplo de cada caso posible.
Ver pista
Las desigualdades de la suma dan un intervalo. Para los ejemplos, matrices diagonales bastan.
Ver solución
a) \(|2-1|\le\operatorname{rg}(A+B)\le2+1\), es decir, el rango de \(A+B\) puede ser 1, 2 o 3.
b) Con \(A=\operatorname{diag}(1,1,0)\):
- \(B=\operatorname{diag}(0,0,1)\): \(A+B=I_3\), rango 3.
- \(B=\operatorname{diag}(0,1,0)\): \(A+B=\operatorname{diag}(1,2,0)\), rango 2.
- \(B=\operatorname{diag}(-1,0,0)\): \(A+B=\operatorname{diag}(0,1,0)\), rango 1.
Las tres \(B\) tienen rango 1, como pide el enunciado.
La paradoja de los tres polarizadores
En óptica, el efecto de un polarizador ideal sobre la polarización de la luz se describe con una matriz \(2\times2\). Las de un polarizador vertical, uno a 45° y uno horizontal son:
Si la luz atraviesa primero \(P_V\) y después \(P_H\), el sistema es \(P_HP_V\) (el último elemento queda a la izquierda).
a) Sin multiplicar, acota el rango de cualquier sistema que contenga un polarizador. b) Calcula \(P_HP_V\). ¿Qué significa? c) Ahora se intercala el de 45° entre los dos: calcula \(P_HP_{45}P_V\) y su rango. ¿Qué ha pasado?
Ver pista
a) Cada polarizador tiene rango 1. c) Multiplica primero \(P_{45}P_V\).
Ver solución
a) Cada polarizador tiene rango 1, así que, por la desigualdad del producto, cualquier cadena que lo contenga tiene rango \(\le1\).
b) \(P_HP_V=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), de rango 0: dos polarizadores cruzados no dejan pasar nada.
c) \(P_{45}P_V=\tfrac12\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\), y entonces \(P_HP_{45}P_V=\tfrac12\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), de rango 1.
Añadir un filtro deja pasar luz donde antes no pasaba nada. Parece absurdo, pero es un experimento real y fácil de hacer con tres láminas polarizadoras. Las matrices lo explican: el producto de matrices no es conmutativo, y el orden y la presencia de cada elemento importan. Fíjate también en que el rango 1 respeta la cota de a).
Las trampas de la equivalencia
- Confundir \(\sim\) con \(\sim_f\). Con filas y columnas, el rango lo decide todo. Solo con filas, no: hay matrices del mismo rango que no son equivalentes por filas.
- Creer que \(\operatorname{rg}(A+B)=\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\). Es solo una cota superior. La suma puede cancelar información, hasta llegar a rango 0 si \(B=-A\).
- Creer que \(\operatorname{rg}(AD)=\min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}D\}\). También es solo una cota: \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=0\).
- Olvidar el intercambio de columnas al calcular \(H(A)\). Tras barrer, los unos pueden quedar fuera de la diagonal. Hay que recolocarlos.
- Comparar matrices de tamaños distintos. La equivalencia solo tiene sentido entre matrices del mismo tamaño.
Lo imprescindible del post
Equivalencia
- Las operaciones de columnas no cambian el rango.
- \(\operatorname{rg}(A)=r\Rightarrow A\sim H(A)=\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\).
- \(A\sim B\iff\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}B\) (mismo tamaño).
- \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\le\min\{m,n\}\).
Desigualdades
- \(|\operatorname{rg}A-\operatorname{rg}B|\le\operatorname{rg}(A+B)\le\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\).
- \(\operatorname{rg}(AD)\le\min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}D\}\).
- \(C\) de orden \(n\) y rango \(n\): \(\operatorname{rg}(AC)=\operatorname{rg}A\), \(\operatorname{rg}(CD)=\operatorname{rg}D\).
Un único número para clasificarlas a todas
Con operaciones de filas y columnas, cualquier matriz se reduce a una identidad rodeada de ceros, y lo único que sobrevive es el rango. Por eso clasifica completamente las matrices por equivalencia y por eso coincide con el de la traspuesta. Con sumas y productos no hay fórmulas exactas, pero sí cotas que permiten razonar sin hacer cuentas.
Con este post cerramos el rango. En el siguiente empieza el Bloque E con una de las preguntas más importantes del curso: ¿cuándo se puede «deshacer» una matriz? Es decir, ¿cuándo tiene inversa?
Cambia las ecuaciones, cambia las variables: el rango sigue ahí.
Siguiente: la matriz inversa →Como la masa de la plastilina: por mucho que la moldees, hay algo que no puedes cambiar.
Anterior
El rango: cuánta información real hay en una matriz
Siguiente
La inversa: el botón de deshacer
Comentarios
Todavía no hay comentarios. ¡Sé el primero en comentar!