Si giras un objeto 50°, puedes devolverlo a su sitio girándolo 50° hacia atrás. Pero si lo aplastas contra el suelo para quedarte con su sombra, ya no hay forma de reconstruirlo: objetos muy distintos dejan la misma sombra. Hay matrices que se pueden deshacer y matrices que no. Las primeras tienen inversa.
desliza para ver todo →
Una rotación no pierde información: la inversa la deshace. Una proyección sí la pierde: dos vectores distintos acaban en el mismo punto, y ninguna matriz puede saber a cuál de los dos devolverlo.
Con los números, «deshacer» una multiplicación es fácil: lo que hace \(5\), lo deshace \(\tfrac15\), porque \(5\cdot\tfrac15=1\). Solo el 0 no tiene inverso. En el post 04 vimos que no se puede «dividir entre una matriz», y en el post 06 que no se puede «tachar» una matriz a ambos lados de una igualdad. Hoy descubrimos cuándo sí se puede.
Qué es la inversa
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible (o regular) si existe una matriz \(A^{-1}\) de orden \(n\), su inversa, tal que
\[AA^{-1}=I_n=A^{-1}A\]Si no existe, se dice que \(A\) es singular.
Solo tiene sentido para matrices cuadradas: para que \(AA^{-1}\) y \(A^{-1}A\) sean las dos la identidad de orden \(n\), ambas matrices tienen que ser \(n\times n\).
Encuentra, si existe, la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}\).
Buscamos \(B=\begin{pmatrix}x & y\\ z & t\end{pmatrix}\) con \(AB=I_2\):
\[\begin{pmatrix}2x+z & 2y+t\\ 5x+3z & 5y+3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\]Así que \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}\).
Este método funciona, pero para matrices grandes es muy pesado. En el próximo post verás el método bueno, con Gauss‑Jordan.
No todas las matrices tienen inversa
La matriz nula no la tiene, porque \(0\cdot B=0\neq I\) para cualquier \(B\). Pero, a diferencia de los números, hay matrices no nulas sin inversa. Por ejemplo, \(S=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\): su segunda fila es el doble de la primera, y entonces, para cualquier \(B\), la segunda fila de \(SB\) es el doble de la primera fila de \(SB\). Así que \(SB\) nunca puede ser \(I_2\), cuyas filas \((1\ \ 0)\) y \((0\ \ 1)\) no son proporcionales.
Es justo lo que pasaba con la sombra: \(S\) «aplasta» el plano sobre una recta (tiene rango 1) y lo que se ha perdido no se puede recuperar.
La inversa, si existe, es única
Supón que \(C\) y \(D\) fueran dos inversas de \(A\). Entonces
\[C=CI=C(AD)=(CA)D=ID=D\]Solo hemos usado la propiedad asociativa del producto. Por eso tiene sentido hablar de la inversa y darle nombre propio, \(A^{-1}\). \(\blacksquare\)
La inversa de una matriz 2×2 en un segundo
Para matrices \(2\times2\) hay una fórmula que conviene saberse. Si \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\), haz el producto:
\[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc\end{pmatrix}=(ad-bc)\,I_2\]Y en el otro orden sale lo mismo. Así que, si \(ad-bc\neq0\):
\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\]La receta: intercambia los de la diagonal, cambia de signo los otros dos y divide entre \(ad-bc\). Con el ejemplo anterior: \(ad-bc=6-5=1\), y sale \(\begin{pmatrix}3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}\), lo mismo que antes. Ese número \(ad-bc\) es el determinante de \(A\), protagonista del Bloque F.
Si \(ad-bc=0\), la matriz no tiene inversa (lo verás en el ejercicio 15.6). Comprueba que con \(S=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\) sale \(4-4=0\).
Propiedades de la inversa
Las elementales se deshacen con elementales
En el post 09 viste que cada operación elemental se deshace con otra del mismo tipo. Traducido a matrices: toda matriz elemental es invertible, y su inversa es la elemental de la operación que la deshace.
\[E_{f_i\leftrightarrow f_j}^{-1}=E_{f_i\leftrightarrow f_j},\qquad E_{f_i\to\alpha f_i}^{-1}=E_{f_i\to\frac1\alpha f_i},\qquad E_{f_i\to f_i+\beta f_j}^{-1}=E_{f_i\to f_i-\beta f_j}\]Producto y traspuesta
Si \(A\) y \(B\) son invertibles de orden \(n\):
- \(AB\) es invertible y \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). En general, \((A_1A_2\cdots A_k)^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}\).
- \(A^t\) es invertible y \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
- \(A^{-1}\) es invertible y \((A^{-1})^{-1}=A\). Si \(\alpha\neq0\), \((\alpha A)^{-1}=\tfrac1\alpha A^{-1}\).
Por qué: basta comprobar que el candidato funciona. Para el producto:
\[(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\]y lo mismo en el otro orden. Para la traspuesta, usando \((XY)^t=Y^tX^t\) (post 08): \(A^t(A^{-1})^t=(A^{-1}A)^t=I^t=I\), y lo mismo en el otro orden. \(\blacksquare\)
En \(AB\) aplicado a algo, primero actúa \(B\) y después \(A\). Para deshacerlo, primero se deshace \(A\) y después \(B\): \(B^{-1}A^{-1}\).
Calcula \(A=E_{f_1\leftrightarrow f_3}\,E_{f_2\to f_2-2f_1}\,E_{f_3\to4f_3}\) (de orden 3) y su inversa.
Comprueba que \(AA^{-1}=I_3\). Con esta idea, en el próximo post construiremos el método general para calcular inversas.
¿Cuándo tiene inversa una matriz?
Esta es la respuesta, y completa casi todo el «gran resultado del Tema 1» que viste en el post 0 (la última pieza, el determinante, llega en el Bloque F):
Sea \(A\) una matriz cuadrada de orden \(n\). Son equivalentes:
- DESHACER\(A\) tiene inversa.
- MEDIR\(\operatorname{rg}(A)=n\): sus \(n\) filas son independientes.
- SIMPLIFICAR\(H_f(A)=I_n\).
- CONSTRUIR\(A\) es un producto de matrices elementales.
- TACHAR POR LA DERECHASi \(BA=CA\), entonces \(B=C\)
- TACHAR POR LA IZQUIERDASi \(AB=AC\), entonces \(B=C\)
- SIN DIVISORES DE CEROSi \(BA=0\), entonces \(B=0\). Y si \(AB=0\), entonces \(B=0\).
Por qué (las ideas clave):
- Medir, simplificar y construir ya sabemos que son equivalentes (post 13).
- Construir ⇒ deshacer: las elementales son invertibles, y un producto de invertibles es invertible.
- Deshacer ⇒ tachar: si \(BA=CA\), multiplica por \(A^{-1}\) a la derecha: \(B=BAA^{-1}=CAA^{-1}=C\). Por la izquierda es igual.
- Tachar ⇒ sin divisores de cero: es el caso \(C=0\).
- Sin divisores de cero ⇒ medir: si \(\operatorname{rg}(A)<n\), hay una relación \(\alpha_1f_1+\cdots+\alpha_nf_n=0\) entre las filas de \(A\) con algún \(\alpha_i\neq0\). Con la fila \(B=(\alpha_1\ \cdots\ \alpha_n)\neq0\) resulta \(BA=\alpha_1f_1+\cdots+\alpha_nf_n=0\), y eso contradice la hipótesis. (Para \(AB=0\) se razona igual con columnas.) \(\blacksquare\)
Ahora se entiende por qué en el post 06 no se podía «tachar»: las matrices de aquel ejemplo no tenían inversa. Solo se puede tachar una matriz invertible, y solo por el mismo lado.
Basta con comprobar un lado
Si \(A\) y \(B\) son cuadradas de orden \(n\) y \(AB=I_n\), entonces \(A\) es invertible y \(B=A^{-1}\). Lo mismo si \(BA=I_n\).
Por qué: por la desigualdad del producto (post 14), \(n=\operatorname{rg}(I_n)=\operatorname{rg}(AB)\le\operatorname{rg}(A)\le n\). Así que \(\operatorname{rg}(A)=n\), \(A\) es invertible, y \(B=A^{-1}(AB)=A^{-1}I=A^{-1}\). \(\blacksquare\)
En la práctica, esto ahorra la mitad del trabajo: para comprobar que \(B\) es la inversa de \(A\) basta con hacer un producto. Ojo: esto solo vale para matrices cuadradas.
Cuidado al despejar. Como el producto no es conmutativo, hay que multiplicar por la inversa por el mismo lado en los dos miembros. De \(AX=B\) sale \(X=A^{-1}B\), multiplicando por la izquierda. De \(XA=B\) sale \(X=BA^{-1}\), multiplicando por la derecha. Y nunca se escribe \(\frac{B}{A}\): no se sabe por qué lado se «divide».
Deshacer en el mundo real
- RotacionesGirar hacia atrásLa inversa de girar un ángulo \(\theta\) es girar \(-\theta\). Y tiene una propiedad preciosa: la inversa de una matriz de rotación es su traspuesta (ejemplo de abajo).
- RelatividadCambiar de observadorPasar al sistema de referencia de alguien que se mueve con velocidad \(v\) y volver al tuyo es aplicar una matriz y su inversa: la de velocidad \(-v\). Lo verás en el ejercicio 15.8.
- CircuitosDe causas a efectosSi las intensidades \(x\) de un circuito cumplen \(Ax=b\) y \(A\) es invertible, entonces \(x=A^{-1}b\): una única solución para cada conjunto de fuentes.
- ÓpticaLo que no se deshaceUn polarizador (rango 1) no tiene inversa: ningún filtro posterior puede recuperar la luz que ha absorbido.
Comprueba que la inversa de \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\) es \(R_{-\theta}=R_\theta^{\,t}\).
Como \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) y \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), se tiene \(R_{-\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R_\theta^{\,t}\). Basta un producto:
\[R_\theta R_\theta^{\,t}=\begin{pmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & \cos\theta\sin\theta-\sin\theta\cos\theta\\ \sin\theta\cos\theta-\cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta+\cos^2\theta\end{pmatrix}=I_2\]Así que \(R_\theta^{-1}=R_\theta^{\,t}\). Las matrices con esta propiedad se llaman ortogonales. Son las que conservan distancias y ángulos (giros y reflexiones), y calcular su inversa es tan fácil como trasponer.
Ocho ejercicios para deshacer
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Es la inversa?
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 7\end{pmatrix}\). ¿Cuál de estas matrices es su inversa?
Ver pista
Al ser cuadradas, basta con un producto.
Ver solución
\(B=A^{-1}\). \(C\) no lo es: es la traspuesta de \(B\). Ojo, que confundirlas es un error frecuente.
Por dos caminos
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\) planteando el sistema \(AB=I_2\), y comprueba el resultado con la fórmula de las \(2\times2\).
Ver pista
Cada columna de \(B\) es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Ver solución
Con \(B=\begin{pmatrix}x & y\\ z & t\end{pmatrix}\): \(3x+2z=1\), \(4x+3z=0\) da \(x=3\), \(z=-4\); y \(3y+2t=0\), \(4y+3t=1\) da \(y=-2\), \(t=3\).
Con la fórmula: \(ad-bc=9-8=1\), así que \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}\). ✔ Coinciden.
Deshacer elementales
Escribe, en orden 3, las matrices \(E_{f_1\leftrightarrow f_3}\), \(E_{f_2\to5f_2}\) y \(E_{f_3\to f_3-4f_1}\) y sus inversas.
Ver pista
Aplica cada operación a \(I_3\). La inversa es la matriz de la operación que la deshace.
Ver solución
Una matriz sin inversa, al descubierto
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 3\end{pmatrix}\). a) Demuestra que \(A\) no es invertible. b) Encuentra una fila \(B\neq0\) tal que \(BA=0\).
Ver pista
Mira la tercera fila. Los coeficientes de la relación entre filas son las entradas de \(B\).
Ver solución
a) \(f_3=f_1+f_2\), así que \(\operatorname{rg}(A)\le2<3\) y \(A\) no es invertible.
b) La relación es \(f_1+f_2-f_3=0\). Con \(B=(1\ \ 1\ \ {-1})\): \(BA=1\cdot f_1+1\cdot f_2-1\cdot f_3=(0\ \ 0\ \ 0)\).
Es exactamente el argumento de la demostración: una matriz sin inversa «tiene divisores de cero».
Despeja la \(X\)
Si \(A\) y \(B\) son invertibles, despeja \(X\) en: a) \(AX=C\); b) \(XA+B=C\); c) \(AXB=C\); d) \(AXA^{-1}=C\); e) \((XA)^t=B\).
Ver pista
Multiplica por la inversa por el lado donde está la matriz que quieres eliminar, y en los dos miembros.
Ver solución
- a) \(X=A^{-1}C\) (por la izquierda).
- b) \(XA=C-B\), así que \(X=(C-B)A^{-1}\) (por la derecha).
- c) \(X=A^{-1}CB^{-1}\).
- d) \(X=A^{-1}CA\).
- e) \(XA=B^t\), así que \(X=B^tA^{-1}\).
Errores típicos: escribir \(CA^{-1}\) en a), o \(B^{-1}CA^{-1}\) en c). El orden importa.
Cuando \(ad-bc=0\)
Sea \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) con \(ad-bc=0\). Demuestra que \(A\) no es invertible.
Ver pista
Llama \(M=\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\) y calcula \(AM\). Distingue el caso \(M=0\).
Ver solución
Hemos visto que \(AM=(ad-bc)I=0\).
- Si \(M\neq0\): \(A\) tiene un divisor de cero (\(AM=0\) con \(M\neq0\)), así que, por el teorema, no es invertible.
- Si \(M=0\): entonces \(a=b=c=d=0\), \(A\) es la matriz nula, que tampoco es invertible. \(\blacksquare\)
Junto con la fórmula, queda: una \(2\times2\) es invertible si y solo si \(ad-bc\neq0\).
Personalidades e inversas
Sea \(A\) cuadrada de orden \(n\). Demuestra que:
a) Si \(A\) es idempotente (\(A^2=A\)) e invertible, entonces \(A=I\). b) Si \(A\) es involutiva (\(A^2=I\)), entonces \(A^{-1}=A\). c) Si \(A\) es nilpotente (\(A^k=0\)), no es invertible, pero \(I-A\) sí lo es, con \((I-A)^{-1}=I+A+\cdots+A^{k-1}\). d) Si \(A^2-3A+2I=0\), entonces \(A\) es invertible. Calcula \(A^{-1}\) en función de \(A\).
Ver pista
a) Multiplica \(A^2=A\) por \(A^{-1}\). c) Desarrolla \((I-A)(I+A+\cdots+A^{k-1})\): casi todo se cancela. d) Despeja \(2I\) y saca \(A\) factor común.
Ver solución
a) \(A=A^{-1}A^2=A^{-1}A=I\). \(\blacksquare\)
b) \(AA=I\), y por el corolario basta un lado: \(A^{-1}=A\). \(\blacksquare\)
c) Si \(A\) fuera invertible, \(A^k\) también (producto de invertibles), pero \(A^k=0\) no lo es. Por otro lado, al desarrollar, los términos se cancelan por parejas (es una suma telescópica):
\[(I-A)(I+A+\cdots+A^{k-1})=I-A^k=I\]y basta un lado. \(\blacksquare\) Es la versión matricial de \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots\), pero aquí la suma es finita.
d) \(3A-A^2=2I\), es decir, \(A(3I-A)=2I\), o sea \(A\cdot\tfrac12(3I-A)=I\). Así que \(A\) es invertible y \(A^{-1}=\tfrac12(3I-A)\). \(\blacksquare\)
Ir y volver en relatividad
En relatividad especial, si un observador se mueve con velocidad \(v\) a lo largo del eje \(x\), las coordenadas \((ct,x)\) de un suceso se transforman con la matriz (transformación de Lorentz)
\[\Lambda(\beta)=\gamma\begin{pmatrix}1 & -\beta\\ -\beta & 1\end{pmatrix},\qquad\beta=\frac vc,\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\](con \(|\beta|<1\)). a) Demuestra que \(\Lambda(\beta)^{-1}=\Lambda(-\beta)\) e interprétalo. b) ¿Es \(\Lambda(\beta)^{-1}=\Lambda(\beta)^t\), como en las rotaciones?
Ver pista
a) Basta un producto. Usa que \(\gamma^2(1-\beta^2)=1\). b) ¿Es \(\Lambda(\beta)\) simétrica?
Ver solución
a) (\(\gamma\) es el mismo para \(\beta\) y \(-\beta\).) Por el corolario, \(\Lambda(\beta)^{-1}=\Lambda(-\beta)\). Físicamente: si pasas al sistema de un observador que se mueve a velocidad \(v\), para volver al tuyo usas la transformación de velocidad \(-v\), porque desde su punto de vista eres tú quien se mueve a \(-v\).
b) No. \(\Lambda(\beta)\) es simétrica, así que \(\Lambda(\beta)^t=\Lambda(\beta)\), y \(\Lambda(\beta)\Lambda(\beta)=\gamma^2\begin{pmatrix}1+\beta^2 & -2\beta\\ -2\beta & 1+\beta^2\end{pmatrix}\neq I\) si \(\beta\neq0\). Las transformaciones de Lorentz no son rotaciones ordinarias: conservan otra «distancia», el intervalo \((ct)^2-x^2\), en lugar de \((ct)^2+x^2\).
Las trampas de la inversa
- Escribir \((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\). El orden se invierte: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Calcetines y zapatos.
- Dividir entre matrices. \(\frac BA\) no significa nada. Se multiplica por \(A^{-1}\), y por el lado correcto.
- Creer que \((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\). Falso en general. Con \(A=B=I\), la inversa de la suma es \((2I)^{-1}=\tfrac12I\), pero la suma de inversas da \(2I\).
- Hablar de la inversa de una matriz no cuadrada. La definición solo tiene sentido para cuadradas.
- Pensar que «no nula» implica «invertible». \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\neq0\) y no tiene inversa.
- Confundir la inversa con la traspuesta. Solo coinciden en matrices especiales, como las de rotación.
Lo imprescindible del post
Definición y reglas
- \(AA^{-1}=I=A^{-1}A\), solo para cuadradas. Si existe, es única.
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\), \((\alpha A)^{-1}=\tfrac1\alpha A^{-1}\).
- \(2\times2\): \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\) si \(ad-bc\neq0\).
- Elementales: se invierten con la operación que las deshace.
¿Cuándo existe?
- Invertible \(\iff\operatorname{rg}(A)=n\iff H_f(A)=I_n\iff\) producto de elementales.
- \(\iff\) se puede tachar \(\iff\) no tiene divisores de cero.
- Basta un lado: \(AB=I\Rightarrow B=A^{-1}\).
- \(AX=C\Rightarrow X=A^{-1}C\); \(XA=C\Rightarrow X=CA^{-1}\).
Deshacer sin perder nada
Una matriz tiene inversa cuando no pierde información, es decir, cuando su rango es máximo. Entonces se puede deshacer, se puede «tachar» y se pueden despejar ecuaciones matriciales, siempre multiplicando por el lado correcto. Si pierde información, como la sombra o el polarizador, no hay vuelta atrás.
Ya sabemos cuándo existe la inversa. En el próximo post aprenderemos a calcularla de forma eficiente, con el método de Gauss‑Jordan: un solo proceso que, a la vez, decide si la inversa existe y la construye.
Solo se puede deshacer lo que no ha perdido información.
Siguiente: cálculo de la inversa por Gauss‑Jordan →Girar y volver, ir y regresar: la inversa es la promesa de que siempre hay camino de vuelta, siempre que no hayas aplastado nada por el camino.
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