La caja negra de un avión registra cada maniobra del vuelo. Si la lees al aterrizar, sabes exactamente qué se hizo para llegar hasta allí. El método de Gauss‑Jordan para calcular la inversa funciona igual: pones una identidad al lado de tu matriz, que va «grabando» cada operación, y cuando la matriz se ha convertido en la identidad, la grabación es la inversa.
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El método en un dibujo. Todas las operaciones se hacen sobre filas completas, que atraviesan la barra vertical.
En el post 15 calculamos inversas planteando sistemas de ecuaciones, una incógnita por cada entrada. Para una \(2\times2\) es llevadero, pero para una \(3\times3\) ya son nueve incógnitas. Hoy aprendemos el método bueno, que además decide por sí solo si la inversa existe.
Por qué funciona: la identidad como grabadora
Supón que \(A\) es invertible. Por el post 15, \(H_f(A)=I\): existe una sucesión de operaciones elementales de filas que lleva \(A\) hasta \(I\). Si sus matrices son \(E_1,\dots,E_k\):
\[\underbrace{E_k\cdots E_1}_{P}\,A=I\]Por el corolario del post 15 (basta un lado), eso significa que \(P=E_k\cdots E_1\) es \(A^{-1}\). ¿Y cómo calculamos \(P\) sin multiplicar todas esas elementales? Aplicando las mismas operaciones a la identidad:
\[E_k\cdots E_1\,I=P=A^{-1}\]Y como operar filas en una matriz ampliada es operar a la vez en sus dos partes (post 09), basta con hacerlo todo de una vez:
\[(A\,|\,I)\ \longrightarrow\ (PA\,|\,PI)=(I\,|\,A^{-1})\]La parte derecha empieza siendo \(I\), que es como no haber hecho nada, y va acumulando, una a una, todas las operaciones. Al final contiene su producto, que es la inversa.
¿Y si \(A\) no es invertible?
Entonces \(\operatorname{rg}(A)<n\), y al escalonar la parte izquierda aparecerá, tarde o temprano, una fila de ceros. En ese momento se para: \(A\) no tiene inversa. No hace falta comprobarlo antes, porque el propio método lo detecta.
El método en acción
El orden de trabajo es el de Gauss‑Jordan (post 11): primero ceros debajo de la diagonal, de izquierda a derecha, después unos en la diagonal y por último ceros encima, de derecha a izquierda.
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 2\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\).
Comprobación (basta un lado): la primera fila de \(AA^{-1}\) es \((4-4+1\ \ \ {-1}+2-1\ \ \ {-1}+0+1)=(1\ \ 0\ \ 0)\). Las otras dos salen igual. ✔ Comprobar siempre, porque un solo signo mal arrastrado estropea toda la inversa.
¿Tiene inversa \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 3\\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}\)?
\[\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\\ &\xrightarrow[f_3\to f_3-f_1]{f_2\to f_2-2f_1}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\\ &\xrightarrow{f_3\to f_3-f_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)\end{aligned}\]Fila de ceros a la izquierda: \(A\) no tiene inversa. Se para aquí.
Regalo: la parte derecha de esa fila no se tira. Es la fila \(B=(1\ \ {-1}\ \ 1)\) que, multiplicada por \(A\), da la fila de ceros: \(BA=f_1-f_2+f_3=(0\ \ 0\ \ 0)\). Es el «divisor de cero» del post 15, servido por el propio método.
Resolver \(AX=B\) sin calcular la inversa
Si lo que quieres es \(X=A^{-1}B\), no hace falta calcular \(A^{-1}\) y luego multiplicar. Pon \(B\) a la derecha en lugar de \(I\):
\[(A\,|\,B)\ \xrightarrow{\ \text{filas}\ }\ (I\,|\,PB)=(I\,|\,A^{-1}B)\]Es la misma idea: las operaciones que convierten \(A\) en \(I\) forman \(A^{-1}\), y al aplicarlas a \(B\) dan \(A^{-1}B\). Si \(B\) tiene varias columnas, estás resolviendo varios sistemas \(Ax=b\) con la misma \(A\) a la vez, uno por columna.
Un consejo de oficio. Para resolver un único sistema \(Ax=b\), calcular \(A^{-1}\) y multiplicar es más trabajo que aplicar Gauss directamente a \((A\,|\,b)\). La inversa compensa cuando necesitas resolver muchos sistemas con la misma \(A\), o cuando la propia inversa tiene significado (lo verás en el ejercicio 16.8). Los programas de cálculo numérico usan variantes organizadas de esta misma eliminación gaussiana.
La versión por columnas
También se puede hacer con columnas: se coloca la identidad debajo de \(A\) y se aplican operaciones de columnas hasta que arriba quede \(I\). Abajo aparece \(A^{-1}\):
\[\left(\begin{array}{c}A\\ \hline I\end{array}\right)\ \xrightarrow{\ \text{columnas}\ }\ \left(\begin{array}{c}I\\ \hline A^{-1}\end{array}\right)\]Funciona porque \(AQ=I\) implica \(Q=A^{-1}\). Da exactamente la misma inversa (es única). Lo que nunca se puede hacer es mezclar: en \((A\,|\,I)\) solo filas, y en \(\left(\begin{smallmatrix}A\\ I\end{smallmatrix}\right)\) solo columnas.
Inversas por un solo lado
Una matriz no cuadrada no tiene inversa. Pero sí puede tener una «media inversa»:
Sea \(A\) de tamaño \(m\times n\). Una inversa por la izquierda es una matriz \(X\) (de tamaño \(n\times m\)) con \(XA=I_n\). Una inversa por la derecha es una \(Y\) (también \(n\times m\)) con \(AY=I_m\).
\(A\) tiene inversa por la izquierda si y solo si \(\operatorname{rg}(A)=n\) (columnas independientes), y por la derecha si y solo si \(\operatorname{rg}(A)=m\) (filas independientes).
La mitad fácil sale de la desigualdad del producto (post 14). Si \(XA=I_n\), entonces \(n=\operatorname{rg}(XA)\le\operatorname{rg}(A)\le n\). Lo mismo para la derecha. La otra mitad se demuestra construyéndolas: con \((A\,|\,I_m)\) y operaciones de filas, cuando \(\operatorname{rg}(A)=n\) la parte izquierda llega a \(\left(\begin{smallmatrix}I_n\\ 0\end{smallmatrix}\right)\), y las \(n\) primeras filas de la parte derecha son una inversa por la izquierda (ejercicio 16.7).
A diferencia de la inversa de verdad, no son únicas. Por ejemplo, para \(A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\) sirven tanto \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\) como \(\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\). Compruébalo. Y no tiene inversa por la derecha, porque \(\operatorname{rg}(A)=2<3\).
Cuando la matriz es cuadrada y de rango máximo, las dos inversas laterales existen, son únicas y coinciden con \(A^{-1}\).
Una inversa con significado
- CircuitosRespuesta a cada fuenteEn el análisis de mallas, \(RI=V\). La columna \(j\) de \(R^{-1}\) son las corrientes que aparecen cuando solo hay 1 voltio en la malla \(j\). Lo calcularás en el ejercicio 16.8.
- MecánicaMuchos experimentos, una matrizSi estudias la misma estructura (puente, muelles acoplados) bajo muchas cargas distintas, la matriz del sistema es siempre la misma y solo cambia el término independiente: \((A\,|\,b_1\,b_2\,\cdots)\).
- CoordenadasIr y volverSi \(x=Px'\) pasa de unas coordenadas a otras, \(x'=P^{-1}x\) hace el camino de vuelta. Calcular \(P^{-1}\) es encontrar la «traducción inversa».
Ocho ejercicios de inversas
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final. Y comprueba siempre tu resultado multiplicando.
Calentamiento 2×2
Calcula por Gauss‑Jordan la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}\) y compárala con la fórmula de las \(2\times2\) del post 15.
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Empieza con \(f_1\leftrightarrow f_2\) para tener un 1 de pivote y evitar fracciones.
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\(A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}\). Con la fórmula: \(ad-bc=6-5=1\), y sale lo mismo. ✔
Tu primera 3×3
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\).
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Solo hace falta un cero debajo del primer pivote (la fila 3 ya empieza por 0).
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\(f_2\to f_2-f_1\) da \((0\ \ 1\ \ 1\,|\,{-1}\ \ 1\ \ 0)\). \(f_3\to f_3-f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 1\,|\,1\ \ {-1}\ \ 1)\). Hacia arriba: \(f_2\to f_2-f_3\) da \((0\ \ 1\ \ 0\,|\,{-2}\ \ 2\ \ {-1})\), y \(f_1\to f_1-f_2\) da \((1\ \ 0\ \ 0\,|\,3\ \ {-2}\ \ 1)\).
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -2 & 1\\ -2 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\]Fíjate: \(A\) es simétrica y su inversa también. No es casualidad: \((A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1}\).
¿Inversa o divisor de cero?
Aplica el método a \(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 3\end{pmatrix}\). Si no tiene inversa, usa la parte derecha para encontrar una fila \(B\neq0\) con \(BA=0\).
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Escalona \((A\,|\,I)\) y fíjate en si aparece una fila nula a la izquierda.
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\(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-3f_1\) dan \((0\ \ 3\ \ {-3}\,|\,{-2}\ \ 1\ \ 0)\) y \((0\ \ 3\ \ {-3}\,|\,{-3}\ \ 0\ \ 1)\). Con \(f_3\to f_3-f_2\): \((0\ \ 0\ \ 0\,|\,{-1}\ \ {-1}\ \ 1)\).
Fila nula: no hay inversa. Y \(B=(-1\ \ {-1}\ \ 1)\) cumple \(BA=-f_1-f_2+f_3=(0\ \ 0\ \ 0)\). Es, cambiada de signo, la misma relación \(f_3=f_1+f_2\) del ejercicio 15.4.
Una triangular con letras
Calcula la inversa de \(U=\begin{pmatrix}1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) para cualesquiera \(a,b,c\). ¿Qué forma tiene?
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Ya es escalonada con pivotes 1: solo falta hacer ceros encima, empezando por la columna 3.
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\(f_2\to f_2-cf_3\) da \((0\ \ 1\ \ 0\,|\,0\ \ 1\ \ {-c})\). \(f_1\to f_1-bf_3\) da \((1\ \ a\ \ 0\,|\,1\ \ 0\ \ {-b})\). Y \(f_1\to f_1-af_2\) da \((1\ \ 0\ \ 0\,|\,1\ \ {-a}\ \ ac-b)\).
\[U^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -a & ac-b\\ 0 & 1 & -c\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]Es otra vez triangular superior con unos en la diagonal. Ojo con la esquina: no es \(-b\), sino \(ac-b\).
Un parámetro que nunca molesta
Sea \(A_k=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & k & 1\\ 1 & 0 & k\end{pmatrix}\) con \(k\in\mathbb{R}\). a) ¿Para qué valores de \(k\) es invertible? b) Calcula \(A_1^{-1}\).
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a) Tras \(f_3\to f_3-f_1\), intercambia las filas 2 y 3 para tener un pivote sin parámetro. b) Aplica el método con \(k=1\).
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a) \(f_3\to f_3-f_1\) da \((0\ \ {-1}\ \ k)\). Con \(f_2\leftrightarrow f_3\) y luego \(f_3\to f_3+kf_2\): la fila 3 queda \((0\ \ 0\ \ 1+k^2)\). Como \(1+k^2>0\) para todo \(k\) real, hay tres pivotes: \(A_k\) es invertible para todo \(k\in\mathbb{R}\). (Curiosidad: si se admitieran números complejos, fallaría en \(k=\pm i\).)
b) Con \(k=1\): \(f_3\to f_3-f_1\) da \((0\ \ {-1}\ \ 1\,|\,{-1}\ \ 0\ \ 1)\); \(f_3\to f_3+f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 2\,|\,{-1}\ \ 1\ \ 1)\); \(f_3\to\tfrac12f_3\); \(f_2\to f_2-f_3\); \(f_1\to f_1-f_2\):
\[A_1^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]Ecuaciones matriciales
Con \(A=\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}\), resuelve: a) \(AX=B\), aplicando el método a \((A\,|\,B)\); b) \(XA=B\).
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a) Mismas operaciones que en el 16.1, pero con \(B\) a la derecha. b) Aquí \(X=BA^{-1}\): ¡no es lo mismo que en a)!
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a) Con las operaciones del 16.1 aplicadas a \((A\,|\,B)\), o bien multiplicando, \(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 7\\ -1 & -2\end{pmatrix}\).
b) \(X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ -1 & 2\end{pmatrix}\).
Comprobación de b): \(XA=\begin{pmatrix}-2+3 & -5+9\\ -2+2 & -5+6\end{pmatrix}=B\). ✔ Las dos soluciones son distintas: el lado importa.
Una inversa por la izquierda
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}\). a) ¿Tiene inversa por la izquierda? ¿Y por la derecha? b) Calcula una inversa por la izquierda aplicando operaciones de filas a \((A\,|\,I_3)\). c) Encuentra otra distinta.
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b) Lleva la parte izquierda a \(\left(\begin{smallmatrix}I_2\\ 0\end{smallmatrix}\right)\) y quédate con las dos primeras filas de la derecha. c) La tercera fila de la derecha, \(B\), cumple \(BA=0\): puedes sumársela a cualquier fila de tu inversa.
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a) \(\operatorname{rg}(A)=2=n\), así que tiene inversa por la izquierda. Como \(2<3=m\), no la tiene por la derecha.
b) \(f_2\to f_2-f_1\): \((0\ \ 1\,|\,{-1}\ \ 1\ \ 0)\). \(f_3\to f_3-f_2\): \((0\ \ 0\,|\,1\ \ {-1}\ \ 1)\). \(f_1\to f_1-2f_2\): \((1\ \ 0\,|\,3\ \ {-2}\ \ 0)\).
c) La última fila de la derecha, \(B=(1\ \ {-1}\ \ 1)\), cumple \(BA=(0\ \ 0)\). Sumándola a la primera fila de \(X\): \(X'=\begin{pmatrix}4 & -3 & 1\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\), que también cumple \(X'A=I_2\). Hay infinitas.
Tres mallas, una inversa
En el circuito de la figura, las corrientes de malla \(I_1,I_2,I_3\) (en amperios, en sentido horario) cumplen \(RI=V\), donde \(V\) son las tensiones de las fuentes (en voltios) y
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\[R=\begin{pmatrix}3 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1\\ 0 & -1 & 3\end{pmatrix}\](Cada entrada de la diagonal es la resistencia total de su malla. Fuera de la diagonal aparece, con signo menos, la resistencia que comparten dos mallas.)
a) Calcula \(R^{-1}\). b) Calcula las corrientes si \(V=(21,0,0)\) y si \(V=(0,21,0)\). c) ¿Qué significa físicamente la columna \(j\) de \(R^{-1}\)? d) \(R^{-1}\) es simétrica. ¿Qué dice eso del circuito?
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a) Con Gauss‑Jordan aparecerán fracciones con denominador 21. b) \(I=R^{-1}V\). c) Calcula \(R^{-1}e_j\), donde \(e_j\) es la columna \(j\) de \(I_3\).
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a) Compruébalo: la primera fila de \(R\cdot21R^{-1}\) es \((24-3\ \ \ 9-9\ \ \ 3-3)=(21\ \ 0\ \ 0)\), y lo mismo con las demás. ✔
b) Con \(V=(21,0,0)\): \(I=(8,3,1)\) A. Con \(V=(0,21,0)\): \(I=(3,9,3)\) A. Una sola inversa sirve para todos los escenarios.
c) \(R^{-1}e_j\) es la columna \(j\): son las corrientes en las tres mallas cuando hay una fuente de 1 voltio solo en la malla \(j\). Es la «respuesta» del circuito a un estímulo unitario en cada sitio. Por eso la corriente es mayor en la malla de la fuente y se va apagando al alejarse.
d) La entrada \((i,j)\) de \(R^{-1}\) es la corriente en la malla \(i\) causada por 1 V en la malla \(j\), y la \((j,i)\) es al revés. Que coincidan dice que el efecto de \(j\) sobre \(i\) es igual al de \(i\) sobre \(j\). Es una propiedad de los circuitos de resistencias que en física se conoce como reciprocidad. Matemáticamente viene de que \(R\) es simétrica y, por tanto, también lo es su inversa.
Las trampas de Gauss‑Jordan
- Hacer la operación solo a la parte izquierda. Cada operación se aplica a la fila entera, que atraviesa la barra. Si no, la grabación sale mal.
- Mezclar filas y columnas. En \((A\,|\,I)\) solo filas. Una sola operación de columnas lo estropea todo.
- Hacer a la vez operaciones que se pisan (post 12), como \(f_1\to f_1+f_2\) y \(f_2\to f_2-f_1\) en el mismo paso.
- Seguir adelante tras una fila de ceros. En cuanto aparece a la izquierda, no hay inversa y no tiene sentido continuar.
- No comprobar. Un producto \(AA^{-1}\) cuesta poco y detecta cualquier error de signo.
Lo imprescindible del post
El método
- \((A\,|\,I)\xrightarrow{\text{filas}}(I\,|\,A^{-1})\).
- Fila de ceros a la izquierda: no hay inversa (y su parte derecha da \(B\) con \(BA=0\)).
- \((A\,|\,B)\xrightarrow{\text{filas}}(I\,|\,A^{-1}B)\).
- Por columnas: \(\left(\begin{smallmatrix}A\\ I\end{smallmatrix}\right)\to\left(\begin{smallmatrix}I\\ A^{-1}\end{smallmatrix}\right)\). Nunca se mezclan filas y columnas.
Inversas laterales
- Por la izquierda (\(XA=I_n\)) \(\iff\operatorname{rg}(A)=n\).
- Por la derecha (\(AY=I_m\)) \(\iff\operatorname{rg}(A)=m\).
- No son únicas, salvo si \(A\) es cuadrada e invertible: entonces son \(A^{-1}\).
Un método, tres respuestas
Con \((A\,|\,I)\) y operaciones de filas, Gauss‑Jordan te dice a la vez si la inversa existe y cuál es. Con \((A\,|\,B)\) resuelve ecuaciones matriciales sin calcular la inversa, y con la identidad debajo funciona igual por columnas. Todo sale de una única idea: la identidad graba las operaciones.
En el próximo post usaremos esta grabadora para algo más ambicioso: encontrar las matrices invertibles \(P\) y \(Q\) que llevan cualquier matriz, invertible o no, a su forma de Hermite.
La identidad no hace nada… salvo tomar nota de todo.
Siguiente: las matrices P y Q →Como la caja negra de un avión: no pilota, pero al final lo sabe todo sobre el viaje.
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