En los problemas de plano inclinado, el primer consejo es siempre el mismo: no uses ejes horizontal y vertical, sino uno paralelo a la rampa y otro perpendicular. Las ecuaciones son las mismas, pero con los ejes bien elegidos se vuelven casi triviales. Con las matrices pasa algo parecido, solo que mucho más radical: eligiendo bien los ejes, cualquier matriz se convierte en «copia unas coordenadas y borra el resto». Las matrices que eligen esos ejes se llaman \(P\) y \(Q\).
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\(P\) y \(Q\) son invertibles: no pierden información, solo cambian el punto de vista. Lo que queda en medio, \(H(A)\), es la matriz «desnuda»: solo su rango.
En el post 14 vimos que toda matriz de rango \(r\) es equivalente a \(H(A)=\begin{pmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). Es decir, existen elementales con \(E_k\cdots E_1\,A\,F_1\cdots F_h=H(A)\). Hoy agrupamos esas elementales en dos matrices, \(P=E_k\cdots E_1\) y \(Q=F_1\cdots F_h\), y aprendemos a calcularlas con la «grabadora» del post 16.
Equivalencias escritas con matrices invertibles
Hasta ahora decíamos «se pasa de \(A\) a \(B\) con operaciones elementales». Con lo que sabemos desde el post 15 (una matriz es invertible si y solo si es producto de elementales), eso se puede decir de forma mucho más compacta:
Sean \(A\) y \(B\) del mismo tamaño \(m\times n\). Entonces:
- \(A\sim_fB\iff\) existe \(P\) invertible de orden \(m\) con \(PA=B\).
- \(A\sim_cB\iff\) existe \(Q\) invertible de orden \(n\) con \(AQ=B\).
- \(A\sim B\iff\) existen \(P\) y \(Q\) invertibles con \(PAQ=B\).
Por qué (el primero; los otros son iguales): si \(A\sim_fB\), entonces \(B=E_k\cdots E_1A\), y \(P=E_k\cdots E_1\) es invertible por ser producto de elementales. Al revés, si \(P\) es invertible, es un producto de elementales, \(P=E_k\cdots E_1\), y entonces \(B=PA\) se obtiene de \(A\) con las operaciones de esas elementales. \(\blacksquare\)
La interpretación, pensando en \(A\) como algo que transforma vectores (\(y=Ax\)): \(Q\) cambia las coordenadas de entrada, porque si \(x=Qx'\), entonces \(y=AQx'\), y \(P\) cambia las de salida, porque \(y'=Py\). Por eso \(PAQ\) describe la misma transformación, vista con otros ejes.
Cómo calcular \(P\) con \(PA=H_f(A)\)
Es exactamente la grabadora del post 16, pero sin exigir que \(A\) sea cuadrada ni invertible. Si las operaciones que llevan \(A\) a \(H_f(A)\) tienen matrices \(E_1,\dots,E_k\), entonces \(P=E_k\cdots E_1=E_k\cdots E_1I_m\), y se obtiene aplicando a \(I_m\) las mismas operaciones:
\[(A\,|\,I_m)\ \xrightarrow{\ \text{filas}\ }\ (H_f(A)\,|\,P)\]Para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\), encuentra \(P\) invertible con \(PA=H_f(A)\).
Es la matriz del ejemplo del post 14. Ahora llevamos la cuenta en la parte derecha:
\[\begin{aligned}(A\,|\,I_3)&\xrightarrow[f_3\to f_3-f_1]{f_2\to f_2-2f_1}\left(\begin{array}{cccc|ccc}1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\\ &\xrightarrow{f_3\to f_3-f_2}\left(\begin{array}{cccc|ccc}1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)\\ &\xrightarrow{f_1\to f_1-f_2}\left(\begin{array}{cccc|ccc}1 & 2 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)\end{aligned}\] \[P=\begin{pmatrix}3 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\]Comprobación: la primera fila de \(PA\) es \(3f_1-f_2=(1\ \ 2\ \ 0\ \ {-1})\), la primera fila de \(H_f(A)\). ✔ La tercera, \(f_1-f_2+f_3\), es la fila nula. ✔
Fíjate en la última fila de \(P\): es la relación de dependencia \(f_1-f_2+f_3=0\) entre las filas de \(A\). Las filas de \(P\) que producen filas nulas de \(H_f(A)\) siempre «delatan» las dependencias.
Cómo calcular \(Q\): la grabadora por columnas
Con columnas, la identidad (ahora \(I_n\)) se pone debajo, y las operaciones de columnas atraviesan las dos partes:
\[\left(\begin{array}{c}A\\ \hline I_n\end{array}\right)\ \xrightarrow{\ \text{columnas}\ }\ \left(\begin{array}{c}AQ\\ \hline Q\end{array}\right)\]Si se llega a \(H_c(A)\), se tiene \(AQ=H_c(A)\). Y si en lugar de \(A\) se parte de \(H_f(A)\), las operaciones de columnas lo terminan de convertir en \(H(A)\). Esa es la manera de conseguir \(PAQ=H(A)\):
- \((A\,|\,I_m)\xrightarrow{\text{filas}}(H_f(A)\,|\,P)\), así que \(PA=H_f(A)\).
- \(\left(\begin{smallmatrix}H_f(A)\\ I_n\end{smallmatrix}\right)\xrightarrow{\text{columnas}}\left(\begin{smallmatrix}H(A)\\ Q\end{smallmatrix}\right)\), así que \(H_f(A)\,Q=H(A)\).
- Juntando: \(PAQ=H(A)\).
Sigue el ejemplo anterior: encuentra \(Q\) con \(H_f(A)\,Q=H(A)\).
Las operaciones de columnas que vimos en el post 14 eran \(c_2\to c_2-2c_1\), \(c_4\to c_4+c_1\), \(c_4\to c_4-c_3\) y \(c_2\leftrightarrow c_3\). Ahora se las aplicamos también a \(I_4\), columna a columna (llamando \(e_j\) a las columnas de \(I_4\)):
Con los ejes de entrada que da \(Q\) y los de salida que da \(P\), esta matriz \(3\times4\) se limita a copiar las dos primeras coordenadas y borrar las demás. Todo lo demás era «forma».
\(P\) y \(Q\) no son únicas
\(H_f(A)\) es única (post 11), pero la \(P\) que lleva a ella no tiene por qué serlo: caminos distintos de operaciones pueden dar \(P\) distintas. Ejemplo sencillo, con \(A=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) y \(H_f(A)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\):
\[\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\]Las dos son invertibles y cumplen \(PA=H_f(A)\). La primera viene de \(f_2\to f_2-f_1\); la segunda, de \(f_2\to f_2-f_1\) y después \(f_1\to f_1+f_2\) aplicada a la identidad «de más», que no cambia nada en \(A\) porque la fila 2 ya es nula.
¿Cuándo sí es única? Si \(A\) es cuadrada e invertible, \(PA=I\) obliga a que \(P=A^{-1}\), que es única. En general, \(P\) es única cuando \(\operatorname{rg}(A)=m\) (no hay filas nulas en \(H_f(A)\) que dejen libertad). Por eso, si tu \(P\) no coincide con la de las soluciones, no te asustes: comprueba \(PA\). Si da lo que tiene que dar y \(P\) es invertible, está bien.
De una matriz a otra: \(PAQ=B\)
Un ejercicio típico: dadas \(A\) y \(B\) del mismo tamaño, decidir si son equivalentes y, si lo son, encontrar \(P\) y \(Q\) invertibles con \(PAQ=B\). La estrategia es pasar las dos por su forma canónica:
- Compara rangos. Si son distintos, no son equivalentes (post 14) y se acabó.
- Calcula \(P_1,Q_1\) con \(P_1AQ_1=H\) y \(P_2,Q_2\) con \(P_2BQ_2=H\). Es la misma \(H\), porque tienen el mismo rango.
- Iguala y despeja \(B\): \(P_1AQ_1=P_2BQ_2\), así que \(B=P_2^{-1}P_1\,A\,Q_1Q_2^{-1}\).
Lo mismo vale solo con filas: si \(A\sim_fB\), con \(P_1A=H_f(A)=H_f(B)=P_2B\) sale \(B=P_2^{-1}P_1A\). Lo pondrás en práctica en el ejercicio 17.7.
Elegir bien los ejes
- MecánicaEl plano inclinadoElegir ejes paralelo y perpendicular a la rampa desacopla las ecuaciones. \(P\) y \(Q\) hacen lo mismo con cualquier matriz, con la diferencia de que pueden elegir ejes distintos a la entrada y a la salida.
- ÓpticaUn polarizador, visto de frenteCon los ejes alineados con el polarizador, su matriz es simplemente «deja pasar la primera componente y anula la segunda». Lo verás en el ejercicio 17.8.
- Más adelanteDiagonalizarCuando la entrada y la salida son el mismo espacio, lo natural es pedir \(Q=P^{-1}\). Encontrar los mejores ejes con esa condición es el problema de la diagonalización, que aparece en toda la física: modos normales de vibración, ejes principales de inercia, estados de energía en cuántica.
Ocho ejercicios con P y Q
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final. Recuerda que tu \(P\) o tu \(Q\) pueden ser distintas de las de la solución y estar bien: compruébalas multiplicando.
Tu primera \(P\)
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 7\end{pmatrix}\). Calcula \(H_f(A)\) y una \(P\) invertible con \(PA=H_f(A)\).
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Aplica las operaciones a \((A\,|\,I_2)\). Bastan dos.
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\(H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) y \(P=\begin{pmatrix}7 & -3\\ -2 & 1\end{pmatrix}\). Comprobación: \(7f_1-3f_2=(1\ \ 2\ \ 0)\) y \(-2f_1+f_2=(0\ \ 0\ \ 1)\). ✔ Aquí \(\operatorname{rg}(A)=2=m\), así que esta \(P\) es la única posible.
Tu primera \(Q\)
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 6\\ 1 & 3\end{pmatrix}\). Calcula \(H_c(A)\) y una \(Q\) invertible con \(AQ=H_c(A)\).
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Pon \(I_2\) debajo de \(A\) y usa solo columnas. Empieza con \(c_2\to c_2-2c_1\).
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\(H_c(A)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 3 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) y \(Q=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}\). Comprueba que \(AQ=H_c(A)\) multiplicando.
El caso invertible
Sea \(A\) cuadrada e invertible de orden \(n\). a) ¿Quiénes son \(H_f(A)\), \(H_c(A)\) y \(H(A)\)? b) ¿Qué \(P\) cumple \(PA=H_f(A)\)? ¿Es única? c) Encuentra \(P\) y \(Q\) con \(PAQ=H(A)\) de dos formas distintas.
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Recuerda el teorema de caracterización del post 15. Para c), piensa en \(P=I\) o en \(Q=I\).
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a) Las tres son \(I_n\). b) \(PA=I_n\) obliga a \(P=A^{-1}\): es única. c) Por ejemplo, \(P=A^{-1}\), \(Q=I_n\); o bien \(P=I_n\), \(Q=A^{-1}\). (En general, cualquier \(P\) invertible con \(Q=(PA)^{-1}=A^{-1}P^{-1}\).) Aquí \(P\) y \(Q\) por separado no son únicas.
El proceso completo
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix}\). Encuentra \(P\) y \(Q\) invertibles con \(PAQ=H(A)\).
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Primero \((A\,|\,I_2)\) por filas. Luego pon \(I_3\) debajo de \(H_f(A)\) y barre la primera fila con columnas.
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Filas: \(f_2\to f_2-2f_1\) da \(H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(P=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix}\).
Columnas: \(c_2\to c_2-c_1\) y \(c_3\to c_3-2c_1\) dan \(H(A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\), y aplicadas a \(I_3\):
\[Q=\begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]\(\operatorname{rg}(A)=1\): con buenos ejes, esta matriz solo copia una coordenada.
Tres \(P\) para la misma matriz
Para \(A=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\), comprueba que \(P_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}\), \(P_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}\) y \(P_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}\) son invertibles y cumplen \(P_iA=H_f(A)\). ¿De qué operaciones vienen? ¿Hay alguna \(P\) que no sirva aunque cumpla \(PA=H_f(A)\)?
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Para ver si son invertibles, usa \(ad-bc\) (post 15). Para la última pregunta, prueba con \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\).
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Las tres dan \(\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\), y sus \(ad-bc\) valen \(1\), \(1\) y \(2\): son invertibles.
- \(P_1\): \(f_2\to f_2-f_1\).
- \(P_2\): \(f_2\to f_2-f_1\) y después \(f_1\to f_1+f_2\).
- \(P_3\): \(f_2\to f_2-f_1\) y después \(f_2\to2f_2\).
\(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\) también da \(H_f(A)\), pero no sirve: no es invertible. La condición de que \(P\) sea invertible es imprescindible.
El rango y las matrices invertibles
Demuestra, usando lo visto en este post, que si \(P\) y \(Q\) son invertibles, entonces \(\operatorname{rg}(PAQ)=\operatorname{rg}(A)\). ¿Es cierto si \(P\) no es invertible?
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¿Qué relación hay entre \(A\) y \(PAQ\)? Para la segunda pregunta, prueba con \(P=0\).
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Por el resultado del principio, \(PAQ\sim A\), y las matrices equivalentes tienen el mismo rango (post 14). \(\blacksquare\)
Si \(P\) no es invertible, en general no: con \(P=0\) y \(A\neq0\), \(\operatorname{rg}(PAQ)=0\neq\operatorname{rg}(A)\).
De \(A\) a \(B\)
Sean \(A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}\). a) ¿Son equivalentes? b) Encuentra \(P\) y \(Q\) invertibles con \(PAQ=B\).
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Lleva cada una a \(H=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), guardando sus \(P_i\) y \(Q_i\). Para \(B\), empieza con \(f_1\leftrightarrow f_2\). Después usa \(P=P_2^{-1}P_1\), \(Q=Q_1Q_2^{-1}\).
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a) \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)=1\): sí, son equivalentes.
Comprobación: \(AQ=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}\) y \(P(AQ)=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}=B\). ✔ (Que aquí \(P\) y \(Q\) salgan iguales es pura casualidad.)
Mirar un polarizador de frente
El polarizador a 45° del post 14 tiene matriz \(P_{45}=\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
a) Encuentra, con operaciones elementales, \(P\) y \(Q\) invertibles con \(P\,P_{45}\,Q=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). b) Comprueba que también sirven las rotaciones \(P=R_{-45°}\) y \(Q=R_{45°}\), donde \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\). c) Interpreta b) físicamente.
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a) Filas: \(f_2\to f_2-f_1\) y \(f_1\to2f_1\). Columnas: \(c_2\to c_2-c_1\). b) Con \(\cos45°=\sin45°=\tfrac{1}{\sqrt2}\), calcula primero \(P_{45}R_{45°}\).
Ver solución
a) Aplicando las operaciones de filas a \(I_2\): \(P=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}\). Con la de columnas: \(Q=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\). Comprobación: \(P_{45}Q=\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\) y \(P(P_{45}Q)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\). ✔
b) Con \(c=\tfrac1{\sqrt2}\): \(P_{45}R_{45°}=\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c & -c\\ c & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & 0\\ c & 0\end{pmatrix}\), y
\[\begin{aligned}R_{-45°}\begin{pmatrix}c & 0\\ c & 0\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}c & c\\ -c & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c & 0\\ c & 0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2c^2 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\ ✔\end{aligned}\]c) Girar 45° los ejes para alinearlos con el polarizador hace que su matriz sea «deja pasar la componente a lo largo del eje del filtro y anula la perpendicular». Es el plano inclinado de la óptica. Además, aquí \(Q=P^{-1}\) (girar y deshacer el giro): son los mismos ejes a la entrada y a la salida. Es un adelanto de la diagonalización.
Las trampas de \(P\) y \(Q\)
- Confundir los tamaños. \(P\) es cuadrada de orden \(m\) (número de filas de \(A\)) y \(Q\) de orden \(n\) (número de columnas). La identidad que se pone al lado o debajo tiene que ser la correcta.
- Poner la identidad en el sitio equivocado. Filas: a la derecha. Columnas: debajo.
- Invertir el orden en \(P=P_2^{-1}P_1\) o en \(Q=Q_1Q_2^{-1}\). Sale de despejar \(B\) en \(P_1AQ_1=P_2BQ_2\). Rehaz el despeje si dudas.
- Creer que tu \(P\) está mal porque no coincide con la de la solución. No son únicas: compruébala multiplicando.
- Aceptar una \(P\) no invertible. Cumplir \(PA=H_f(A)\) no basta: tiene que ser invertible.
Lo imprescindible del post
Cálculo
- \((A\,|\,I_m)\xrightarrow{\text{filas}}(H_f(A)\,|\,P)\): \(PA=H_f(A)\).
- \(\left(\begin{smallmatrix}A\\ I_n\end{smallmatrix}\right)\xrightarrow{\text{columnas}}\left(\begin{smallmatrix}H_c(A)\\ Q\end{smallmatrix}\right)\): \(AQ=H_c(A)\).
- Primero filas hasta \(H_f(A)\), después columnas: \(PAQ=H(A)\).
- \(PAQ=B\): \(P=P_2^{-1}P_1\), \(Q=Q_1Q_2^{-1}\).
Teoría
- \(A\sim_fB\iff PA=B\); \(A\sim_cB\iff AQ=B\); \(A\sim B\iff PAQ=B\) (\(P,Q\) invertibles).
- \(\operatorname{rg}(PAQ)=\operatorname{rg}(A)\).
- \(P\) y \(Q\) no son únicas en general. Comprueba siempre multiplicando.
Cerramos el Bloque E
Con \(P\) y \(Q\) hemos convertido en matrices concretas todo lo que sabíamos sobre operaciones elementales. Cualquier matriz, vista con los ejes adecuados a la entrada y a la salida, es una identidad rodeada de ceros. La inversa era el caso especial de las cuadradas de rango máximo.
En el próximo post empieza el último bloque del tema: el determinante, ese número \(ad-bc\) que ya ha asomado varias veces y que resulta contener, en un solo número, la respuesta a «¿tiene inversa?».
No cambies la matriz, cambia el punto de vista.
Siguiente: ¿qué es el determinante? →Como en el plano inclinado: el problema es el mismo, pero con los ejes adecuados se resuelve casi solo.
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