Dibuja un cuadrado en una masa de pizza y pásale el rodillo. El cuadrado se convierte en un paralelogramo de otra área, y si además das la vuelta a la masa, el dibujo queda del revés, como un guante izquierdo convertido en derecho. Con un solo número, el determinante dice las dos cosas: cuánto cambia el área y si la figura se ha dado la vuelta.
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De izquierda a derecha, las matrices \(\begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) y \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ \frac12 & 1\end{pmatrix}\). El cuadrado gris de lado 1 se transforma en la figura de color. El valor absoluto del determinante es el factor por el que se multiplican las áreas, y el signo dice si la orientación se conserva o se invierte.
Ya conoces un determinante sin saberlo: el número \(ad-bc\) del post 15, que decide si una matriz \(2\times2\) tiene inversa. Hoy lo generalizamos a matrices cuadradas de cualquier tamaño, aprendemos a calcularlo y descubrimos qué significa geométricamente. En el próximo post veremos cómo se calcula de forma eficiente y por qué decide, para cualquier tamaño, si una matriz es invertible.
Un dato histórico. Los determinantes son más antiguos que las matrices. El matemático japonés Seki Takakazu los usaba en 1683, y Leibniz los empleó en Europa en 1693. La palabra «determinante» la introdujo Gauss en 1801 con otro significado, y Cauchy la usó en su sentido moderno en 1812. La palabra «matriz» no llegó hasta 1850, con Sylvester. Durante más de siglo y medio se calcularon determinantes de tablas que nadie llamaba matrices.
Un número para cada matriz cuadrada
El determinante solo está definido para matrices cuadradas. Se escribe \(\det(A)\) o con barras verticales, \(|A|\). La definición es recursiva: el determinante de orden \(n\) se calcula a partir de determinantes de orden \(n-1\), y así hasta llegar a orden 1.
Primero, dos ingredientes. Dada \(A\) de orden \(n\), llamamos \(A_{ij}\) a la submatriz de orden \(n-1\) que queda al tachar la fila \(i\) y la columna \(j\). Su determinante, \(\det A_{ij}\), es el menor complementario de \(a_{ij}\), y el número
\[\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\]es el adjunto de \(a_{ij}\). El signo \((-1)^{i+j}\) sigue un patrón de tablero de ajedrez, con un \(+\) en la esquina superior izquierda:
\[\begin{pmatrix}+ & - & + & \cdots\\ - & + & - & \cdots\\ + & - & + & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix}\]Para \(n=1\): \(\det(a)=a\). Para \(n>1\):
\[\begin{aligned}\det A&=\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\,\alpha_{i1}\\ &=a_{11}\det A_{11}-a_{21}\det A_{21}+a_{31}\det A_{31}-\cdots\end{aligned}\]En palabras: recorre la primera columna y, para cada elemento, multiplícalo por el determinante de lo que queda al tachar su fila y su columna, alternando los signos. Se llama desarrollo de Laplace por la primera columna, en honor a Pierre‑Simon Laplace, que lo publicó en 1772. En el post 19 verás que se puede desarrollar por cualquier fila o columna y el resultado es el mismo.
Orden 2
Con la definición, \(\det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=a\cdot\det(d)-c\cdot\det(b)=ad-bc\). Es la diagonal principal menos la secundaria. Por ejemplo, \(\begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 2\end{vmatrix}=6-5=1\).
Calcula \(\det C\) para \(C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 4\end{pmatrix}\).
\[\begin{aligned}\det C&=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 4\end{vmatrix}-3\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & 4\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}\\ &=1\cdot4-3\cdot8-1\cdot4=-24\end{aligned}\]Fíjate en los signos: \(+,-,+\) por el patrón de ajedrez, y además el propio \(a_{31}=-1\) es negativo. Hay que llevar los dos signos.
La regla de Sarrus
Si desarrollas la definición para una \(3\times3\) general, salen seis productos de tres factores, uno de cada fila y de cada columna:
\[\begin{aligned}\det A=\ &a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\end{aligned}\]Para recordarlo existe una regla visual, atribuida al matemático francés Pierre Frédéric Sarrus: tres productos «en la dirección de la diagonal principal» con signo \(+\) y tres «en la dirección de la secundaria» con signo \(-\).
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Con la matriz \(C\) del ejemplo anterior: \(1\cdot1\cdot4+2\cdot2\cdot(-1)+0-0-2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot0=4-4-24=-24\). ✔ El mismo resultado.
¡Sarrus solo vale para orden 3! Para una \(4\times4\) no hay ninguna regla de «diagonales» que funcione: el determinante tiene 24 productos, no 8. Es uno de los errores más frecuentes en los exámenes.
Orden 4 y la explosión factorial
Para orden 4 se aplica la definición: cuatro determinantes de orden 3. El truco es que los ceros de la primera columna ahorran trabajo, porque esos términos se anulan sin calcular su menor.
Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\).
En la primera columna solo hay dos elementos no nulos: \(a_{11}=2\) (signo \(+\)) y \(a_{41}=1\) (signo \((-1)^{4+1}=-\)).
\[\det A=2\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 0 & 3\\ 1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}\]\(\det A=2\cdot(-7)-1\cdot(-13)=-14+13=-1\).
¿Cuántos productos tiene un determinante?
Desarrollando del todo, el determinante de orden \(n\) es una suma de \(n!\) productos, cada uno con un elemento de cada fila y de cada columna. Y \(n!\) crece de forma brutal:
| Orden n | Productos (n!) |
|---|---|
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 10 | 3 628 800 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 (unos 2,4 trillones) |
Para una matriz \(20\times20\), que en física es pequeña, un ordenador que hiciera mil millones de multiplicaciones por segundo tardaría del orden de 1500 años solo en calcular esos productos (cada uno lleva 19 multiplicaciones). Por eso la definición sirve para entender, pero no para calcular en matrices grandes. En el post 19 verás el método eficiente, que, cómo no, es Gauss.
Matrices triangulares: basta con la diagonal
Si \(A\) es triangular superior, entonces \(\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\).
Por qué (por inducción): en una triangular superior, la primera columna tiene ceros debajo de \(a_{11}\), así que el desarrollo deja un solo término, \(\det A=a_{11}\det A_{11}\). Y \(A_{11}\) vuelve a ser triangular superior, de orden \(n-1\), con diagonal \(a_{22},\dots,a_{nn}\). Repitiendo, \(\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\). \(\blacksquare\)
Consecuencias inmediatas: \(\det I_n=1\), y el determinante de una matriz diagonal es el producto de su diagonal. (Para las triangulares inferiores también es cierto. Lo verás en el post 19.)
Este resultado es la clave del método eficiente: si conseguimos llevar una matriz a forma triangular controlando cómo cambia el determinante, el resto es multiplicar la diagonal.
El determinante es un factor de área (o de volumen)
Toma las dos columnas de \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) como vectores del plano: \(u=(a,c)\) y \(v=(b,d)\). Son las imágenes de los vectores \((1,0)\) y \((0,1)\), es decir, de los lados del cuadrado unidad. El cuadrado se transforma en el paralelogramo de lados \(u\) y \(v\), y su área es
\[\text{Área}=|u|\,|v|\,\operatorname{sen}\theta=|ad-bc|=|\det A|\](La segunda igualdad es la conocida fórmula del producto vectorial: \(|u||v|\operatorname{sen}\theta\) es el módulo de \(u\times v\), que para vectores del plano vale \(|ad-cb|\).) Así que \(|\det A|\) es el área del paralelogramo, o dicho de otra forma, el factor por el que \(A\) multiplica todas las áreas.
- El signo indica la orientación: \(\det A>0\) si \(v\) queda girando en sentido antihorario desde \(u\), como \((0,1)\) desde \((1,0)\), y \(\det A<0\) si la figura se ha dado la vuelta, como en un espejo.
- \(\det A=0\) significa área cero: \(u\) y \(v\) están alineados y el plano se aplasta sobre una recta. Por eso esa matriz no tiene inversa (post 15).
- En orden 3 pasa lo mismo con volúmenes: \(|\det A|\) es el volumen del paralelepípedo que forman las tres columnas.
Esta lectura hace creíbles resultados que demostraremos en el post 19. Por ejemplo, \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\): si \(B\) multiplica las áreas por 3 y \(A\) por 2, aplicar las dos seguidas las multiplica por 6.
Determinantes por todas partes
- MecánicaEl producto vectorialMomento de una fuerza, momento angular, fuerza magnética... Todos se calculan con \(u\times v\), que se recuerda como un determinante «formal» (ejemplo de abajo).
- CristalesVolumen de la celdaEl volumen de la celda unidad de un cristal es el valor absoluto del determinante de sus tres vectores de red.
- CálculoCambiar de coordenadasAl pasar a polares, el elemento de área es \(r\,dr\,d\theta\). Esa \(r\) es un determinante (ejercicio 18.8).
- SimetríasGirar o reflejarLas rotaciones tienen determinante 1 (conservan áreas y orientación). Las reflexiones tienen \(-1\): son la diferencia entre una mano izquierda y una derecha. Las transformaciones de Lorentz del post 15 también tienen determinante \(\gamma^2(1-\beta^2)=1\).
Calcula \(u\times v\) para \(u=(1,2,0)\) y \(v=(0,1,3)\).
Se escribe un «determinante» con los vectores unitarios \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\) en la primera fila y se desarrolla por esa fila. Es un recurso para recordar la fórmula, no un determinante de verdad, porque mezcla vectores y números.
\[\begin{aligned}u\times v&=\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}\\ &=\mathbf i(6-0)-\mathbf j(3-0)+\mathbf k(1-0)\\ &=(6,-3,1)\end{aligned}\]Comprobación: \(u\times v\) debe ser perpendicular a los dos, y en efecto \((6,-3,1)\cdot(1,2,0)=6-6+0=0\) y \((6,-3,1)\cdot(0,1,3)=0-3+3=0\). ✔
Ocho ejercicios de determinantes
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Cuatro de orden 2
Calcula: a) \(\begin{vmatrix}4 & 6\\ 2 & 3\end{vmatrix}\) b) \(\begin{vmatrix}-2 & 5\\ 3 & 1\end{vmatrix}\) c) \(\begin{vmatrix}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{vmatrix}\) d) \(\begin{vmatrix}a & b\\ b & a\end{vmatrix}\)
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Diagonal principal menos secundaria. En c), recuerda la identidad fundamental de la trigonometría.
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a) \(12-12=0\): las filas son proporcionales. b) \(-2-15=-17\). c) \(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1\): las rotaciones conservan el área. d) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Sarrus y la definición, cara a cara
Calcula \(\det D\) para \(D=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 1 & 0 & 2\\ 4 & 1 & -1\end{pmatrix}\) de dos formas: con Sarrus y desarrollando por la primera columna.
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Escribe los seis productos uno por uno, con cuidado con los signos de las entradas negativas.
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Sarrus: \((2\cdot0\cdot(-1))+((-1)\cdot2\cdot4)+(3\cdot1\cdot1)-(3\cdot0\cdot4)-((-1)\cdot1\cdot(-1))-(2\cdot2\cdot1)=0-8+3-0-1-4=-10\).
Primera columna: \(2\begin{vmatrix}0 & 2\\ 1 & -1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}-1 & 3\\ 1 & -1\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}-1 & 3\\ 0 & 2\end{vmatrix}=2(-2)-(1-3)+4(-2)=-4+2-8=-10\). ✔
Triangulares en un segundo
Calcula sin desarrollar: a) \(\begin{vmatrix}2 & 7 & -1 & 4\\ 0 & -3 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 5\end{vmatrix}\) b) \(\det(I_7)\) c) \(\det\operatorname{diag}(2,-1,3,0)\)
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Producto de la diagonal.
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a) \(2\cdot(-3)\cdot1\cdot5=-30\). b) \(1\). c) \(0\): basta un cero en la diagonal.
Un 4×4 aprovechando los ceros
Calcula \(\det B\) para \(B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
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En la primera columna solo hay dos elementos no nulos: \(b_{11}=1\) y \(b_{31}=2\). ¿Qué signo lleva el de la fila 3?
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El signo de la posición \((3,1)\) es \((-1)^{3+1}=+\).
\[\det B=1\begin{vmatrix}3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}\]Primer menor: \(3(1-0)-0+1(0-2)=1\). Segundo menor: \(2(1-0)-3(0-0)+1(0-1)=1\). Así que \(\det B=1+2\cdot1=3\).
¿Cuándo se anula?
Encuentra los valores de \(x\) que anulan: a) \(\begin{vmatrix}x & 1\\ 4 & x\end{vmatrix}\) b) \(\begin{vmatrix}x & 1 & 0\\ 1 & x & 1\\ 0 & 1 & x\end{vmatrix}\)
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b) Desarrolla y saca factor común \(x\).
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a) \(x^2-4=0\), así que \(x=\pm2\).
b) Por Sarrus: \(x^3+0+0-0-x-x=x^3-2x=x(x^2-2)\). Se anula en \(x=0\) y \(x=\pm\sqrt2\).
Curiosidad: matrices «tridiagonales» como esta aparecen al estudiar cadenas de masas unidas por muelles, y los valores que anulan determinantes de este tipo están relacionados con sus frecuencias de vibración. Lo verás cuando estudies autovalores.
El área de un triángulo
Calcula el área del triángulo de vértices \(P_1=(1,1)\), \(P_2=(4,2)\) y \(P_3=(2,5)\).
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Usa los vectores \(u=P_2-P_1\) y \(v=P_3-P_1\). El triángulo es la mitad del paralelogramo que forman.
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\(u=(3,1)\), \(v=(1,4)\). Área del paralelogramo: \(\left|\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 4\end{vmatrix}\right|=|12-1|=11\). Área del triángulo: \(\tfrac{11}{2}=5{,}5\).
Como el determinante es positivo, el recorrido \(P_1\to P_2\to P_3\) va en sentido antihorario.
Determinante de \(\lambda A\)
a) Demuestra por inducción, usando la definición, que si \(A\) es de orden \(n\), entonces \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det A\). b) Si \(A\) es \(3\times3\) con \(\det A=2\), ¿cuánto vale \(\det(-2A)\)? c) ¿Es cierto que \(\det(A+B)=\det A+\det B\)?
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a) Las submatrices de \(\lambda A\) son \(\lambda\) por las de \(A\), y tienen orden \(n-1\). c) Prueba con \(A=B=I_2\).
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a) Para \(n=1\), \(\det(\lambda a)=\lambda a\). Si es cierto para orden \(n-1\), como \((\lambda A)_{i1}=\lambda A_{i1}\):
\[\begin{aligned}\det(\lambda A)&=\sum_i(\lambda a_{i1})(-1)^{i+1}\lambda^{n-1}\det A_{i1}\\ &=\lambda^n\sum_i a_{i1}(-1)^{i+1}\det A_{i1}\\ &=\lambda^n\det A\ \blacksquare\end{aligned}\]b) \((-2)^3\cdot2=-16\). ¡No \(-4\)! Multiplicar la matriz por \(\lambda\) multiplica cada una de las \(n\) filas por \(\lambda\). Geométricamente, si escalas un cubo por 2, su volumen se multiplica por \(2^3=8\).
c) No. Con \(A=B=I_2\): \(\det(2I_2)=4\), pero \(\det I_2+\det I_2=2\). El determinante no es lineal respecto a la suma de matrices.
Por qué en polares aparece una \(r\)
En coordenadas polares, \(x=r\cos\theta\) e \(y=r\operatorname{sen}\theta\). Un rectángulo pequeñito de lados \(dr\) y \(d\theta\) en el plano \((r,\theta)\) se transforma, aproximadamente, en un paralelogramo del plano \((x,y)\) cuyos lados son las columnas de la matriz jacobiana multiplicadas por \(dr\) y \(d\theta\):
\[J=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta\\ \operatorname{sen}\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}\]a) Calcula \(\det J\). b) Deduce el área de ese paralelogramo. c) ¿Por qué tiene sentido físico que dependa de \(r\)?
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a) Diagonal menos diagonal, y saca factor común \(r\). c) Piensa en dos «sectores de anillo» con el mismo \(dr\) y \(d\theta\), uno cerca del origen y otro lejos.
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a) \(\det J=r\cos^2\theta+r\operatorname{sen}^2\theta=r\).
b) Área \(\approx|\det J|\,dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta\). Es el famoso elemento de área en polares que usarás en integrales dobles, por ejemplo para calcular momentos de inercia de discos.
c) Con el mismo \(d\theta\), un trocito de anillo lejos del origen es mucho más largo (su arco mide \(r\,d\theta\)) que uno cercano. El determinante mide exactamente cuánto «se estira» el área al pasar de coordenadas \((r,\theta)\) a \((x,y)\), y ese estiramiento crece con \(r\).
Las trampas del determinante
- Usar Sarrus en una 4×4. Solo vale para orden 3. En orden 4 hay 24 productos.
- Olvidar el signo de ajedrez \((-1)^{i+j}\), o mezclarlo con el signo de la propia entrada. Son dos signos distintos y hay que llevar los dos.
- Creer que \(\det(\lambda A)=\lambda\det A\). Es \(\lambda^n\det A\).
- Creer que \(\det(A+B)=\det A+\det B\). Falso en general.
- Hablar del determinante de una matriz no cuadrada. No existe.
- Confundir \(|A|\) con un valor absoluto. \(|A|\) es el determinante y puede ser negativo. El área es \(\big|\det A\big|\).
Lo imprescindible del post
Cálculo
- Orden 2: \(ad-bc\). Orden 3: Sarrus (solo orden 3).
- Definición: \(\det A=\sum_i a_{i1}\alpha_{i1}\), con \(\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\).
- Triangular: producto de la diagonal. \(\det I=1\).
- Aprovecha los ceros de la columna por la que desarrolles.
Significado
- \(|\det A|\): factor de área (orden 2) o de volumen (orden 3).
- Signo: conserva (\(+\)) o invierte (\(-\)) la orientación.
- \(\det A=0\): aplasta el espacio, no hay inversa.
- \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det A\). El determinante no respeta la suma.
Un número con significado
El determinante condensa una matriz cuadrada en un solo número: cuánto estira las áreas o volúmenes y si les da la vuelta. Se define desarrollando por la primera columna, tiene atajos para orden 2, para orden 3 (Sarrus) y para las triangulares, pero en matrices grandes la definición es inutilizable.
En el próximo post resolvemos ese problema: veremos cómo cambia el determinante con cada operación elemental, lo que permite calcularlo con Gauss. Y, de paso, demostraremos tres resultados enormes: \(\det(AB)=\det A\det B\), \(\det A^t=\det A\) y que una matriz es invertible si y solo si su determinante no es cero.
Cuánto estira y si da la vuelta: todo en un número.
Siguiente: el determinante y las operaciones elementales →Como la masa de pizza bajo el rodillo: el determinante te dice cuánto ha crecido el dibujo y si lo estás mirando del revés.
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