Empuja de lado un mazo de cartas: se inclina, pero su volumen no cambia, porque cada carta sigue siendo la misma carta. Esa es exactamente la operación elemental de tipo II, y por eso no altera el determinante. Las otras dos tienen efectos igual de sencillos: intercambiar dos filas le cambia el signo y multiplicar una fila por \(t\) lo multiplica por \(t\). Con estas tres reglas, Gauss calcula determinantes en un suspiro.
desliza para ver todo →
Las filas \((3\ \ 1)\) y \((1\ \ 2)\) forman un paralelogramo de área 5 (en discontinua). Cada operación elemental lo transforma de una manera, y el determinante registra el cambio.
En el post 18 vimos que la definición del determinante es preciosa pero inútil para matrices grandes: \(n!\) productos. La salida es la de siempre en este tema: Gauss. Si sabemos cómo cambia el determinante con cada operación elemental, podemos escalonar la matriz, que pasa a ser triangular, y multiplicar la diagonal. Por el camino demostraremos los tres grandes teoremas del determinante.
Cómo cambia el determinante con cada operación
TIPO I · \(f_i\leftrightarrow f_j\)
cambia de signo
\(\det B=-\det A\). La figura es la misma, pero «gira al revés».
TIPO III · \(f_i\to t\,f_i\)
se multiplica por \(t\)
\(\det B=t\det A\). Estirar un lado multiplica el área.
TIPO II · \(f_i\to f_i+t\,f_j\)
no cambia
\(\det B=\det A\). Es la cizalla del mazo de cartas.
Por qué (las ideas de las demostraciones)
- Multiplicar una fila por \(t\). Por inducción con la definición (desarrollo por la primera columna). En el término de la fila \(i\), el elemento \(a_{i1}\) pasa a ser \(t\,a_{i1}\) y su menor no cambia, porque al tachar la fila \(i\) desaparece la fila multiplicada. En los demás términos, el elemento es el mismo pero el menor tiene una fila multiplicada por \(t\), y por hipótesis de inducción queda multiplicado por \(t\). Todo sale multiplicado por \(t\).
- Linealidad en una fila. Con la misma inducción se demuestra: si la fila \(i\) de \(A\) es la suma de las filas \(i\) de \(B\) y \(C\), y el resto de filas son iguales en las tres, entonces \(\det A=\det B+\det C\).
- Intercambiar dos filas. Para filas consecutivas, por inducción (en orden 2: \(cb-da=-(ad-bc)\)). Un intercambio cualquiera de las filas \(k\) y \(h\) se consigue con \(2(h-k)-1\) intercambios de filas consecutivas, que es un número impar: el signo cambia un número impar de veces.
- Dos filas iguales dan determinante 0. Si intercambias esas dos filas, la matriz no cambia, pero el determinante cambia de signo. Así que \(\det A=-\det A\), es decir, \(\det A=0\).
- Sumar a una fila un múltiplo de otra. Por linealidad, \(\det B=\det A+t\det C\), donde \(C\) es \(A\) con la fila \(i\) sustituida por la fila \(j\). Pero \(C\) tiene dos filas iguales, así que \(\det C=0\) y \(\det B=\det A\). \(\blacksquare\)
Consecuencias directas: una fila nula da determinante 0 (es multiplicar esa fila por \(t=0\)), y dos filas proporcionales también (restando, una se convierte en fila nula).
En lenguaje de matrices elementales
Aplicando las reglas a \(I_n\), cuyo determinante es 1, se obtienen los determinantes de las elementales:
y las tres reglas se resumen en una sola fórmula: para toda matriz elemental \(E\),
\[\det(EA)=\det(E)\,\det(A)\]Calcular determinantes con Gauss
La receta: escalona la matriz con operaciones de filas, apuntando el efecto de cada una. Una escalonada cuadrada es triangular superior, así que su determinante es el producto de la diagonal. Deshaz los efectos y tienes \(\det A\).
Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix}\).
Calcula \(\det B\) para \(B=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\ 2 & 5 & 0 & 4\\ -1 & -2 & 3 & 1\\ 3 & 6 & -3 & 10\end{pmatrix}\).
Con \(f_2\to f_2-2f_1\), \(f_3\to f_3+f_1\) y \(f_4\to f_4-3f_1\), todas de tipo II:
\[\det B=\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 1 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot2\cdot1=2\]Con la definición habrían sido 24 productos de cuatro factores. Aquí, tres operaciones y una multiplicación.
¿Cuánto se ahorra? Gauss sobre una matriz de orden \(n\) necesita del orden de \(n^3\) operaciones, frente a los \(n!\) productos de la definición. Para \(n=20\), son unos miles de operaciones frente a los trillones del post 18. Truco extra: si al escalonar aparece una fila de ceros, o un pivote que «se sale» de la diagonal, el determinante es 0 y no hace falta seguir.
Invertibilidad, producto y traspuesta
Sean \(A\) y \(B\) de orden \(n\). Entonces:
- \(A\) es invertible \(\iff\det A\neq0\).
- \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\).
- \(\det(A^t)=\det A\).
Por qué (1). Si \(A\) es invertible, es un producto de elementales (post 15), \(A=E_1\cdots E_k\), y aplicando \(\det(EX)=\det E\det X\) una y otra vez, \(\det A=\det E_1\cdots\det E_k\). Ningún determinante de una elemental es cero (valen \(-1\), \(t\neq0\) o \(1\)), así que \(\det A\neq0\). Si \(A\) no es invertible, al escalonarla aparece una fila nula: \(E_k\cdots E_1A\) tiene determinante 0, y como \(\det E_k\cdots\det E_1\det A=0\) con todos los \(\det E_i\neq0\), queda \(\det A=0\).
Por qué (2). Si \(A\) o \(B\) no es invertible, \(AB\) tampoco, porque \(\operatorname{rg}(AB)\le\min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}B\}<n\) (post 14). Entonces los dos lados valen 0. Si las dos son invertibles, se escriben como productos de elementales y la fórmula sale de aplicar \(\det(EX)=\det E\det X\) factor a factor.
Por qué (3). Si \(A\) no es invertible, \(A^t\) tampoco (post 15) y los dos determinantes valen 0. Si lo es, \(A=E_1\cdots E_k\) y \(A^t=E_k^t\cdots E_1^t\). Para cada elemental, \(\det E^t=\det E\): las de tipo I y III son simétricas, y la traspuesta de una de tipo II es otra de tipo II, también con determinante 1. Aplicando (2), \(\det A^t=\det A\). \(\blacksquare\)
Consecuencias que usarás a diario
- \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}\), porque \(\det A\cdot\det A^{-1}=\det(AA^{-1})=\det I=1\).
- \(\det(A^k)=(\det A)^k\), y \(\det(P^{-1}AP)=\det A\): cambiar de ejes no cambia el determinante.
- Todo lo dicho para filas vale para columnas, porque las columnas de \(A\) son las filas de \(A^t\). Intercambiar columnas cambia el signo, una columna nula da 0, etc.
- El determinante de una triangular inferior también es el producto de su diagonal (es la traspuesta de una superior). Promesa del post 18 cumplida.
Ojo: \(\det(AB)=\det A\det B\) es un producto, pero con la suma no hay nada parecido: \(\det(A+B)\neq\det A+\det B\) en general (ejercicio 18.7). Y aunque \(AB\neq BA\), siempre se cumple \(\det(AB)=\det(BA)\).
Desarrollar por cualquier fila o columna
Para cualquier fila \(i\) y cualquier columna \(j\):
La idea: por la primera fila, sale de \(\det A=\det A^t\) y de la definición aplicada a \(A^t\). Para la fila \(i\), se sube esa fila hasta arriba con \(i-1\) intercambios consecutivos, lo que pone un signo \((-1)^{i-1}\), y se desarrolla por la primera fila. Ese signo, combinado con el de ajedrez de la nueva posición, da exactamente \((-1)^{i+k}\). Para columnas, se traspone.
La estrategia ganadora combina las dos herramientas: elige la fila o columna con más ceros, haz más ceros con operaciones de tipo II si hace falta, y desarrolla por ella.
Calcula \(\det C\) para \(C=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 4 & 1 & 2\\ 3 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
La fila 2 tiene dos ceros. Solo cuentan \(c_{21}=1\) (signo \((-1)^{3}=-\)) y \(c_{23}=2\) (signo \((-1)^5=-\)):
\[\begin{aligned}\det C&=-1\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 & 0\\ 4 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}2 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 2\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}\\ &=-1\cdot(-5)-2\cdot10=-15\end{aligned}\](Los dos determinantes \(3\times3\) se calculan con Sarrus: \(1+6-12=-5\) y \(8+6-4=10\).)
Matrices triangulares por bloques
Si \(A\) y \(D\) son cuadradas (de órdenes cualesquiera), entonces
\[\det\begin{pmatrix}A & B\\ 0 & D\end{pmatrix}=\det A\cdot\det D\]Y, repitiendo, en una triangular por bloques el determinante es el producto de los determinantes de los bloques diagonales.
Por qué: escalona \(A\) con operaciones entre las primeras filas (que solo tocan \(A\) y \(B\)) y \(D\) con operaciones entre las últimas (que solo tocan \(D\), porque a su izquierda todo son ceros). La matriz entera queda triangular superior, con la diagonal de la escalonada de \(A\) seguida de la de \(D\), y los factores acumulados son los de \(A\) por los de \(D\).
Por ejemplo, \(\begin{vmatrix}2 & 1 & 5 & 7\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}=5\cdot(-2)=-10\). El bloque \(B\) no interviene.
Cuidado: la fórmula exige un bloque de ceros en una esquina. Para una matriz por bloques general, \(\det\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}\) no es \(\det A\det D-\det B\det C\).
Signos que deciden la materia
- CuánticaEl principio de exclusión de PauliLa función de onda de varios electrones se escribe como un determinante, el determinante de Slater. Que dos filas o columnas iguales den 0 es exactamente la razón por la que dos electrones no pueden ocupar el mismo estado (ejercicio 19.8).
- TransformacionesEncadenar cambios\(\det(AB)=\det A\det B\): si una transformación duplica los volúmenes y otra los triplica, juntas los multiplican por 6. Las rotaciones (\(\det=1\)) forman un «club» cerrado: el producto de dos rotaciones vuelve a tener determinante 1.
- Mecánica analíticaVolúmenes que se conservanEl teorema de Liouville dice que la evolución de un sistema hamiltoniano conserva el volumen en el espacio de fases. En el lenguaje de este post: el determinante de esa transformación vale 1.
Ocho ejercicios con las reglas
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Sin calcular nada
Sea \(A\) de orden 3 con \(\det A=5\). Calcula el determinante de: a) la matriz que resulta de intercambiar las filas 1 y 3; b) la que resulta de \(f_2\to3f_2\); c) la que resulta de \(f_2\to f_2+4f_1\); d) \(2A\); e) \(A^t\); f) \(A^{-1}\); g) \(A^2\).
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Las tres reglas, más \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det A\) (post 18) y los tres grandes teoremas.
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a) \(-5\). b) \(15\). c) \(5\). d) \(2^3\cdot5=40\). e) \(5\). f) \(\tfrac15\). g) \(25\).
Gauss para determinantes
Calcula por Gauss \(\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 7 & 11\end{vmatrix}\).
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Solo hacen falta operaciones de tipo II.
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\(f_2\to f_2-2f_1\) da \((0\ \ 1\ \ 1)\). \(f_3\to f_3-3f_1\) da \((0\ \ 1\ \ 2)\). \(f_3\to f_3-f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 1)\). Triangular con diagonal \(1,1,1\): el determinante es \(1\).
Ceros a la vista
Justifica, sin desarrollar, que estos determinantes valen 0:
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En el primero, mira \(f_1-2f_2+f_3\). En el segundo, compara las dos primeras columnas.
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Primero: \(f_1-2f_2+f_3=(0\ \ 0\ \ 0)\). Con \(f_1\to f_1-2f_2+f_3\) (tipo II, no cambia el determinante) aparece una fila nula: vale 0.
Segundo: la columna 2 es el doble de la columna 1. Con \(c_2\to c_2-2c_1\) aparece una columna nula: vale 0.
Un 4×4 con factor común
Calcula \(\det D\) para \(D=\begin{pmatrix}2 & 4 & -2 & 6\\ 1 & 3 & 0 & 4\\ -1 & -1 & 4 & 1\\ 2 & 5 & 1 & 9\end{pmatrix}\).
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Saca primero el factor 2 de la fila 1 (regla del tipo III «al revés»).
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Sacando el 2 de la fila 1: \(\det D=2\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\ 1 & 3 & 0 & 4\\ -1 & -1 & 4 & 1\\ 2 & 5 & 1 & 9\end{vmatrix}\).
Con \(f_2\to f_2-f_1\), \(f_3\to f_3+f_1\), \(f_4\to f_4-2f_1\), después \(f_3\to f_3-f_2\), \(f_4\to f_4-f_2\), y por último \(f_4\to f_4-f_3\):
\[\det D=2\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(1\cdot1\cdot2\cdot(-1))=-4\]El clásico, ahora con determinantes
Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}\) y deduce para qué valores de \(a\) es invertible. Compara con el ejercicio 13.7.
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Suma las tres columnas en la primera (\(c_1\to c_1+c_2+c_3\)): aparece un factor común en toda la columna.
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Con \(c_1\to c_1+c_2+c_3\) (tipo II) la primera columna es \((a+2,\,a+2,\,a+2)\). Sacando el factor común:
\[\begin{aligned}\det A&=(a+2)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a\end{vmatrix}\\ &=(a+2)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & a-1 & 0\\ 0 & 0 & a-1\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)^2\end{aligned}\](con \(f_2\to f_2-f_1\) y \(f_3\to f_3-f_1\)). Es invertible si y solo si \(a\neq1\) y \(a\neq-2\). Coincide con el ejercicio 13.7: rango 3 exactamente en esos casos.
Dos demostraciones de tres líneas
a) Demuestra que toda matriz antisimétrica real de orden impar tiene determinante 0. b) Demuestra que si \(Q^tQ=I\) (matriz ortogonal), entonces \(\det Q=\pm1\).
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a) \(A^t=-A\). Aplica \(\det\) a los dos lados. b) Aplica \(\det\) a \(Q^tQ=I\).
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a) \(\det A=\det A^t=\det(-A)=(-1)^n\det A=-\det A\), porque \(n\) es impar. Así que \(\det A=0\). \(\blacksquare\) (Por ejemplo, la matriz \(\Omega\) de la velocidad angular del post 03, de orden 3.)
b) \(1=\det I=\det(Q^tQ)=\det Q^t\det Q=(\det Q)^2\), así que \(\det Q=\pm1\). \(\blacksquare\) Las de \(+1\) son rotaciones y las de \(-1\) incluyen una reflexión.
Una 4×4 con parámetro
Calcula \(\begin{vmatrix}x & 1 & 1 & 1\\ 1 & x & 1 & 1\\ 1 & 1 & x & 1\\ 1 & 1 & 1 & x\end{vmatrix}\) factorizado, y di para qué valores de \(x\) se anula.
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El mismo truco que en el 19.5: todas las filas suman lo mismo.
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Con \(c_1\to c_1+c_2+c_3+c_4\), la primera columna es \((x+3,\dots,x+3)\). Se saca el factor \(x+3\) y se hace \(f_i\to f_i-f_1\) para \(i=2,3,4\):
\[(x+3)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x-1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & x-1\end{vmatrix}=(x+3)(x-1)^3\]Se anula en \(x=-3\) y en \(x=1\). (En general, en orden \(n\) sale \((x+n-1)(x-1)^{n-1}\).)
Pauli en un determinante
En mecánica cuántica, la función de onda de dos electrones que ocupan los estados \(\varphi_a\) y \(\varphi_b\) se escribe como un determinante de Slater (\(x_1,x_2\) son las posiciones de los electrones):
\[\Psi(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt2}\begin{vmatrix}\varphi_a(x_1) & \varphi_b(x_1)\\ \varphi_a(x_2) & \varphi_b(x_2)\end{vmatrix}\]Usando solo propiedades del determinante: a) ¿Qué le pasa a \(\Psi\) si se intercambian los electrones (\(x_1\leftrightarrow x_2\))? b) ¿Qué pasa si los dos electrones están en el mismo estado (\(\varphi_a=\varphi_b\))? c) ¿Y si están en la misma posición (\(x_1=x_2\))?
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Intercambiar los electrones intercambia… ¿filas o columnas? Estar en el mismo estado hace iguales… ¿filas o columnas?
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a) Intercambiar \(x_1\) y \(x_2\) es intercambiar las dos filas: \(\Psi(x_2,x_1)=-\Psi(x_1,x_2)\). La función de onda es antisimétrica, como corresponde a los electrones.
b) Las dos columnas son iguales, así que \(\Psi=0\): ese estado no existe. Es el principio de exclusión de Pauli: dos electrones no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Gracias a él existen la tabla periódica y la química.
c) Las dos filas son iguales, así que \(\Psi(x,x)=0\): la probabilidad de encontrar a los dos electrones en el mismo punto es nula. (Aquí «estado» incluye también el espín. Con espines distintos, los dos electrones pueden compartir orbital, como en el átomo de helio.)
Las trampas de las operaciones
- Olvidar el cambio de signo al intercambiar filas. Cuenta cuántos intercambios haces: si son impares, el signo cambia.
- Hacer \(f_i\to t\,f_i+f_j\) creyendo que no cambia nada. Esa operación multiplica el determinante por \(t\). Solo \(f_i\to f_i+t\,f_j\), con coeficiente 1 delante de la fila que cambias, lo deja igual.
- Sacar factor común de toda la matriz como si fuera una fila. Sacar \(\lambda\) de una fila da \(\lambda\); sacarlo de toda la matriz da \(\lambda^n\).
- Aplicar la fórmula por bloques sin bloque de ceros. Solo vale para matrices triangulares por bloques.
- Escribir \(\det(A+B)=\det A+\det B\). Falso. Solo el producto se comporta bien.
Lo imprescindible del post
Operaciones (filas o columnas)
- Intercambio: \(-\det\). Por \(t\): \(t\det\). Sumar un múltiplo: igual.
- Fila o columna nula, o dos proporcionales: \(\det=0\).
- Cálculo: escalonar y multiplicar la diagonal, deshaciendo los factores.
- Laplace por cualquier fila o columna: elige la que tenga más ceros.
Teoremas
- \(A\) invertible \(\iff\det A\neq0\).
- \(\det(AB)=\det A\det B\), \(\det A^t=\det A\), \(\det A^{-1}=1/\det A\).
- \(\det\begin{pmatrix}A & B\\ 0 & D\end{pmatrix}=\det A\det D\).
- Triangular, superior o inferior: producto de la diagonal.
El «gran resultado» queda completo
Con este post, la última pieza del gran resultado del Tema 1 encaja: para una matriz cuadrada, tener inversa, tener rango máximo, reducirse a la identidad, ser producto de elementales y tener determinante no nulo son la misma cosa. Y ahora sabemos calcular determinantes de forma eficiente, combinando Gauss y Laplace.
En el próximo post sacamos todavía más partido a los adjuntos: construiremos la matriz adjunta, que da una fórmula explícita para la inversa, y calcularemos un determinante famoso, el de Vandermonde.
Cambiar el orden cambia el signo, estirar multiplica, inclinar no cambia nada.
Siguiente: matriz adjunta, inversa y Vandermonde →Como el mazo de cartas empujado de lado: cambia la forma, pero lo que importa sigue ahí.
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