Un arquitecto tiene la maqueta perfecta de un edificio: todas las proporciones son exactas, pero está a escala. Para construirlo solo le falta un número, el factor de escala. Con la inversa de una matriz pasa algo parecido. Los adjuntos que conociste en el post 18 forman una «maqueta» de la inversa con la forma exacta pero a otra escala, y el factor que falta es justamente el determinante.
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Para cada elemento se tacha su fila y su columna y se calcula el determinante que queda, con el signo de ajedrez: es su adjunto. Con todos ellos se forma la matriz adjunta, se traspone y se divide entre \(\det A\).
En el post 16 aprendimos a calcular inversas con Gauss‑Jordan, un método eficiente pero que no da una fórmula. Hoy obtenemos esa fórmula: cada entrada de \(A^{-1}\) escrita como un cociente de determinantes. Para matrices pequeñas, para matrices con parámetros y para la teoría es una herramienta preciosa. Y cerramos con un determinante famoso que aparece cada vez que haces pasar una curva por unos puntos medidos: el de Vandermonde.
La matriz adjunta
Sea \(A\) de orden \(n\). Su matriz adjunta es la matriz de orden \(n\) formada por los adjuntos de sus elementos:
donde \(A_{ij}\) es la submatriz que queda al tachar la fila \(i\) y la columna \(j\) (post 18).
Ojo con la notación. En muchos libros, sobre todo en inglés, se llama «adjunta» (adjugate, \(\operatorname{adj}A\)) directamente a la traspuesta de esta matriz. Es solo un convenio: la fórmula de la inversa es la misma en los dos casos, pero hay que fijarse en si el libro o el profesor ya ha traspuesto o no. Aquí \(\operatorname{Adj}(A)\) es la matriz de adjuntos sin trasponer.
La identidad clave
Para toda matriz cuadrada \(A\):
\[A\,\operatorname{Adj}(A)^t=\operatorname{Adj}(A)^t\,A=\det(A)\,I_n\]En consecuencia, si \(\det A\neq0\), entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{Adj}(A)^t\).
Por qué. La entrada \((i,j)\) de \(A\,\operatorname{Adj}(A)^t\) es \(\sum_ka_{ik}\alpha_{jk}\): los elementos de la fila \(i\) multiplicados por los adjuntos de la fila \(j\).
- Si \(i=j\), es el desarrollo de Laplace por la fila \(i\) (post 19): vale \(\det A\).
- Si \(i\neq j\), es el desarrollo por la fila \(j\) de la matriz que resulta de sustituir la fila \(j\) de \(A\) por la fila \(i\). Los adjuntos de la fila \(j\) no cambian, porque esa fila se tacha. Pero esa matriz tiene dos filas iguales, así que vale 0. Es el truco de los «adjuntos ajenos»: elementos de una fila con adjuntos de otra siempre suman cero.
Así que \(A\,\operatorname{Adj}(A)^t\) tiene \(\det A\) en la diagonal y ceros fuera. El otro orden es igual, usando columnas. Si \(\det A\neq0\), basta dividir entre \(\det A\) (y por el post 15, un solo lado ya basta). \(\blacksquare\)
Es la «maqueta» de la introducción: \(\operatorname{Adj}(A)^t\) es la inversa salvo un factor de escala, \(\det A\).
Aplica la fórmula a \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\).
Los adjuntos: \(\alpha_{11}=d\), \(\alpha_{12}=-c\), \(\alpha_{21}=-b\), \(\alpha_{22}=a\). Así que
Exactamente la fórmula del post 15. Ahora sabes de dónde salía.
Calcula la inversa de \(D=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\).
- Fila 1: \(\alpha_{11}=+\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=0\), \(\alpha_{12}=-\begin{vmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=1\), \(\alpha_{13}=+\begin{vmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=-1\).
- Fila 2: \(\alpha_{21}=-\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=-1\), \(\alpha_{22}=+\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=0\), \(\alpha_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & 1\end{vmatrix}=1\).
- Fila 3: \(\alpha_{31}=+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=1\), \(\alpha_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{vmatrix}=-1\), \(\alpha_{33}=+\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\).
Comprobación: la primera fila de \(DD^{-1}\) es \((0+2-1\ \ \ {-1}+0+1\ \ \ 1-2+1)=(1\ \ 0\ \ 0)\). ✔
¿Adjunta o Gauss‑Jordan?
Para una matriz de orden \(n\), la adjunta necesita \(n^2\) determinantes de orden \(n-1\). Para \(n\ge4\) es mucho más lenta que Gauss‑Jordan. Pero tiene ventajas que Gauss no tiene:
- Es una fórmula cerrada. Va muy bien con parámetros, porque no hay que discutir pivotes (ejercicio 20.5).
- Sirve para demostrar cosas. Por ejemplo, que las entradas de \(A^{-1}\) son cocientes de polinomios en las entradas de \(A\), o qué matrices enteras tienen inversa entera (ejercicio 20.7).
- Para 2×2 y 3×3 sencillas suele ser rápida y fácil de comprobar.
El determinante de Vandermonde
Para números \(a_1,\dots,a_n\):
\[\begin{aligned}\Delta(a_1,\dots,a_n)&=\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}\\ &=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)\end{aligned}\]Por ejemplo, \(\Delta(a,b)=b-a\) y \(\Delta(a,b,c)=(b-a)(c-a)(c-b)\). La consecuencia más importante: \(\Delta\neq0\) si y solo si todos los \(a_i\) son distintos. (Si dos coinciden, hay dos columnas iguales.)
¿Por qué sale ese producto?
Curiosidad histórica. Este determinante lleva el nombre del matemático francés Alexandre‑Théophile Vandermonde (1735‑1796), pero, como señaló el matemático Henri Lebesgue, no aparece tal cual en ninguna de sus obras. Es un caso de «eponimia» que los historiadores todavía discuten. Lo que sí hizo Vandermonde fue un trabajo pionero sobre la teoría de los determinantes.
Curvas que pasan por puntos medidos
- LaboratorioInterpolar datosSi mides una magnitud en \(n\) instantes distintos, existe un único polinomio de grado menor que \(n\) que pasa por todos los puntos. El sistema que lo determina tiene una matriz de Vandermonde, cuyo determinante no es cero porque los instantes son distintos (ejercicio 20.8).
- Cálculo numéricoDerivar con datosLas fórmulas para aproximar derivadas a partir de valores en una malla de puntos, que se usan para simular ecuaciones de la física, se obtienen resolviendo sistemas de tipo Vandermonde.
- TeoríaInversas con significadoLa fórmula de la adjunta muestra que \(A^{-1}\) depende de forma continua de las entradas de \(A\) mientras \(\det A\neq0\). Si mides \(A\) con un pequeño error, la inversa cambia poco… salvo cerca de \(\det A=0\), donde el denominador se dispara.
Ocho ejercicios de adjuntas
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Adjuntos sueltos
Para \(A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 1 & 0 & 2\\ 4 & 1 & -1\end{pmatrix}\), calcula \(\alpha_{12}\), \(\alpha_{22}\) y \(\alpha_{31}\).
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Tacha la fila y la columna, calcula el \(2\times2\) y pon el signo \((-1)^{i+j}\).
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\(\alpha_{12}=-\begin{vmatrix}1 & 2\\ 4 & -1\end{vmatrix}=-(-1-8)=9\). \(\alpha_{22}=+\begin{vmatrix}2 & 3\\ 4 & -1\end{vmatrix}=-2-12=-14\). \(\alpha_{31}=+\begin{vmatrix}-1 & 3\\ 0 & 2\end{vmatrix}=-2\).
Inversa por adjuntos
Calcula, con la matriz adjunta, la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\).
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Empieza por el determinante. Como \(A\) es simétrica, su adjunta también lo será, y trasponer no cambia nada.
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\(\det A=2(3-1)-1(3-0)+0=1\). Adjuntos: \(\alpha_{11}=2\), \(\alpha_{12}=-3\), \(\alpha_{13}=1\), \(\alpha_{22}=6\), \(\alpha_{23}=-2\), \(\alpha_{33}=1\) (y los simétricos).
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1\\ -3 & 6 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}\]Comprobación: la primera fila de \(AA^{-1}\) es \((4-3\ \ \ {-6}+6\ \ \ 2-2)=(1\ \ 0\ \ 0)\). ✔
Vandermonde a mano
Calcula sin desarrollar: a) \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 4 & 9\end{vmatrix}\) b) \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 4 & 16 & 64\\ 1 & 8 & 64 & 512\end{vmatrix}\)
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Identifica los \(a_i\) en la segunda fila. Fíjate en que en b) la matriz es simétrica: las filas también son potencias.
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a) \(\Delta(1,2,3)=(2-1)(3-1)(3-2)=2\).
b) \(\Delta(1,2,4,8)=(2-1)(4-1)(8-1)(4-2)(8-2)(8-4)=1\cdot3\cdot7\cdot2\cdot6\cdot4=1008\).
¿Cuándo se anula?
Sin hacer cuentas, ¿para qué valores de \(x\) se anula \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & x\\ 1 & 4 & x^2\end{vmatrix}\)? Escríbelo factorizado.
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Es \(\Delta(1,2,x)\).
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\(\Delta(1,2,x)=(2-1)(x-1)(x-2)=(x-1)(x-2)\). Se anula en \(x=1\) y \(x=2\), justo cuando dos columnas coinciden.
Inversa con parámetro
Sea \(A_k=\begin{pmatrix}1 & 0 & k\\ 0 & 1 & 0\\ k & 0 & 1\end{pmatrix}\). ¿Para qué \(k\) es invertible? Calcula \(A_k^{-1}\) en esos casos.
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El determinante sale desarrollando por la fila 2. Los adjuntos tienen muchos ceros.
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Por la fila 2: \(\det A_k=1\cdot\begin{vmatrix}1 & k\\ k & 1\end{vmatrix}=1-k^2\). Es invertible si y solo si \(k\neq\pm1\).
Adjuntos: \(\alpha_{11}=1\), \(\alpha_{13}=-k\), \(\alpha_{22}=1-k^2\), \(\alpha_{31}=-k\), \(\alpha_{33}=1\), y los demás 0. La adjunta es simétrica, así que
\[A_k^{-1}=\frac{1}{1-k^2}\begin{pmatrix}1 & 0 & -k\\ 0 & 1-k^2 & 0\\ -k & 0 & 1\end{pmatrix}\]Una sola fórmula para todos los \(k\). Con Gauss habría que haber discutido los pivotes.
El determinante de la adjunta
Demuestra que si \(A\) es invertible de orden \(n\), entonces \(\det\operatorname{Adj}(A)=(\det A)^{n-1}\). Comprueba la fórmula con una \(2\times2\).
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Toma determinantes en \(A\,\operatorname{Adj}(A)^t=\det(A)\,I_n\). Recuerda que \(\det(\lambda I_n)=\lambda^n\).
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\(\det A\cdot\det\operatorname{Adj}(A)^t=\det(\det(A)I_n)=(\det A)^n\). Como \(\det\operatorname{Adj}(A)^t=\det\operatorname{Adj}(A)\) y \(\det A\neq0\), dividiendo queda \(\det\operatorname{Adj}(A)=(\det A)^{n-1}\). \(\blacksquare\)
Con \(n=2\): \(\operatorname{Adj}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d & -c\\ -b & a\end{pmatrix}\), de determinante \(ad-bc=(\det A)^1\). ✔
Inversas con números enteros
Sea \(A\) una matriz cuadrada de números enteros e invertible. Demuestra que \(A^{-1}\) tiene todas sus entradas enteras si y solo si \(\det A=\pm1\). Aplícalo a \(\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\) y a \(\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\).
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(⇐) Los adjuntos de una matriz entera son enteros. (⇒) \(\det A\cdot\det A^{-1}=1\), y el determinante de una matriz entera es un número entero.
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(⇐) Los adjuntos son determinantes de submatrices enteras, que son sumas de productos de enteros: son enteros. Si \(\det A=\pm1\), entonces \(A^{-1}=\pm\operatorname{Adj}(A)^t\) es entera.
(⇒) Si \(A^{-1}\) es entera, \(\det A\) y \(\det A^{-1}\) son enteros y su producto es \(\det(AA^{-1})=1\). Los únicos enteros cuyo producto es 1 son \(1\cdot1\) y \((-1)(-1)\), así que \(\det A=\pm1\). \(\blacksquare\)
\(\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\) tiene determinante 1: inversa entera, \(\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}\). \(\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\) tiene determinante 3: su inversa, \(\tfrac13\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\), no es entera.
Reconstruir un lanzamiento con tres medidas
Se lanza una pelota hacia arriba y se mide su altura (en metros) en tres instantes: \(y(0)=1\), \(y(1)=21{,}1\) e \(y(2)=31{,}4\) (tiempo en segundos). Suponemos un movimiento \(y(t)=c_0+c_1t+c_2t^2\).
a) Escribe el sistema para \(c_0,c_1,c_2\) en forma \(Vc=y\) y calcula \(\det V\) como un Vandermonde. ¿Por qué la solución es única? b) Calcula \(V^{-1}\) con la adjunta y resuelve. c) ¿Qué valor de \(g\) se deduce, y cuál era la velocidad inicial?
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Cada fila de \(V\) es \((1\ \ t\ \ t^2)\) para un instante. En un movimiento con aceleración constante, \(y=y_0+v_0t-\tfrac12gt^2\).
Ver solución
a) \(V\) es la traspuesta de una matriz de Vandermonde, y su determinante no es cero porque los tres instantes son distintos. Por tanto \(V\) es invertible y hay una única parábola que pasa por las tres medidas.
b) Adjuntos: \(\alpha_{11}=2\), \(\alpha_{12}=-3\), \(\alpha_{13}=1\), \(\alpha_{21}=0\), \(\alpha_{22}=4\), \(\alpha_{23}=-2\), \(\alpha_{31}=0\), \(\alpha_{32}=-1\), \(\alpha_{33}=1\). Trasponiendo y dividiendo entre 2:
(Por ejemplo, \(c_2=\tfrac12(1-42{,}2+31{,}4)=-4{,}9\).)
c) \(y(t)=1+25t-4{,}9t^2\). Comparando con \(y_0+v_0t-\tfrac12gt^2\): \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=25\ \mathrm{m/s}\). Tres medidas bastan para «ver» la gravedad.
Las trampas de la adjunta
- Olvidar trasponer. \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{Adj}(A)^t\), con la traspuesta (en el convenio de este post). Sin trasponer sale mal, salvo que la adjunta sea simétrica.
- Olvidar el signo de ajedrez. El adjunto no es el menor: es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
- Usar la fórmula con \(\det A=0\). Entonces no hay inversa. Lo que sigue siendo cierto es que \(A\,\operatorname{Adj}(A)^t=0\).
- Confundir convenios entre libros. Comprueba si «adjunta» incluye ya la trasposición o no.
- Escribir mal los factores de Vandermonde. Son \((a_j-a_i)\) con \(i<j\): el de la derecha menos el de la izquierda. Con el orden cambiado puede salir el signo contrario.
Lo imprescindible del post
Adjunta e inversa
- \(\operatorname{Adj}(A)=(\alpha_{ij})\), con \(\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\).
- \(A\,\operatorname{Adj}(A)^t=\operatorname{Adj}(A)^t\,A=\det(A)\,I\).
- \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{Adj}(A)^t\), si \(\det A\neq0\).
- \(\det\operatorname{Adj}(A)=(\det A)^{n-1}\).
Vandermonde
- \(\Delta(a_1,\dots,a_n)=\prod_{i<j}(a_j-a_i)\).
- \(\Delta\neq0\iff\) los \(a_i\) son distintos.
- Uso estrella: hay un único polinomio de grado menor que \(n\) que pasa por \(n\) puntos con abscisas distintas.
De los adjuntos a la inversa
Los adjuntos no solo calculan determinantes: ordenados en una matriz y traspuestos, dan la inversa salvo un factor de escala, que es \(\det A\). Es una fórmula cerrada, ideal para matrices pequeñas, con parámetros o para demostrar propiedades. Y el determinante de Vandermonde explica por qué siempre hay una única curva polinómica que pasa por unos puntos medidos.
En el próximo post, el último de teoría del tema, volvemos al rango con una herramienta nueva: los menores. Veremos que el rango es el tamaño del mayor menor no nulo y aprenderemos el «método de orlar».
La adjunta es la inversa sin escala; el determinante pone la escala.
Siguiente: el rango por menores →Como la maqueta del arquitecto: con la adjunta ya tienes la forma exacta; el determinante solo pone la escala.
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