Las muñecas rusas tienen una regla: cada una contiene a la anterior. Si quieres saber cuál es la más grande, no abres cajas al azar, sino que vas de dentro hacia fuera. Con el rango y los menores pasa lo mismo: el rango es el tamaño del mayor menor no nulo, y para buscarlo basta con ir «envolviendo» un menor no nulo con una fila y una columna más. Ese envolver se llama orlar.
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En lugar de calcular todos los menores de orden 3, basta con los que contienen al menor no nulo \(P\) que ya tenemos. En una matriz \(4\times5\), son 6 en lugar de 40.
En el post 13 calculamos el rango escalonando y contando filas. Hoy vemos una segunda forma, basada en determinantes. Es menos eficiente que Gauss para matrices grandes de números, pero brilla con parámetros: un determinante es un polinomio en el parámetro, y sus raíces te dicen exactamente dónde cambia el rango. Es el último post de teoría del Tema 1.
Menores de una matriz
Un menor de orden \(p\) de una matriz \(A\) (de cualquier tamaño) es el determinante de una submatriz \(p\times p\), formada al elegir \(p\) filas y \(p\) columnas.
Si \(A\) es cuadrada, sus menores principales son los de las esquinas superiores izquierdas: \(\Delta_1=a_{11}\), \(\Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}\), …, \(\Delta_n=\det A\).
Las filas y las columnas elegidas no tienen por qué ser consecutivas. Por ejemplo, en \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}\), eligiendo las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3 sale el menor \(\begin{vmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{vmatrix}=1\).
¿Cuántos hay? En una matriz \(m\times n\), el número de menores de orden \(p\) es \(\binom mp\binom np\): hay que elegir qué filas y qué columnas. En una \(4\times5\) hay \(\binom43\binom53=4\cdot10=40\) menores de orden 3. Son muchos, y por eso interesa el método de orlar.
El rango es el mayor menor no nulo
El rango de \(A\) es igual al mayor orden de un menor no nulo de \(A\). Es decir, \(\operatorname{rg}A=r\) si y solo si \(A\) tiene algún menor no nulo de orden \(r\) y todos sus menores de orden \(r+1\) (si los hay) son nulos.
Por qué.
- Una submatriz nunca tiene más rango que la matriz. Quitar columnas no puede hacer independientes unas filas que eran dependientes, y quitar filas solo puede bajar el máximo de filas independientes. Así que, si hay un menor no nulo de orden \(p\), su submatriz tiene rango \(p\) (es invertible, post 19) y \(\operatorname{rg}A\ge p\).
- Al revés: si \(\operatorname{rg}A=r\), elige \(r\) filas independientes. Forman una matriz \(r\times n\) de rango \(r\), que por el post 14 (rango por filas = rango por columnas) tiene \(r\) columnas independientes. Esas \(r\) filas y \(r\) columnas forman una submatriz \(r\times r\) de rango \(r\), es decir, con determinante no nulo. Hay un menor no nulo de orden \(r\). \(\blacksquare\)
Fíjate en la conexión con el post 19: una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene rango \(n\) si y solo si su único menor de orden \(n\), el determinante, no es nulo. Es lo mismo que «invertible \(\iff\det\neq0\)».
Orlar: crecer desde un menor no nulo
El teorema, aplicado tal cual, obliga a comprobar que todos los menores de orden \(r+1\) son nulos. El resultado clave de este post dice que basta con mirar unos pocos:
Sea \(P\) una submatriz \(p\times p\) de \(A\) con \(\det P\neq0\). Si todos los menores de orden \(p+1\) que se obtienen orlando \(P\) (añadiéndole una fila y una columna de \(A\)) son nulos, entonces \(\operatorname{rg}A=p\).
Por qué. Las \(p\) filas de \(A\) que pasan por \(P\) son independientes. Toma otra fila cualquiera, \(f\). Restringida a las columnas de \(P\), \(f\) es combinación de esas \(p\) filas, porque \(P\) es invertible. Restando esa combinación (operaciones de tipo II, que no cambian ningún determinante) obtienes una fila \(w\) con ceros en las columnas de \(P\). Ahora, para cada columna \(j\) fuera de \(P\), el menor orlado con \(f\) y con la columna \(j\) vale, por la fórmula de bloques del post 19,
\[\begin{vmatrix}P & *\\ 0\ \cdots\ 0 & w_j\end{vmatrix}=\det P\cdot w_j=0\]Como \(\det P\neq0\), queda \(w_j=0\) para toda \(j\): \(w\) es la fila nula y \(f\) era combinación de las filas de \(P\). Así, todas las filas dependen de esas \(p\), y \(\operatorname{rg}A=p\). \(\blacksquare\)
El algoritmo
- Busca un menor no nulo pequeño: un elemento \(\neq0\), o un \(2\times2\) a la vista.
- Órlalo con una fila nueva y cada columna nueva. Si alguno de esos menores es \(\neq0\), ya tienes uno de orden mayor: vuelve al paso 2 con él.
- Si con esa fila todos los orlados son nulos, la fila depende de las de \(P\): descártala y prueba con otra fila.
- Si ninguna fila consigue un menor orlado no nulo, el rango es el orden de \(P\).
Calcula por menores el rango de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 6 & 1 & 4\\ 1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}\).
rg(A) = 2 Hemos calculado 4 menores de orden 3, en lugar de los 16 que tiene una \(4\times4\).
Rangos con parámetros por determinantes
Para una matriz cuadrada con parámetro, la estrategia es directa:
- Calcula \(\det A\) como polinomio en el parámetro y busca sus raíces.
- Fuera de las raíces, el rango es máximo.
- En cada raíz, sustituye y busca el mayor menor no nulo, orlando.
Estudia el rango de \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & a & 6\\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}\) según \(a\).
Compara con el post 13: allí hacía falta escalonar sin dividir por el parámetro y estudiar los pivotes. Aquí el determinante te da de golpe los valores críticos.
El error clásico: encontrar un menor de orden \(p\) nulo y concluir que el rango es menor que \(p\). Para que el rango sea menor que \(p\), tienen que anularse todos los menores de orden \(p\). Para que sea al menos \(p\), basta con encontrar uno no nulo.
¿Menores o Gauss?
- Gauss es más eficiente para matrices grandes de números concretos.
- Menores son mejores con parámetros (sobre todo en matrices cuadradas), para matrices pequeñas y cuando hace falta justificar el rango con un dato concreto («este menor no es nulo»).
- Lo ideal es combinarlos: Gauss para simplificar y menores para rematar.
Contar lo que de verdad es independiente
- EstáticaFuerzas coplanariasSi un sólido está en equilibrio bajo tres fuerzas no paralelas, las tres tienen que ser coplanarias. Tres vectores del espacio son coplanarios si y solo si su determinante es cero, es decir, si la matriz que forman tiene rango menor que 3 (ejercicio 21.8).
- MecánicaGrados de libertadEn un sistema con ligaduras, el número de ligaduras realmente independientes es el rango de una matriz, y los grados de libertad son las coordenadas menos ese rango. Lo verás en mecánica analítica.
- LaboratorioDatos redundantesSi una medida es combinación de otras, la matriz de datos pierde rango. Los menores permiten localizar qué filas o columnas son las independientes.
Ocho ejercicios de menores
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Contar menores
a) ¿Cuántos menores de orden 2 y de orden 3 tiene una matriz \(3\times4\)? b) ¿Cuántos menores de orden 3 que contengan a un menor fijo de orden 2 (orlados) hay en esa matriz?
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a) \(\binom mp\binom np\). b) Hay que elegir una fila y una columna de las que no están en el menor.
Ver solución
a) Orden 2: \(\binom32\binom42=3\cdot6=18\). Orden 3: \(\binom33\binom43=4\). b) \((3-2)(4-2)=2\).
Un rango con dos menores
Calcula por menores el rango de \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\).
Ver pista
Empieza por el determinante. Si sale cero, busca un menor de orden 2 no nulo.
Ver solución
El determinante es 0 (ejercicio 19.3). Pero \(\begin{vmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{vmatrix}=5-8=-3\neq0\). Por tanto, \(\operatorname{rg}=2\).
Rango 1 con menores
Demuestra con menores que \(\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\ -2 & -4 & 2 & -6\end{pmatrix}\) tiene rango 1.
Ver pista
Un elemento no nulo es un menor de orden 1. Para los de orden 2, orla ese elemento.
Ver solución
\(a_{11}=1\neq0\), así que \(\operatorname{rg}\ge1\). Los menores orlados de orden 2 usan la fila 2 y una de las columnas 2, 3 o 4: \(\begin{vmatrix}1 & 2\\ -2 & -4\end{vmatrix}=0\), \(\begin{vmatrix}1 & -1\\ -2 & 2\end{vmatrix}=0\), \(\begin{vmatrix}1 & 3\\ -2 & -6\end{vmatrix}=0\). Por el método de orlar, \(\operatorname{rg}=1\). (Solo 3 menores, en lugar de los 6 de orden 2.)
Orlar una 3×4
Calcula por el método de orlar el rango de \(B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 5 & 1\end{pmatrix}\).
Ver pista
Empieza con \(\begin{vmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{vmatrix}\). Solo hay dos menores orlados.
Ver solución
\(\begin{vmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{vmatrix}=1\neq0\). Orlados (fila 3 con la columna 3 o con la 4):
Los dos son nulos: \(\operatorname{rg}B=2\). (En efecto, \(f_3=f_1+f_2\).)
Una rectangular con parámetro
Estudia el rango de \(C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & a & 1\\ 1 & 3 & 1 & a\end{pmatrix}\) según \(a\).
Ver pista
El rango es 3 si algún menor de orden 3 es no nulo. Calcula los que orlan \(\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{vmatrix}\): son dos, con la columna 3 o con la 4. ¿Pueden anularse a la vez?
Ver solución
El primero solo se anula en \(a=0\) y el segundo solo en \(a=1\): nunca a la vez. Por tanto, \(\operatorname{rg}C=3\) para todo \(a\). Con una matriz no cuadrada no hay un único determinante: hay que mirar varios menores.
Menores y traspuesta
a) Demuestra que \(A\) y \(A^t\) tienen exactamente los mismos menores. b) Deduce otra vez que \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^t\). c) Si una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\det A=0\) y algún menor de orden \(n-1\) no nulo, ¿cuál es su rango?
Ver pista
a) Una submatriz de \(A^t\) es la traspuesta de una submatriz de \(A\). Usa \(\det M^t=\det M\).
Ver solución
a) Elegir las filas \(I\) y las columnas \(J\) en \(A^t\) es lo mismo que elegir las filas \(J\) y las columnas \(I\) en \(A\) y trasponer. Como \(\det M^t=\det M\), los menores coinciden. \(\blacksquare\)
b) El rango es el mayor orden de un menor no nulo, y los menores son los mismos. \(\blacksquare\)
c) Exactamente \(n-1\): al menos \(n-1\) por el menor no nulo, y menos que \(n\) porque \(\det A=0\).
Una 4×4 con parámetro
Estudia el rango de \(A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a\end{pmatrix}\) según \(a\).
Ver pista
El determinante ya lo calculaste en el ejercicio 19.7. En los valores críticos, sustituye y busca el mayor menor no nulo.
Ver solución
Por el ejercicio 19.7, \(\det A=(a+3)(a-1)^3\).
- \(a\neq1\) y \(a\neq-3\): \(\operatorname{rg}A=4\).
- \(a=1\): todas las entradas valen 1, así que todos los menores de orden 2 son nulos y hay entradas no nulas: \(\operatorname{rg}A=1\).
- \(a=-3\): \(\det A=0\), pero el menor principal de orden 3 es \(\begin{vmatrix}-3 & 1 & 1\\ 1 & -3 & 1\\ 1 & 1 & -3\end{vmatrix}=(-3+2)(-3-1)^2=-16\neq0\) (es el ejercicio 19.5 con \(a=-3\)). \(\operatorname{rg}A=3\).
¿Pueden equilibrarse estas tres fuerzas?
Sobre un sólido actúan tres fuerzas no paralelas, \(F_1=(1,2,0)\), \(F_2=(0,1,a)\) y \(F_3=(1,a,a)\) (en newtons). Para que el sólido pueda estar en equilibrio bajo solo esas tres fuerzas, una condición necesaria es que sean coplanarias.
a) ¿Para qué valores de \(a\) son coplanarias? b) ¿Puede la matriz que forman tener rango 1 para algún \(a\)? c) Para cada valor de a), escribe \(F_3\) como combinación de \(F_1\) y \(F_2\).
Ver pista
a) Coplanarias \(\iff\) el rango de la matriz con filas \(F_1,F_2,F_3\) es menor que 3 \(\iff\) su determinante es 0. b) Busca un menor de orden 2 que nunca se anule.
Ver solución
a) Son coplanarias si y solo si \(a=0\) o \(a=3\).
b) No: \(\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\neq0\) para todo \(a\), así que el rango es siempre al menos 2. Las tres fuerzas nunca están en la misma recta.
c) Buscamos \(F_3=\lambda F_1+\mu F_2\). La primera componente da \(\lambda=1\) y la segunda, \(2+\mu=a\). Con \(a=0\): \(\mu=-2\), y la tercera componente se cumple: \(F_3=(1,0,0)=F_1-2F_2\). Con \(a=3\): \(\mu=1\), y la tercera da \(3\mu=3\) ✔: \(F_3=(1,3,3)=F_1+F_2\). Comprueba siempre las tres componentes.
Las trampas de los menores
- Un menor nulo no baja el rango. Para que el rango sea menor que \(p\), todos los menores de orden \(p\) tienen que ser nulos. Un único menor no nulo basta para subirlo.
- Orlar con filas y columnas que ya están en \(P\). Hay que añadir una fila nueva y una columna nueva.
- Olvidar casos al estudiar parámetros. En cada raíz del determinante hay que volver a mirar los menores con ese valor sustituido.
- Buscar «el» determinante de una matriz no cuadrada. No existe: hay que trabajar con sus menores.
- Usar menores en matrices grandes de números. Funciona, pero Gauss es mucho más rápido.
Lo imprescindible del post
Teoría
- Menor de orden \(p\): determinante de una submatriz \(p\times p\). Hay \(\binom mp\binom np\).
- \(\operatorname{rg}A\) = mayor orden de un menor no nulo.
- Orlar: si \(\det P\neq0\) y todos sus orlados son nulos, \(\operatorname{rg}A=\) orden de \(P\).
- \(A\) y \(A^t\) tienen los mismos menores.
Práctica
- Rango \(\ge p\): basta un menor de orden \(p\) no nulo.
- Rango \(<p\): todos los de orden \(p\) nulos, o bien todos los que orlan a un menor no nulo de orden \(p-1\).
- Con parámetro y matriz cuadrada: raíces de \(\det A\), y luego cada caso.
- Fila descartada al orlar = fila dependiente de las de \(P\).
Cerramos la teoría del Tema 1
El rango tiene ya tres caras: el máximo número de filas (o columnas) independientes, el número de filas no nulas de una escalonada y el mayor orden de un menor no nulo. El método de orlar hace práctica la tercera, sobre todo con parámetros, y conecta el rango con todo lo que sabemos de determinantes.
Con este post termina la teoría del tema. El próximo es un gran repaso: una batería de ejercicios resueltos que mezclan todo lo visto, de las operaciones con matrices a los determinantes, para que llegues al examen con todas las herramientas engrasadas.
Para encontrar la muñeca más grande, empieza por la que ya tienes en la mano.
Siguiente: ejercicios resueltos del Tema 1 →Como las muñecas rusas: cada menor no nulo guarda dentro la pista para encontrar el siguiente.
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