Batería del Tema 1

\(A\) es antisimétrica, porque \(a_{ji}=j-i=-a_{ij}\): diagonal nula y \(\operatorname{tr}A=0\). \(B\) es simétrica, porque \(\min\{i,j\}=\min\{j,i\}\), y \(\operatorname{tr}B=1+2+3=6\).

Comprobación: \(S+K=M\) entrada a entrada. Por ejemplo, la entrada \((1,3)\) es \(2+(-4)=-2\). ✔ La descomposición es única.

No coinciden, porque \(AB\neq BA\). Lo correcto es \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\). Compruébalo: \(A^2=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}\), \(B^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 6 & 1\end{pmatrix}\), y la suma de las cuatro da \(\begin{pmatrix}10 & 8\\ 12 & 10\end{pmatrix}\). ✔

\(N=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\), \(N^2=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(N^3=0\) (estrictamente triangular, post 07). Como \(IN=NI\), vale el binomio, y solo sobreviven tres términos:

\[A^n=I+nN+\binom n2N^2=\begin{pmatrix}1 & n & \frac{n(n-1)}{2}\\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Comprobación con \(n=2\): \(A^2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). ✔

a) \(P^2=\begin{pmatrix}4-2 & -4+2\\ 2-1 & -2+1\end{pmatrix}=P\). ✔

b) \((I-P)^2=I-2P+P^2=I-2P+P=I-P\), y \(P(I-P)=P-P^2=0\). \(\blacksquare\)

c) No. Un idempotente invertible tiene que ser \(I\) (ejercicio 15.7), y \(P\neq I\). También se ve con \(\det P=-2+2=0\). Físicamente, \(P\) es una proyección: aplasta el plano sobre una recta.

\(f_2\to f_2-2f_1\) da \((0\ \ 0\ \ 3\ \ {-6})\), y \(f_3\to f_3-f_1\) da \((0\ \ 0\ \ 3\ \ {-6})\). Con \(f_3\to f_3-f_2\), la fila 3 se anula. Después, \(f_2\to\tfrac13f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 1\ \ {-2})\), y \(f_1\to f_1+f_2\) da \((1\ \ 2\ \ 0\ \ 1)\).

\[H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

Columnas pivote: la 1 y la 3. Y de paso, \(\operatorname{rg}A=2\).

Las dos tienen \(H_f=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\), así que sí son equivalentes por filas (post 11).

Combinaciones: \((3\ \ 3\ \ 3)=f_1+f_2\) y \((1\ \ {-1}\ \ {-3})=f_2-f_1\), con \(f_1,f_2\) las filas de \(R_1\). ✔

\[C\xrightarrow[f_3\to f_3-f_1]{f_2\to f_2-2f_1}\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & a-2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a-2 & 0\end{pmatrix}\]

• \(a\neq2\): es escalonada con tres filas no nulas, así que \(\operatorname{rg}C=3\).
• \(a=2\): las filas 2 y 3 se anulan, así que \(\operatorname{rg}C=1\). (Todas las filas de \(C\) son múltiplos de la primera.)

Fíjate en que el rango salta de 3 a 1 sin pasar por 2: los dos pivotes dependen del mismo factor \(a-2\).

\(AB\) es \(4\times4\) y \(\operatorname{rg}(AB)\le\operatorname{rg}A\le\min\{4,3\}=3<4\). No es invertible, así que \(\det(AB)=0\). \(\blacksquare\)

\(BA\) es \(3\times3\) y su determinante puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, con \(A=\begin{pmatrix}I_3\\ 0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}I_3 & 0\end{pmatrix}\) sale \(BA=I_3\) y \(\det(BA)=1\).

a) Sobre \((A\,|\,I)\): \(f_2\to f_2-2f_1\) da \((0\ \ 1\ \ {-1}\,|\,{-2}\ \ 1\ \ 0)\). \(f_3\to f_3-f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 1\,|\,2\ \ {-1}\ \ 1)\). \(f_2\to f_2+f_3\) da \((0\ \ 1\ \ 0\,|\,0\ \ 0\ \ 1)\). \(f_1\to f_1-2f_3\) da \((1\ \ 0\ \ 0\,|\,{-3}\ \ 2\ \ {-2})\).

b) Comprobación: la primera fila de \(AX\) es \((-5+0+6\ \ \ 0+0+0)=(1\ \ 0)\). ✔

\(AX-2X=-B\), es decir, \((A-2I)X=-B\). Como \(A-2I=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}\) tiene determinante \(-2\neq0\):

\[(A-2I)^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}0 & -1\\ -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac12\\ 1 & -\frac12\end{pmatrix}\] \[X=-(A-2I)^{-1}B=-\begin{pmatrix}0 & 2\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -2\\ -1 & 0\end{pmatrix}\]

Comprobación: \(AX=\begin{pmatrix}-1 & -6\\ -2 & -4\end{pmatrix}\), y \(AX+B=\begin{pmatrix}0 & -4\\ -2 & 0\end{pmatrix}=2X\). ✔

Filas: \(f_2\to f_2-2f_1\), \(f_3\to f_3-f_1\), \(f_2\leftrightarrow f_3\), \(f_2\to-f_2\) y \(f_1\to f_1-2f_2\). Aplicadas a \((A\,|\,I_3)\) dan

\(H_f(A)\) ya es \(H(A)\), así que basta \(Q=I_2\): no siempre hacen falta columnas.

Las dos primeras filas de \(P\), \(X=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\), cumplen \(XA=I_2\): son una inversa por la izquierda (post 16). Comprobación: \(-1\cdot(1\ \ 2)+2\cdot(1\ \ 1)=(1\ \ 0)\) y \((1\ \ 2)-(1\ \ 1)=(0\ \ 1)\). ✔

Con \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3+f_1\) (no cambian el determinante), la primera columna queda \((2,0,0,0)\):

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}2 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 3 & 1 & 4\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 3\\ 3 & 1 & 4\end{vmatrix}\\ &=2\cdot(0+9+1-12-4-0)=2\cdot(-6)=-12\end{aligned}\]

a) \(2^4\cdot\tfrac13\cdot3=16\). b) \((-1)^4\cdot3^2=9\). c) \(3\cdot3=9\). d) \(3^{4-1}=27\).

a) \(\det E_k=1-k^2-k^2=1-2k^2\). Es invertible si y solo si \(k\neq\pm\tfrac{1}{\sqrt2}\).

b) \(\det E_1=-1\). Adjuntos de \(E_1=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\): \(\alpha_{11}=0\), \(\alpha_{12}=-1\), \(\alpha_{13}=1\), \(\alpha_{22}=1\), \(\alpha_{23}=-1\), \(\alpha_{33}=0\), y los simétricos. Dividiendo entre \(-1\):

\[E_1^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\]

Comprobación: la primera fila de \(E_1E_1^{-1}\) es \((0+1\ \ \ 1-1\ \ \ {-1}+1)=(1\ \ 0\ \ 0)\). ✔

Con \(c_1\to c_1-c_2\), la primera columna pasa a ser \((k-1,\,1-k,\,0)\). Sacando \((k-1)\) y desarrollando:

\[\begin{aligned}\det F&=(k-1)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & k & 1\\ 0 & 2 & k+1\end{vmatrix}\\ &=(k-1)^2(k+3)\end{aligned}\]

• \(k\neq1\) y \(k\neq-3\): \(\operatorname{rg}F=3\).
• \(k=1\): las filas son \((1\ \ 1\ \ 1)\), \((1\ \ 1\ \ 1)\) y \((2\ \ 2\ \ 2)\): \(\operatorname{rg}F=1\).
• \(k=-3\): \(\begin{vmatrix}-3 & 1\\ 1 & -3\end{vmatrix}=8\neq0\): \(\operatorname{rg}F=2\).

(El determinante \(3\times3\) de arriba vale \(1\cdot(k^2+k-2)+1\cdot(k+1-2)=k^2+2k-3=(k-1)(k+3)\), desarrollando por la primera columna.)

a) Por la primera columna: \(\det A_k=1\cdot(1-0)-0+k\cdot(2k-1)=2k^2-k+1\). Su discriminante es \(1-8=-7<0\), así que no tiene raíces reales, y como el coeficiente principal es positivo, \(\det A_k>0\) para todo \(k\). Siempre es invertible.

b) \(A_0=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) es triangular con unos en la diagonal. Con \(f_1\to f_1-2f_2-f_3\) sobre \((A_0\,|\,I)\):

\[A_0^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

c) \(X=BA_0^{-1}\). Primera fila: \((1\ \ 3\ \ 1)A_0^{-1}=(1\ \ {-2}+3\ \ {-1}+1)=(1\ \ 1\ \ 0)\). Segunda fila: \((0\ \ 1\ \ 0)A_0^{-1}=(0\ \ 1\ \ 0)\).

\[X=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\]

Comprobación: \(XA_0\) tiene como filas \(f_1+f_2=(1\ \ 3\ \ 1)\) y \(f_2=(0\ \ 1\ \ 0)\), que son las de \(B\). ✔

d) No siempre: \(2k^2-k+1=0\) tiene dos raíces complejas, \(k=\frac{1\pm i\sqrt7}{4}\), y para esos valores \(A_k\) no es invertible. La respuesta depende del cuerpo \(\mathbb{K}\) en el que trabajes.

a) Si las columnas de \(T\) suman 1, las de \(T-I\) suman 0. Con \(u=(1\ \ 1\ \ \cdots\ \ 1)\), cada entrada de \(u(T-I)\) es la suma de una columna: \(u(T-I)=0\) con \(u\neq0\). Es un divisor de cero, así que \(T-I\) no es invertible (post 15) y \(\det(T-I)=0\). \(\blacksquare\)

b) \(T-I=\begin{pmatrix}-0{,}1 & 0{,}2\\ 0{,}1 & -0{,}2\end{pmatrix}\) tiene rango 1 (filas opuestas). Su única ecuación es \(-0{,}1p_1+0{,}2p_2=0\), es decir, \(p_1=2p_2\). Con \(p_1+p_2=1\): \(p=\left(\tfrac23,\tfrac13\right)\).

c) A la larga, la molécula pasa dos tercios del tiempo en la conformación 1. Tiene sentido: sale de la 1 con la mitad de probabilidad con la que sale de la 2. En el equilibrio, el flujo \(1\to2\) (\(0{,}1\cdot\tfrac23\)) es igual al flujo \(2\to1\) (\(0{,}2\cdot\tfrac13\)). Este tipo de modelos, las cadenas de Markov, se usan en física estadística, química y biología.