\(\tfrac24\), \(\tfrac36\) y \(\tfrac{50}{100}\) parecen fracciones distintas, pero todas son \(\tfrac12\). Simplificar una fracción hasta el final te da su «forma oficial», única e inconfundible. Con las matrices pasa lo mismo, y esa forma oficial se llama forma de Hermite.
desliza para ver todo →
Muchas fracciones, una sola forma irreducible. Muchas matrices equivalentes por filas, una sola forma de Hermite.
En el post anterior la escalera de Gauss nos dejó un pequeño mal sabor de boca: según el camino, se llegaba a escalonadas distintas. Hoy vamos a «pulir» la escalera hasta el final con el método de Gauss‑Jordan, y llegaremos a una matriz con dos superpoderes:
- es única: no importa el camino que sigas, siempre llegas a la misma;
- es tan limpia que, si la matriz viene de un sistema de ecuaciones, la solución se lee directamente, sin hacer más cuentas.
Matrices escalonadas reducidas
Una matriz \(A\) es escalonada reducida si es escalonada y, además:
- todos los pivotes son iguales a 1;
- toda entrada situada en la misma columna que un pivote es 0.
Es decir: cada pivote es un 1 «solitario» en su columna, con ceros por encima y por debajo. Las columnas que no tienen pivote pueden tener cualquier cosa.
Pivotes 1 en las columnas 1, 2 y 4, con ceros en sus columnas. La columna 3 no tiene pivote y puede tener cualquier cosa.
Escalonada, pero el segundo pivote es un 2.
Encima del segundo pivote hay un 5.
Un caso muy especial: la identidad \(I_n\) es escalonada reducida. Es la que tiene un pivote en cada columna.
El método de Gauss‑Jordan
Toda matriz es equivalente por filas a una escalonada reducida, y el algoritmo es la continuación natural de Gauss:
- Escalona la matriz con el método de Gauss (post 10). Supón que los pivotes son \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\), en las columnas \(j_1<\dots<j_k\).
- Empieza por el último pivote, \(\lambda_k\). Si no es 1, divide su fila entre él: \(f_k\to\tfrac1{\lambda_k}f_k\) (Tipo III).
- Haz ceros encima: para cada fila \(i<k\) con un número \(\gamma\neq0\) en la columna \(j_k\), haz \(f_i\to f_i-\gamma f_k\) (Tipo II).
- Sube al pivote anterior y repite los pasos 2 y 3, hasta llegar al primero.
En el post 10 escalonamos una matriz \(4\times4\) y llegamos a:
\[\begin{pmatrix}\boxed{1} & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \boxed{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & \boxed{2}\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]La forma de Hermite: el DNI de una matriz
Toda matriz es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida.
La forma de Hermite por filas (o forma escalonada reducida) de \(A\) es la única matriz escalonada reducida equivalente por filas a \(A\). Se denota \(H_f(A)\).
¿Por qué es única? La idea de la demostración
La existencia ya la tenemos: el algoritmo de Gauss‑Jordan. Para la unicidad, la clave es un resultado auxiliar: si dos matrices escalonadas reducidas \(R\) y \(R'\) son equivalentes por filas, entonces son iguales. La intuición, sin todos los detalles:
- Si \(R\sim_fR'\), cada fila de una es combinación lineal de las filas de la otra (post 09).
- Si los pivotes de la primera fila de \(R\) y de \(R'\) estuvieran en columnas distintas, la fila que tiene el pivote más a la izquierda no podría construirse con las filas de la otra, que tienen ceros en esa columna. Así que están en la misma columna, y lo mismo pasa con todos los pivotes.
- Con los pivotes en las mismas posiciones, cada fila de \(R\) solo puede usar la fila de \(R'\) que tiene su mismo pivote, y con coeficiente 1, porque cualquier otra fila metería un número no nulo en la columna de otro pivote, donde tiene que haber un 0. Por tanto, las filas coinciden una a una.
Con eso, si \(A\) llevara a dos escalonadas reducidas \(R\) y \(R'\), estas serían equivalentes por filas entre sí (por transitividad), y por tanto iguales. \(\blacksquare\)
La gran consecuencia: un test de equivalencia
\(A\) y \(B\) son equivalentes por filas si y solo si \(H_f(A)=H_f(B)\).
Es como comparar los DNI de dos personas: si coinciden, son la misma persona (aquí, la misma «clase» de matrices). Para saber si se puede pasar de \(A\) a \(B\) con operaciones elementales, no hace falta buscar el camino. Basta con calcular las dos formas de Hermite y compararlas. Lo demostrarás tú en el ejercicio 11.8.
Además, como las escalonadas que se obtienen con Gauss solo se diferencian en cómo se «pulen», todas tienen los pivotes en las mismas columnas que \(H_f(A)\). Por eso, como avanzábamos en el post 10, las columnas de los pivotes y el número de filas no nulas no dependen del camino.
Dos nombres propios
La forma lleva el nombre del matemático francés Charles Hermite (1822–1901). El «Jordan» de Gauss‑Jordan es Wilhelm Jordan (1842–1899), un geodesta alemán que usaba el método en sus cálculos de topografía. No debe confundirse con Camille Jordan, el de la «forma canónica de Jordan» que verás más adelante en la asignatura.
Sistemas que se resuelven solos
Vuelve al circuito del post 10. Su matriz ampliada, llevada hasta la forma de Hermite, queda así:
\[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & -1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 12\\ 0 & 4 & -12 & 0\end{array}\right)\sim_f\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 2{,}4\\ 0 & 1 & 0 & 1{,}8\\ 0 & 0 & 1 & 0{,}6\end{array}\right)\]Cada fila dice directamente el valor de una incógnita: \(I_1=2{,}4\) A, \(I_2=1{,}8\) A e \(I_3=0{,}6\) A. Ni una cuenta más. Esa es la gran ventaja de Gauss‑Jordan sobre Gauss: hace la sustitución regresiva dentro de la propia matriz.
¿Y si hay infinitas soluciones?
La forma de Hermite también lo deja clarísimo. Si una columna (de las incógnitas) no tiene pivote, esa incógnita es libre: puede valer lo que quieras, y las demás se despejan en función de ella. Lo verás en el ejercicio 11.5, y lo estudiarás a fondo en el tema de sistemas de ecuaciones lineales.
Ciencia: ajustar una reacción química
En la combustión del metano, \(a\,\mathrm{CH_4}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}\), la materia se conserva: debe haber el mismo número de átomos de cada elemento a ambos lados. Eso da un sistema homogéneo:
\[\begin{aligned}\text{C:}&\quad a=c\\ \text{H:}&\quad 4a=2d\\ \text{O:}&\quad 2b=2c+d\end{aligned}\]La columna de \(d\) no tiene pivote: \(d\) es libre. La forma de Hermite dice \(a=\tfrac d2\), \(b=d\), \(c=\tfrac d2\). Tomando \(d=2\) para que todo sea entero: \(a=1\), \(b=2\), \(c=1\), \(d=2\). Es decir, \(\mathrm{CH_4}+2\,\mathrm{O_2}\to\mathrm{CO_2}+2\,\mathrm{H_2O}\). La ley de conservación de la materia, resuelta con álgebra lineal.
Ocho ejercicios para llegar al DNI
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Escalonada reducida?
Ver pista
Comprueba primero que es escalonada, después que los pivotes valen 1 y, por último, que en las columnas de los pivotes todo lo demás es 0.
Ver solución
- \(P\): sí. Pivotes en las columnas 1 y 3, y el 3 está en una columna sin pivote.
- \(Q\): sí.
- \(R\): no, ni siquiera es escalonada: el pivote de la fila 3 está en la columna 2, a la izquierda del de la fila 2.
- \(S\): no. Encima del pivote de la fila 3 hay un \(-1\). Con \(f_1\to f_1+f_3\) se convertiría en \(I_3\).
Pulir una escalera
Lleva hasta la forma de Hermite la matriz escalonada \(\begin{pmatrix}2 & 4 & -2\\ 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).
Ver pista
Empieza por el último pivote, el 3: divide su fila entre 3 y haz cero el 4 que tiene encima. Después, divide la primera fila entre 2.
Ver solución
Cuando el DNI es la identidad
Calcula \(H_f(A)\) para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3\\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}\).
Ver pista
Primero Gauss (ceros debajo de los pivotes) y después Gauss‑Jordan desde el último pivote. Si todo va bien, no te harán falta fracciones.
Ver solución
Gauss: \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-f_1\) dan las filas \((0\ \ 1\ \ 1)\) y \((0\ \ {-2}\ \ 1)\). Luego \(f_3\to f_3+2f_2\) da \((0\ \ 0\ \ 3)\).
Gauss‑Jordan: \(f_3\to\tfrac13f_3\) da \((0\ \ 0\ \ 1)\). Después \(f_2\to f_2-f_3\) da \((0\ \ 1\ \ 0)\) y \(f_1\to f_1-f_3\) da \((1\ \ 2\ \ 0)\). Por último, \(f_1\to f_1-2f_2\) da \((1\ \ 0\ \ 0)\).
\[H_f(A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=I_3\]Cuando la forma de Hermite de una matriz cuadrada es la identidad, la matriz tiene un superpoder que descubrirás en el post 15: tiene inversa.
Un sistema que se resuelve solo
Resuelve con Gauss‑Jordan el sistema \(x+y+z=2\), \(2x-y+z=-1\), \(x+2y-z=6\).
Ver pista
Tras la primera vuelta de Gauss, intercambia las filas 2 y 3 para tener un pivote igual a 1. Al final, cada fila de la forma de Hermite te dará una incógnita.
Ver solución
x = 1, y = 2, z = −1 Comprueba: \(1+2-1=2\), \(2-2-1=-1\), \(1+4+1=6\). ✔
Infinitas soluciones, leídas de Hermite
Resuelve el sistema \(x+y+2z=3\), \(2x+3y+5z=7\), \(x+2y+3z=4\) calculando la forma de Hermite de su matriz ampliada.
Ver pista
Te aparecerá una fila nula. Mira qué columna de las incógnitas se queda sin pivote: esa incógnita será libre.
Ver solución
(Pasos: \(f_2\to f_2-2f_1\), \(f_3\to f_3-f_1\), \(f_3\to f_3-f_2\) y \(f_1\to f_1-f_2\).)
La columna de \(z\) no tiene pivote: \(z\) es libre. Leyendo las filas: \(x=2-z\) e \(y=1-z\). Hay infinitas soluciones, una para cada valor de \(z\). Por ejemplo, con \(z=0\): \((2,1,0)\), y con \(z=1\): \((1,0,1)\).
¿Son de la misma familia?
Usa el criterio de las formas de Hermite para decidir cuáles de estas matrices son equivalentes por filas:
Ver pista
Calcula las tres formas de Hermite. En \(B\), empieza con \(f_1\to\tfrac13f_1\).
Ver solución
\(A\sim_fB\) (mismo DNI), pero \(D\) no es equivalente por filas a ninguna de las dos. Fíjate en que \(A\) y \(D\) solo se diferencian en un número, y aun así son de «familias» distintas.
Ajustar la combustión del propano
Ajusta la reacción \(a\,\mathrm{C_3H_8}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}\) planteando la conservación de los átomos de C, H y O y calculando la forma de Hermite de la matriz de coeficientes. Elige los menores coeficientes enteros positivos.
Ver pista
C: \(3a=c\). H: \(8a=2d\). O: \(2b=2c+d\). Pasa todo a la izquierda para escribir la matriz (columnas \(a,b,c,d\)).
Ver solución
\(d\) es libre, y \(a=\tfrac d4\), \(b=\tfrac{5d}4\), \(c=\tfrac{3d}4\). Con \(d=4\): \(a=1\), \(b=5\), \(c=3\), \(d=4\).
C₃H₈ + 5 O₂ → 3 CO₂ + 4 H₂O Comprueba: 3 C, 8 H y 10 O a cada lado. ✔
El test del DNI, demostrado
Usando que la forma de Hermite es única y que \(\sim_f\) es una relación de equivalencia, demuestra que \(A\sim_fB\iff H_f(A)=H_f(B)\).
Ver pista
Recuerda que \(A\sim_fH_f(A)\) y \(B\sim_fH_f(B)\). Para (\(\Rightarrow\)), encadena las equivalencias para ver que \(H_f(B)\) es una escalonada reducida equivalente por filas a \(A\).
Ver solución
(\(\Rightarrow\)) Si \(A\sim_fB\), como \(B\sim_fH_f(B)\), por transitividad \(A\sim_fH_f(B)\). Así que \(H_f(B)\) es una escalonada reducida equivalente por filas a \(A\). Pero la única que hay es \(H_f(A)\). Por tanto \(H_f(A)=H_f(B)\).
(\(\Leftarrow\)) Si \(H_f(A)=H_f(B)=H\), tenemos \(A\sim_fH\) y, por simetría, \(H\sim_fB\). Por transitividad, \(A\sim_fB\). \(\blacksquare\)
Las trampas de Gauss‑Jordan
- Hacer ceros en columnas sin pivote. Solo hay que limpiar las columnas de los pivotes. Los números de las demás columnas se quedan como estén.
- Limpiar de arriba abajo y estropear ceros. Ve del último pivote al primero y usa siempre la fila del pivote.
- Olvidar convertir algún pivote en 1. Escalonada con pivotes 2 o \(-1\) no es todavía la forma de Hermite.
- Creer que la escalonada de Gauss ya es única. La única es la reducida, \(H_f(A)\).
- Despejar mal las incógnitas libres. Las incógnitas sin pivote son libres. Las demás se escriben en función de ellas.
Lo imprescindible del post
Escalonada reducida
- Escalonada + pivotes iguales a 1 + ceros en las columnas de los pivotes.
- Gauss‑Jordan: Gauss y luego, desde el último pivote, \(f_k\to\tfrac1{\lambda_k}f_k\) y ceros encima.
- \(I_n\) es escalonada reducida.
Forma de Hermite
- \(H_f(A)\): la única escalonada reducida equivalente por filas a \(A\).
- \(A\sim_fB\iff H_f(A)=H_f(B)\).
- Sistemas: cada pivote despeja una incógnita y las columnas sin pivote son incógnitas libres.
La forma irreducible de una matriz
Igual que toda fracción tiene una forma irreducible, toda matriz tiene su forma de Hermite: única, limpia y reveladora. Con ella decides si dos matrices son de la misma familia y resuelves sistemas leyendo la solución directamente.
En el próximo post cerramos el Bloque C con los trucos del oficio: cuándo se pueden hacer varias operaciones a la vez sin peligro, el error del «ciclo» que convierte una matriz en ceros por arte de magia, y cómo se trabaja con operaciones por columnas.
Muchos caminos, un solo destino.
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