En las montañas de Asia, los campesinos llevan siglos convirtiendo laderas imposibles en terrazas: escalones planos donde todo queda ordenado. El método de Gauss hace lo mismo con una matriz. Convierte un caos de números en una escalera perfecta, y en esa escalera la información se lee a simple vista.
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La escalera baja una fila en cada escalón, pero puede avanzar más de una columna (aquí, de la columna 1 salta a la 3).
Llegamos al corazón del Bloque C. En el post anterior conociste las tres operaciones elementales. Hoy las ponemos a trabajar juntas en un algoritmo con nombre propio: el método de Gauss (o eliminación gaussiana), que transforma cualquier matriz en una matriz escalonada.
Es probablemente el algoritmo más usado de toda el álgebra lineal. Con él resolverás sistemas de ecuaciones, calcularás rangos, inversas y determinantes, y lo verás en casi todos los exámenes. Pero no te asustes: es un método muy mecánico, y en cuanto lo hagas tres o cuatro veces te saldrá solo.
Pivotes y matrices escalonadas
El pivote de una fila es su primer elemento distinto de 0, leyendo de izquierda a derecha. Una fila nula no tiene pivote. Una matriz \(A\) es escalonada si:
- las filas nulas, si las hay, son las últimas;
- cada pivote tiene más ceros a su izquierda que el pivote de la fila anterior.
La segunda condición significa que los pivotes bajan como una escalera: cada uno está en una columna estrictamente más a la derecha que el de arriba. En consecuencia, debajo de cada pivote solo hay ceros. Los escalones pueden ser «anchos» (saltar varias columnas), pero nunca «altos»: no puede haber dos filas con el pivote en la misma columna.
Pivotes en las columnas 1, 2 y 4. El último escalón es ancho, y eso está permitido.
Puede empezar con una columna de ceros, y la fila nula está al final.
Los pivotes de las filas 2 y 3 están en la misma columna: un escalón «alto».
Hay una fila nula que no está al final.
Observa también que toda matriz cuadrada escalonada es triangular superior (post 02). Por eso, a veces se dice que Gauss «triangulariza» la matriz.
El algoritmo de Gauss, paso a paso
Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada, y la demostración consiste precisamente en dar un algoritmo que lo consigue usando solo operaciones de Tipo I (intercambiar) y de Tipo II (sumar a una fila un múltiplo de otra):
- Busca el pivote. Localiza la primera columna (empezando por la izquierda) que tenga algún número distinto de 0. Si el número de arriba del todo de esa columna es 0, intercambia esa fila con otra que tenga un número no nulo en esa columna (Tipo I). Ese número, \(\lambda\neq0\), es tu pivote.
- Haz ceros debajo del pivote. Para cada fila \(i\) de debajo que tenga un número \(\gamma\neq0\) en la columna del pivote, haz \(f_i\to f_i-\tfrac{\gamma}{\lambda}f_1\) (Tipo II). Así, debajo del pivote solo quedan ceros.
- Tapa y repite. Si la matriz ya es escalonada, has terminado. Si no, «tapa» la fila del pivote y todas las columnas hasta la suya incluida, y repite los pasos 1 y 2 con la submatriz que queda.
En cada vuelta se fija una fila de la escalera y la matriz que queda por trabajar es más pequeña, así que el proceso siempre termina.
Gauss en acción, de principio a fin
Es la matriz de la portada. Tiene 3 pivotes (en las columnas 1, 3 y 4) y una fila nula. Esa fila nula nos dice algo importante: una de las filas originales era redundante (combinación de las demás). Con cuatro filas, \(A\) solo tenía tres de información real.
La escalonada no es única… pero algo sí lo es
Si haces el método de Gauss con otras operaciones (otro intercambio, otro pivote), puedes llegar a una matriz escalonada distinta. Por ejemplo, partiendo de \(\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\) se puede llegar tanto a
(lo comprobarás en el ejercicio 10.6). Así que una matriz no es equivalente por filas a una única matriz escalonada. Pero fíjate en lo que coincide: las dos tienen 2 filas no nulas y los pivotes en las mismas columnas (la 1 y la 2). No es casualidad:
- El número de filas no nulas de una escalonada no depende del camino. Es el rango, el protagonista del post 13.
- Si además se «pule» la escalonada hasta el final (pivotes iguales a 1 y ceros también por encima), sí se llega a una matriz única: la forma de Hermite, que verás en el próximo post.
Resolver un circuito con Gauss
Una batería de 12 V con una resistencia de 2 Ω en serie alimenta dos resistencias de 4 Ω y 12 Ω en paralelo. Llamamos \(I_1\) a la corriente de la batería, \(I_2\) a la de la resistencia de 4 Ω e \(I_3\) a la de 12 Ω. Las leyes de Kirchhoff dan:
Escribimos la matriz ampliada del sistema (coeficientes de \(I_1,I_2,I_3\) y términos independientes) y aplicamos Gauss:
\[\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & -1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 12\\ 0 & 4 & -12 & 0\end{array}\right)\\ &\xrightarrow{f_2\to f_2-2f_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 6 & 2 & 12\\ 0 & 4 & -12 & 0\end{array}\right)\end{aligned}\]Para no usar fracciones con \(\tfrac46\), hacemos \(f_3\to3f_3\) y luego \(f_3\to f_3-2f_2\) (dos operaciones legales, una tras otra):
\[\xrightarrow{f_3\to 3f_3-2f_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 6 & 2 & 12\\ 0 & 0 & -40 & -24\end{array}\right)\]Ahora la escalera se resuelve de abajo arriba (sustitución regresiva): la última fila dice \(-40I_3=-24\), así que \(I_3=0{,}6\) A. La segunda, \(6I_2+2\cdot0{,}6=12\), da \(I_2=1{,}8\) A. Y la primera, \(I_1=I_2+I_3=2{,}4\) A.
Comprobación física: el paralelo de 4 Ω y 12 Ω equivale a 3 Ω, y con los 2 Ω en serie suman 5 Ω. \(I_1=\tfrac{12}{5}=2{,}4\) A. ✔ Los simuladores de circuitos resuelven los sistemas de ecuaciones de circuitos enormes con algoritmos que se basan en esta misma eliminación.
Un poco de historia
El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777–1855), que lo utilizó de forma sistemática a principios del siglo XIX en sus cálculos de órbitas, como la del asteroide Palas. Pero, como vimos en el post 01, la idea de eliminar incógnitas operando con tablas de coeficientes ya aparecía en el texto chino Los nueve capítulos sobre el arte matemático, unos dos mil años antes.
Ocho ejercicios para dominar la escalera
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Escalonada o no?
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Marca el pivote de cada fila y comprueba dos cosas: que bajan hacia la derecha y que las filas nulas están al final.
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- \(P\): sí. Pivotes en las columnas 1 y 3 (escalón ancho) y la fila nula al final.
- \(Q\): no. El pivote de la fila 2 (columna 1) está a la izquierda del de la fila 1 (columna 2). Con \(f_1\leftrightarrow f_2\) sí sería escalonada.
- \(R\): no. La fila nula no está al final.
- \(S\): sí. Una sola fila siempre es escalonada.
Tu primera escalera
Escalona \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 1\\ -1 & 1 & 4\end{pmatrix}\) con el método de Gauss.
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El pivote de la primera vuelta es el 1 de la esquina. Haz \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3+f_1\). Después trabaja con la submatriz de las filas 2 y 3.
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Tres pivotes (1, \(-1\) y 12), ninguna fila nula: las tres filas de \(A\) eran independientes.
Cuando hay que intercambiar
Escalona \(B=\begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 2\\ 1 & 1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 10 & 2\end{pmatrix}\). ¿Cuántas filas no nulas tiene el resultado?
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Arriba a la izquierda hay un 0: empieza con un intercambio.
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Dos filas no nulas: una de las tres filas de \(B\) era redundante.
Mucha información repetida
Escalona \(C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & 3 & 1\\ 3 & -2 & 5 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\). ¿Cuántas filas tienen información real?
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Tras la primera vuelta, mira bien las filas 2, 3 y 4: te llevarás una sorpresa.
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Solo 2 filas de información real entre las cuatro. (Las tres operaciones de la primera vuelta usan la fila 1, que no cambia, así que se pueden hacer a la vez sin peligro.)
Una escalera con complejos
Escalona en \(\mathfrak{M}_2(\mathbb{C})\) la matriz \(\begin{pmatrix}i & 1\\ 1 & -i\end{pmatrix}\).
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El pivote es \(i\). Necesitas \(f_2\to f_2-\tfrac{1}{i}f_1\), y \(\tfrac1i=-i\) (porque \(i\cdot(-i)=1\)).
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\(f_2\to f_2-\tfrac1if_1=f_2+if_1\): la nueva fila 2 es \((1+i\cdot i\ \ \ -i+i\cdot1)=(1-1\ \ \ 0)=(0\ \ 0)\).
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}i & 1\\ 1 & -i\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_2\to f_2+if_1}\begin{pmatrix}i & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}\]¡Una fila nula! Aunque a simple vista no lo parecía, la segunda fila era la primera multiplicada por \(-i\): \(-i\cdot(i\ \ 1)=(1\ \ -i)\). Gauss funciona igual con números complejos.
Dos caminos, dos escaleras
Sea \(D=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\).
a) Escalónala usando el 2 de la esquina como primer pivote. b) Escalónala empezando con \(f_1\leftrightarrow f_3\). c) Compara: ¿qué tienen en común las dos escalonadas?
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En b), después del intercambio, el primer pivote vuelve a ser un 2, pero de otra fila. En la segunda vuelta de b) aparece un \(-5\) como pivote: para no usar fracciones, haz \(f_3\to5f_3-2f_2\).
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c) Las dos escalonadas son distintas, pero tienen el mismo número de filas no nulas (2) y los pivotes en las mismas columnas (1 y 2). Eso no depende del camino: es información de la propia matriz \(D\).
Otro circuito, el mismo método
Una batería de 9 V con una resistencia de 1 Ω en serie alimenta dos resistencias en paralelo de 3 Ω y 6 Ω. Con la misma notación que en el post, las ecuaciones son \(I_1-I_2-I_3=0\), \(I_1+3I_2=9\) y \(3I_2-6I_3=0\).
a) Escribe la matriz ampliada, escalónala y resuelve por sustitución regresiva. b) Comprueba el resultado con la resistencia equivalente.
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Tras \(f_2\to f_2-f_1\), el segundo pivote es un 4 y debajo hay un 3. Para evitar fracciones, haz \(f_3\to4f_3-3f_2\).
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a) De abajo arriba: \(I_3=1\) A; \(4I_2+1=9\Rightarrow I_2=2\) A; \(I_1=I_2+I_3=3\) A.
b) Paralelo: \(\tfrac{3\cdot6}{3+6}=2\) Ω; total: \(1+2=3\) Ω; \(I_1=\tfrac93=3\) A. ✔ Y la tensión en el paralelo, \(9-1\cdot3=6\) V, da \(I_2=\tfrac63=2\) A e \(I_3=\tfrac66=1\) A. ✔
Una escalera con parámetro
Escalona \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & a\end{pmatrix}\) según el valor de \(a\in\mathbb{R}\). ¿Para qué valor de \(a\) aparece una fila nula? En ese caso, escribe la tercera fila como combinación de las otras dos.
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Escalona sin dividir entre nada que contenga \(a\). Al final, la última fila tendrá una sola entrada que depende de \(a\).
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Si \(a\neq5\), hay tres pivotes. Si \(a=5\), la tercera fila es nula: las filas de \(A\) son dependientes. En ese caso, \(f_3=2f_2-f_1\): \(2(1\ \ 2\ \ 3)-(1\ \ 1\ \ 1)=(1\ \ 3\ \ 5)\). ✔
Estudiar cómo cambia la escalera según un parámetro es un clásico de examen. En el post 13 lo llamarás «calcular el rango en función de \(a\)».
Las trampas de la escalera
- Elegir mal el pivote. El pivote de una fila es su primer número no nulo, leyendo de izquierda a derecha. No vale coger un número que esté más a la derecha.
- Hacer ceros usando una fila que ya has modificado en la misma vuelta. En cada vuelta, todas las operaciones usan la fila del pivote, que no cambia. Así puedes hacerlas a la vez sin peligro.
- Dividir por algo que puede ser 0. Con parámetros, nunca dividas entre \(a-5\) sin estudiar aparte el caso \(a=5\).
- Olvidar mover las filas nulas al final. Si aparece una fila nula en medio, baja la fila nula con un intercambio.
- Equivocarse con los signos. \(f_i\to f_i-\tfrac{\gamma}{\lambda}f_1\): si \(\gamma\) es negativo, ese «menos» se convierte en «más». Revisa cada cero que fabriques.
Lo imprescindible del post
Escalonada
- Pivote: primer número no nulo de cada fila.
- Filas nulas al final; cada pivote, más a la derecha que el de arriba.
- Debajo de los pivotes, solo ceros. Escalones anchos sí; escalones altos no.
- Cuadrada y escalonada \(\Rightarrow\) triangular superior.
Método de Gauss
- 1. Pivote (con \(f_1\leftrightarrow f_h\) si hace falta). 2. Ceros debajo: \(f_i\to f_i-\tfrac\gamma\lambda f_1\). 3. Tapar y repetir.
- Toda matriz es equivalente por filas a una escalonada.
- La escalonada no es única, pero sí lo son el número de filas no nulas y las columnas de los pivotes.
- Sistemas: se resuelven de abajo arriba.
De la ladera a la terraza
Hoy has aprendido el algoritmo más usado del álgebra lineal. Gauss convierte cualquier matriz en una escalera, y esa escalera te dice cuánta información real hay (filas no nulas) y te permite resolver sistemas de abajo arriba. Con un poco de práctica, se convierte en algo casi automático.
Pero la escalera tiene un pequeño defecto: no es única. En el próximo post la «pulimos» hasta el final con el método de Gauss‑Jordan y llegamos a una forma que sí es única: la forma de Hermite, una especie de DNI de cada matriz.
Pivote, ceros debajo, tapar y repetir.
Siguiente: Gauss‑Jordan y la forma de Hermite →Una matriz escalonada es una ladera convertida en terraza: el mismo terreno, pero ahora se puede trabajar.
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