Una ecuación es una balanza en equilibrio. Puedes reordenar las balanzas, juntar dos balanzas en una o duplicar lo que hay en los dos platillos, y el equilibrio no se rompe. Esas tres jugadas son las operaciones elementales, y con ellas vas a poder simplificar cualquier matriz.
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Cada fila de una matriz es como una ecuación: una balanza. Las operaciones elementales la transforman sin perder la información que contiene.
Empieza el Bloque C, uno de los más importantes de la asignatura y de los que más se preguntan en los exámenes: el método de Gauss. La idea es simplificar una matriz paso a paso, haciendo ceros, hasta dejarla en una forma tan sencilla que se pueda «leer» casi todo de ella: si un sistema tiene solución, cuál es el rango, si existe la inversa…
Pero antes de construir el método necesitamos dos cosas: entender cuándo una fila es redundante (porque se puede obtener de las demás) y conocer las tres únicas jugadas permitidas para transformar filas sin perder información.
Combinaciones de filas: ¿hay información repetida?
Cada fila de una matriz \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es una matriz fila \(1\times n\), así que podemos sumarlas y multiplicarlas por números (post 04). A partir de ahora llamaremos \(f_1,\dots,f_m\) a las filas de una matriz.
Una combinación lineal de las matrices fila \(F_1,\dots,F_k\) (del mismo tamaño) es una expresión
\[\alpha_1F_1+\alpha_2F_2+\cdots+\alpha_kF_k\]con \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbb{K}\).
Los \(\alpha_i\) son los coeficientes. Las filas \(F_1,\dots,F_k\) son dependientes si alguna de ellas es combinación lineal de las demás, e independientes en caso contrario. La combinación con todos los coeficientes iguales a 0 se llama trivial.
Fíjate en que \(2f_1+3f_2=(2\ \ 4\ \ 0)+(0\ \ 3\ \ {-3})=(2\ \ 7\ \ {-3})=f_3\). La tercera fila no aporta nada nuevo: se puede reconstruir con las otras dos. Las filas son dependientes.
Hay una forma equivalente de decirlo que se usa muchísimo en las demostraciones:
\(F_1,\dots,F_k\) son dependientes si y solo si existe una combinación lineal no trivial (con algún coeficiente distinto de 0) que da la fila nula:
\[\alpha_1F_1+\cdots+\alpha_kF_k=0\]Por qué: si \(F_k=\alpha_1F_1+\cdots+\alpha_{k-1}F_{k-1}\), pasando todo a un lado queda \(\alpha_1F_1+\cdots+\alpha_{k-1}F_{k-1}-F_k=0\), con el coeficiente \(-1\neq0\). Y al revés: si \(\alpha_1F_1+\cdots+\alpha_kF_k=0\) con, por ejemplo, \(\alpha_k\neq0\), se despeja \(F_k\) dividiendo entre \(\alpha_k\). En el ejemplo: \(2f_1+3f_2-f_3=0\).
Una consecuencia inmediata: una fila nula nunca puede estar en un conjunto de filas independientes, porque \(1\cdot0=0\) es una combinación no trivial que da cero.
Quedarse con lo esencial: un conjunto máximo de filas independientes
Muchas veces querremos saber cuántas filas «de verdad distintas» tiene una matriz. Un procedimiento sencillo, fila a fila:
- Descarta las filas nulas.
- Empieza con la primera fila: \(C=\{f_1\}\).
- Recorre las demás en orden. Si la fila nueva es combinación lineal de las que ya están en \(C\), descártala. Si no lo es, añádela a \(C\).
Al final, las filas de \(C\) son independientes y todas las demás se escriben con ellas. El número de filas de \(C\) será, como veremos en el post 13, el rango de la matriz: la cantidad de información real que contiene.
¿Dónde aparece en física? Ecuaciones que sobran en un circuito
En un circuito con tres nudos \(A\), \(B\) y \(C\), entra una corriente de 5 A por \(A\) y sale por \(C\). Las corrientes \(I_1\) (de \(A\) a \(B\)), \(I_2\) (de \(B\) a \(C\)) e \(I_3\) (de \(A\) a \(C\)) cumplen la ley de los nudos de Kirchhoff en cada nudo:
¡La tercera fila es la primera menos la segunda! La ecuación del último nudo no aporta información nueva: si la carga se conserva en \(A\) y en \(B\), se conserva automáticamente en \(C\). Esto pasa en todos los circuitos: con \(N\) nudos, solo \(N-1\) ecuaciones de nudos son independientes. Las filas dependientes no son un detalle técnico. Son la forma que tiene el álgebra de decirte que una ley física ya está incluida en las demás.
Operaciones elementales de filas
Estas son las únicas transformaciones permitidas en el método de Gauss:
Intercambiar dos filas
\(f_i\leftrightarrow f_j\)
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 4 & 0 & 1\\ -2 & 5 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_1\leftrightarrow f_3}\begin{pmatrix}-2 & 5 & 2\\ 4 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 3\end{pmatrix}\end{aligned}\]Reordenar ecuaciones no cambia nada.
Sumar a una fila otra por un número
\(f_i\to f_i+\beta f_j\), con \(j\neq i\)
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 4 & 0 & 1\\ -2 & 5 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_2\to f_2-2f_1}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 0 & 2 & -5\\ -2 & 5 & 2\end{pmatrix}\end{aligned}\]La reina del método de Gauss: sirve para hacer ceros.
Multiplicar una fila por un número no nulo
\(f_i\to\alpha f_i\), con \(\alpha\neq0\)
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 4 & 0 & 1\\ -2 & 5 & 2\end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{f_3\to3f_3}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 4 & 0 & 1\\ -6 & 15 & 6\end{pmatrix}\end{aligned}\]Sirve para «limpiar» números: dejar un 1, quitar fracciones.
¿Por qué \(\alpha\neq0\) y \(j\neq i\)?
Porque la gracia de las operaciones elementales es que se pueden deshacer. Multiplicar una fila por 0 la convierte en una fila nula, y entonces ya no hay forma de recuperar lo que había: hemos perdido información. Lo mismo pasaría con «\(f_i\to f_i-f_i\)», que es la razón de exigir \(j\neq i\) en el Tipo II. En una balanza: puedes duplicar lo que hay en los platillos, pero no vaciarlos.
- La inversa de \(f_i\leftrightarrow f_j\) es \(f_i\leftrightarrow f_j\) (volver a intercambiar).
- La inversa de \(f_i\to f_i+\beta f_j\) es \(f_i\to f_i-\beta f_j\).
- La inversa de \(f_i\to\alpha f_i\) es \(f_i\to\tfrac1\alpha f_i\) (aquí es donde hace falta \(\alpha\neq0\)).
Matrices elementales: cada jugada es un producto
Una matriz elemental de orden \(n\) es la que resulta de aplicar a la identidad \(I_n\) una operación elemental de filas. Se escriben \(E_{f_i\leftrightarrow f_j}\), \(E_{f_i\to f_i+\beta f_j}\) y \(E_{f_i\to\alpha f_i}\).
Por ejemplo, en orden 3:
Fíjate en dónde aparece el \(-2\) de la segunda: en la posición \((2,1)\), es decir, en la fila que cambia (2) y la columna de la fila que se usa (1).
Aplicar una operación elemental de filas a una matriz \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es lo mismo que multiplicar \(A\) por la izquierda por la matriz elemental correspondiente de orden \(m\):
\[A\xrightarrow{\text{operación}}E\cdot A\]Es la misma idea que viste en el post 05: multiplicar por la izquierda actúa sobre las filas. Por ejemplo, la fila 2 de \(E_{f_2\to f_2-2f_1}A\) es \((-2\ \ 1\ \ 0)\cdot A=-2f_1+f_2\), exactamente lo que pedía la operación.
¿Para qué sirve escribir las operaciones como matrices? Para poder hacer álgebra con ellas. Si aplicas a \(A\) una sucesión de operaciones con matrices \(E_1,E_2,\dots,E_k\), el resultado es
\[B=E_k\cdots E_2E_1\,A\](la primera operación es la que queda más a la derecha). Toda la sucesión se resume en una sola matriz, \(P=E_k\cdots E_1\). En el post 17 aprenderás a calcular esa \(P\) a la vez que haces el método de Gauss.
Matrices equivalentes por filas
Dos matrices \(A\) y \(B\) son equivalentes por filas, y se escribe \(A\sim_f B\), si \(A=B\) o si se puede transformar \(A\) en \(B\) mediante una sucesión finita de operaciones elementales de filas. Es decir, si existen matrices elementales \(E_1,\dots,E_k\) tales que \(B=E_k\cdots E_1A\).
La equivalencia por filas es una relación de equivalencia, en el sentido matemático del término:
- Reflexiva: \(A\sim_f A\) (por definición).
- Simétrica: si \(A\sim_f B\), entonces \(B\sim_f A\): basta con aplicar las operaciones inversas en orden contrario. Aquí es donde se usa que todas se pueden deshacer.
- Transitiva: si \(A\sim_f B\) y \(B\sim_f C\), entonces \(A\sim_f C\): se encadenan las dos sucesiones de operaciones.
Y la propiedad más importante: si \(A\sim_f B\), cada fila de \(B\) es combinación lineal de las filas de \(A\) (y, por la simetría, al revés). Cada operación elemental produce filas que son combinaciones de las anteriores. Por tanto, al transformar una matriz con operaciones elementales no se crea ni se destruye información: solo se reorganiza. Esa es la base del método de Gauss que construiremos en el próximo post.
Ocho ejercicios con filas y jugadas
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Sobra alguna fila?
En la matriz \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 5\end{pmatrix}\), ¿es \(f_3\) combinación lineal de \(f_1\) y \(f_2\)? Si lo es, escribe una combinación lineal no trivial de las tres filas que dé la fila nula.
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Busca \(\alpha,\beta\) con \(\alpha f_1+\beta f_2=f_3\). Mira primero la segunda columna: \(f_1\) tiene un 0 ahí, así que \(\beta\) sale enseguida.
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Segunda columna: \(0\cdot\alpha+1\cdot\beta=1\Rightarrow\beta=1\). Primera columna: \(\alpha+3=5\Rightarrow\alpha=2\). Comprobamos la tercera: \(2\cdot2+1\cdot1=5\). ✔
Así que \(f_3=2f_1+f_2\) y las filas son dependientes. La combinación no trivial que da cero es \(2f_1+f_2-f_3=0\).
Aplica las jugadas
Aplica a \(A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 4\\ 1 & 3 & -1\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\), una tras otra, las operaciones: \(f_1\leftrightarrow f_2\); después \(f_3\to f_3-2f_1\); después \(f_2\to\tfrac12f_2\). ¿Qué tipo es cada una?
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Cada operación se aplica sobre la matriz que ha salido de la anterior, no sobre la original.
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¿Ves lo que está pasando? Debajo del primer 1 ya hay ceros. Es el método de Gauss empezando a trabajar.
Construye matrices elementales
Escribe las matrices elementales de orden 3 de las operaciones \(f_2\leftrightarrow f_3\), \(f_3\to f_3+4f_1\) y \(f_1\to-5f_1\), y las operaciones que las deshacen.
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Aplica cada operación a \(I_3\). Para la de Tipo II, el 4 va en la fila que cambia (3) y en la columna de la fila que se usa (1).
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Se deshacen con \(f_2\leftrightarrow f_3\), \(f_3\to f_3-4f_1\) y \(f_1\to-\tfrac15f_1\), respectivamente.
Operar es multiplicar
Sea \(M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 4\\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix}\). Calcula el producto \(E_{f_2\to f_2-3f_1}\,M\) y comprueba que da lo mismo que aplicar directamente \(f_2\to f_2-3f_1\) a \(M\). ¿Qué pasaría si multiplicaras por la derecha, \(M\,E_{f_2\to f_2-3f_1}\)?
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\(E_{f_2\to f_2-3f_1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). Para la última pregunta, recuerda que multiplicar por la derecha actúa sobre las columnas.
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Directamente: \(f_2-3f_1=(3-3\ \ 1-6\ \ 4-0)=(0\ \ {-5}\ \ 4)\). ✔ Coinciden.
Por la derecha, \(M\,E\) hace una operación sobre las columnas: \(c_1\to c_1-3c_2\) (a la columna 1 se le resta 3 veces la columna 2). Las operaciones elementales por columnas existen y las veremos en el post 12, pero no son las que se usan en el método de Gauss por filas.
Un conjunto máximo de filas independientes
Aplica el procedimiento de este post a \(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 4\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}\). ¿Cuántas filas «de verdad distintas» tiene \(A\)?
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Empieza con \(C=\{f_1\}\). ¿Es \(f_2\) un múltiplo de \(f_1\)? ¿Y \(f_3\)? Para \(f_4\), busca si es combinación de las filas que hayas guardado.
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- \(C=\{f_1\}\).
- \(f_2=2f_1\): se descarta.
- \(f_3\) no es múltiplo de \(f_1\) (su primera entrada es 0, pero la segunda no): se añade, \(C=\{f_1,f_3\}\).
- \(f_4=f_1+f_3=(1\ \ 0\ \ 3)\): se descarta.
\(C=\{f_1,f_3\}\): la matriz tiene 2 filas independientes. Cuatro filas, pero solo dos de información real. (En el post 13 dirás que su rango es 2.)
¿Jugada legal o trampa?
¿Cuáles de estas transformaciones son operaciones elementales de filas? Para las que no lo sean, explica qué falla.
a) \(f_2\to-f_2\) b) \(f_1\to0\cdot f_1\) c) \(f_3\to f_3+\sqrt2\,f_1\) d) \(f_2\to 2f_2+f_1\) e) \(f_1\to f_1+f_2\) y, a la vez, \(f_2\to f_2+f_1\)
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Compara cada una con los tres tipos. Para d), piensa si se puede conseguir con dos operaciones seguidas. Para e), mira si el resultado se puede deshacer.
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a) Sí: Tipo III con \(\alpha=-1\).
b) No: multiplicar por 0 destruye la fila y no se puede deshacer.
c) Sí: Tipo II con \(\beta=\sqrt2\). Cualquier número de \(\mathbb{K}\) vale.
d) No es una sola operación elemental, pero es la composición de dos legales: \(f_2\to2f_2\) (Tipo III) y luego \(f_2\to f_2+f_1\) (Tipo II). Se puede usar, sabiendo que son dos pasos.
e) Trampa. Hechas «a la vez», las dos filas nuevas son iguales, \(f_1+f_2\), y se pierde información. Ejemplo: \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) se convertiría en \(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\), con dos filas iguales. Las operaciones se hacen de una en una, cada una sobre el resultado de la anterior. (En el post 12 verás cuándo se pueden agrupar sin peligro.)
La ecuación que sobra en un circuito
En un circuito con cuatro nudos \(A,B,C,D\), las corrientes de las ramas son \(I_1\) (\(A\to B\)), \(I_2\) (\(B\to C\)), \(I_3\) (\(C\to D\)) e \(I_4\) (\(A\to D\)). Entran 6 A por \(A\) y salen 6 A por \(D\).
a) Escribe la ley de los nudos en cada nudo («lo que entra = lo que sale») y la matriz ampliada del sistema, con columnas \(I_1,I_2,I_3,I_4\) y términos independientes.
b) Demuestra que las cuatro filas son dependientes, encontrando una combinación lineal no trivial que dé la fila nula.
c) ¿Qué significa físicamente?
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En \(A\): entran 6, salen \(I_1\) e \(I_4\). En \(D\): entran \(I_3\) e \(I_4\), salen 6. Escribe todas las ecuaciones con el mismo convenio, «salientes − entrantes = externa», y prueba a sumar las cuatro filas.
Ver solución
a) Escribiendo «corrientes que salen − corrientes que entran = corriente externa que entra»:
b) \(f_1+f_2+f_3+f_4=(0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ |\ 0)\). Es una combinación no trivial (todos los coeficientes son 1) que da la fila nula: las filas son dependientes.
c) Cada corriente sale de un nudo y entra en otro, así que al sumar todas las ecuaciones se cancela todo. Eso es la conservación de la carga en el circuito entero, que ya estaba incluida en las ecuaciones de los nudos. Una de las cuatro ecuaciones sobra: solo hay \(4-1=3\) independientes.
Las matrices elementales se deshacen
a) Calcula \(E_{f_3\to f_3+5f_1}\,E_{f_3\to f_3-5f_1}\) en orden 3. ¿Qué obtienes? ¿Por qué tenía que salir eso?
b) Demuestra que \(E_{f_i\leftrightarrow f_j}^{\,2}=I_n\). ¿De qué «personalidad» del post 07 es?
c) Demuestra que \(E_{f_i\to\alpha f_i}\) es diagonal y calcula \(E_{f_i\to\alpha f_i}\,E_{f_i\to\frac1\alpha f_i}\).
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Recuerda que multiplicar \(E\cdot X\) es aplicar a \(X\) la operación de \(E\). Por ejemplo, en a): aplicar \(f_3\to f_3+5f_1\) a la matriz \(E_{f_3\to f_3-5f_1}\).
Ver solución
a) \(E_{f_3\to f_3+5f_1}\,E_{f_3\to f_3-5f_1}\) es aplicar \(f_3\to f_3+5f_1\) a la matriz \(E_{f_3\to f_3-5f_1}\), que es \(I_3\) con un \(-5\) en la posición \((3,1)\). Su fila 3 es \((-5\ \ 0\ \ 1)\), y al sumarle 5 veces la fila 1, \((1\ \ 0\ \ 0)\), queda \((0\ \ 0\ \ 1)\). El resultado es \(I_3\). Tenía que salir así porque la segunda operación deshace la primera: el producto es «no hacer nada».
b) \(E_{f_i\leftrightarrow f_j}^{\,2}\) es aplicar el intercambio \(f_i\leftrightarrow f_j\) dos veces a \(I_n\): se vuelve a la identidad. \(\blacksquare\) Es una matriz involutiva, igual que la reflexión del post 07.
c) Aplicar \(f_i\to\alpha f_i\) a \(I_n\) solo cambia la entrada \((i,i)\), que pasa de 1 a \(\alpha\). El resultado es \(\operatorname{diag}(1,\dots,\alpha,\dots,1)\), diagonal. El producto es \(\operatorname{diag}(1,\dots,\alpha\cdot\tfrac1\alpha,\dots,1)=I_n\). \(\blacksquare\)
Moraleja: cada matriz elemental tiene otra que la «deshace». En el post 15 diremos que las matrices elementales son invertibles.
Las trampas de las operaciones elementales
- Multiplicar una fila por 0. No es una operación elemental: destruye información.
- Hacer varias operaciones «a la vez» que se pisan. Si cambias \(f_1\) usando \(f_2\) y \(f_2\) usando \(f_1\) al mismo tiempo, puedes perder información. De una en una.
- Colocar mal el número en la matriz elemental de Tipo II. Para \(f_i\to f_i+\beta f_j\), la \(\beta\) va en la posición \((i,j)\): fila de la que cambia, columna de la que se usa.
- Multiplicar por la derecha. \(AE\) actúa sobre las columnas, no sobre las filas.
- Confundir «dependientes» con «iguales» o «proporcionales». Tres filas pueden ser dependientes sin que ninguna sea múltiplo de otra: basta con que una sea combinación de las otras dos.
Lo imprescindible del post
Filas
- Combinación lineal: \(\alpha_1F_1+\cdots+\alpha_kF_k\).
- Dependientes \(\iff\) alguna es combinación de las demás \(\iff\) hay una combinación no trivial igual a 0.
- Una fila nula nunca está en un conjunto independiente.
- Si \(A\sim_fB\), cada fila de \(B\) es combinación de las de \(A\).
Operaciones elementales
- I: \(f_i\leftrightarrow f_j\) (se deshace con ella misma).
- II: \(f_i\to f_i+\beta f_j\), \(j\neq i\) (se deshace con \(-\beta\)).
- III: \(f_i\to\alpha f_i\), \(\alpha\neq0\) (se deshace con \(\tfrac1\alpha\)).
- Operar = multiplicar por la izquierda por \(E\). Sucesión: \(B=E_k\cdots E_1A\).
Las piezas del método de Gauss
Ya tienes todas las piezas. Sabes detectar filas redundantes, conoces las tres jugadas legales que no destruyen información y sabes que cada jugada es una matriz. Además, sabes que todas las matrices equivalentes por filas guardan exactamente la misma información.
En el próximo post juntamos las piezas en un algoritmo: el método de Gauss, que convierte cualquier matriz en una «escalera» de ceros donde la información se lee a simple vista.
Transformar sin destruir: ese es todo el secreto.
Siguiente: el método de Gauss →Una balanza en equilibrio se puede mover, girar o duplicar. Lo único que no se puede es vaciarla.
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