Tira dos piedras a un estanque. Las ondas se cruzan, y en cada punto la altura del agua es la suma de lo que aporta cada piedra. La naturaleza suma casilla a casilla, y eso es exactamente lo que hacen las matrices.
desliza para ver todo →
Cada casilla es la altura del agua en un punto. Las dos ondas se suman punto a punto: donde coinciden dos crestas, el agua sube el doble, y donde una cresta coincide con un valle, se anulan.
Ese fenómeno se llama principio de superposición, y lo vas a ver por todas partes en física: con ondas pequeñas, con campos eléctricos, con la luz y con la mecánica cuántica. La operación matemática que lo describe es la más sencilla de todas: sumar matrices casilla a casilla.
En este post aprenderás las dos operaciones básicas con matrices (sumarlas y multiplicarlas por un número), sus ocho leyes y cómo resolver ecuaciones en las que la incógnita es una matriz entera.
Sumar y multiplicar por un número
La suma de dos matrices \(A\) y \(B\) del mismo tamaño \(m\times n\) es la matriz \(A+B\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) cuya entrada \((i,j)\) es
\[[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\]El producto de un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\) por una matriz \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es la matriz \(\lambda A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) cuya entrada \((i,j)\) es
\[[\lambda A]_{ij}=\lambda\,a_{ij}\]Con estas dos operaciones aparecen otras tres de regalo:
- La opuesta: \(-A=(-1)A\), que cambia el signo de todas las entradas.
- La resta: \(A-B=A+(-B)\), es decir, \([A-B]_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\).
- Las combinaciones lineales: expresiones como \(\alpha A+\beta B\), que mezclan matrices en distintas proporciones. En el tema de espacios vectoriales verás que son la idea central de todo el álgebra lineal.
Las ocho leyes de la suma y del producto por escalares
Sean \(A,B,C\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\). Se cumplen las siguientes ocho leyes:
Leyes de la suma
- Asociativa\((A+B)+C=A+(B+C)\)Da igual cómo agrupes: puedes escribir \(A+B+C\) sin paréntesis.
- Conmutativa\(A+B=B+A\)El orden de los sumandos no importa. (¡Con el producto de matrices no pasará!)
- Elemento neutro\(A+0_{m\times n}=A\)La matriz nula es el «cero» de las matrices.
- Elemento opuesto\(A+(-A)=0_{m\times n}\)Toda matriz tiene una opuesta que la anula.
Leyes del producto por escalares
- Distributiva (matrices)\(\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B\)Escalar la suma es sumar lo escalado.
- Distributiva (escalares)\((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\)Tres veces \(A\) más dos veces \(A\) son cinco veces \(A\).
- Asociativa (escalares)\((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\)Duplicar y luego triplicar es multiplicar por seis.
- Unidad\(1\,A=A\)Multiplicar por 1 no cambia nada.
¿Por qué se cumplen? Porque se heredan
Aquí está la clave de todo el post: como las dos operaciones se hacen casilla a casilla, cada ley de las matrices es, en realidad, una ley de los números aplicada en cada casilla. Para demostrarlas basta con comprobar que las dos matrices de la igualdad tienen la misma entrada \((i,j)\), para cualquier \(i\) y \(j\). Mira la conmutativa:
\[\begin{aligned}[A+B]_{ij}&=a_{ij}+b_{ij}\\ &\overset{\text{(números)}}{=}b_{ij}+a_{ij}=[B+A]_{ij}\end{aligned}\]La igualdad del medio es la propiedad conmutativa de los números, que ya conoces. Como las dos matrices tienen el mismo tamaño y la misma entrada en todas las posiciones, son iguales. Todas las demás se demuestran igual:
Ver las ocho demostraciones completas
En cada una se comprueba que la entrada \((i,j)\) de ambos lados coincide, usando las propiedades de los números de \(\mathbb{K}\):
\[\begin{aligned} &1.\ \ [(A+B)+C]_{ij}=(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}\\ &\qquad=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})=[A+(B+C)]_{ij}\\[4pt] &2.\ \ [A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\\ &\qquad=b_{ij}+a_{ij}=[B+A]_{ij}\\[4pt] &3.\ \ [A+0]_{ij}=a_{ij}+0=a_{ij}\\[4pt] &4.\ \ [A+(-A)]_{ij}=a_{ij}+(-a_{ij})=0\\[4pt] &5.\ \ [\alpha(A+B)]_{ij}=\alpha(a_{ij}+b_{ij})\\ &\qquad=\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}=[\alpha A+\alpha B]_{ij}\\[4pt] &6.\ \ [(\alpha+\beta)A]_{ij}=(\alpha+\beta)a_{ij}\\ &\qquad=\alpha a_{ij}+\beta a_{ij}=[\alpha A+\beta A]_{ij}\\[4pt] &7.\ \ [(\alpha\beta)A]_{ij}=(\alpha\beta)a_{ij}\\ &\qquad=\alpha(\beta a_{ij})=[\alpha(\beta A)]_{ij}\\[4pt] &8.\ \ [1A]_{ij}=1\cdot a_{ij}=a_{ij} \end{aligned}\]En todos los casos los dos lados son matrices \(m\times n\) con las mismas entradas, así que son iguales. \(\blacksquare\)
Un nombre para recordar: espacio vectorial
Estas ocho leyes no son una lista cualquiera. Son exactamente las reglas que definen un espacio vectorial, uno de los conceptos centrales de la asignatura. Con la suma y el producto por escalares, \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es un espacio vectorial. Las matrices son «vectores» en un sentido muy amplio: se pueden sumar y escalar con las mismas reglas que las flechas de la física. Lo estudiarás a fondo en el tema de espacios vectoriales.
La traspuesta se lleva bien con la suma
Ya que sabemos sumar, podemos preguntarnos cómo se comporta el espejo del post 03 con estas operaciones. La respuesta es la mejor posible:
\[(A+B)^t=A^t+B^t\qquad\qquad(\alpha A)^t=\alpha A^t\]Demostración, otra vez casilla a casilla: \([(A+B)^t]_{ij}=[A+B]_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=[A^t]_{ij}+[B^t]_{ij}\). La segunda es igual de sencilla.
Con la traspuesta conjugada hay un pequeño matiz: el escalar también se conjuga.
\[(A+B)^*=A^*+B^*\qquad\qquad(\alpha A)^*=\overline{\alpha}\,A^*\]porque \([(\alpha A)^*]_{ij}=\overline{\alpha\,a_{ji}}=\overline{\alpha}\;\overline{a_{ji}}\). Este matiz explica algo que viste en el ejercicio 3.7: multiplicar una hermítica por \(i\) da una antihermítica, porque \((iH)^*=\overline{i}\,H^*=-iH\).
Sumar y escalar: el día a día de un físico
- SuperposiciónCampos y ondasSi mides el campo eléctrico en una rejilla de puntos, el campo de dos cargas es la suma de las matrices de cada carga. Si duplicas una carga, su matriz se multiplica por 2.
- LaboratorioPromediar medidasSi repites una tabla de medidas tres veces, la tabla media es \(\tfrac13(T_1+T_2+T_3)\): una combinación lineal.
- UnidadesCambiar de escalaPasar una tabla de distancias de kilómetros a metros es multiplicar la matriz por \(1000\).
- ImagenFundidosEl fundido entre dos fotos que ves en un vídeo es \((1-t)A+tB\), con \(t\) yendo de 0 a 1. A mitad del fundido, \(t=\tfrac12\), ves la media de las dos imágenes.
Hay un matiz importante: no todo cambio de unidades es multiplicar. Pasar de grados Celsius a Fahrenheit es \(F=1{,}8\,C+32\): además de multiplicar, suma 32. Eso ya no es un simple producto por un escalar, y por eso hay que tener cuidado.
Tres ejemplos, paso a paso
Calcula \(3P-2Q\) con \(P=\begin{pmatrix}3 & -1\\ 2 & 5\end{pmatrix}\) y \(Q=\begin{pmatrix}1 & 4\\ -2 & 0\end{pmatrix}\).
Despeja la matriz \(X\) en \(3X-A=2(B+X)\).
Lo que no se puede hacer, de momento, es «dividir entre una matriz». Para despejar \(X\) en algo como \(AX=B\) hará falta la inversa (post 15).
Dos días seguidos se miden las temperaturas de dos ciudades a dos horas. Calcula la tabla media.
Cada casilla es la media de esa ciudad a esa hora. Es una combinación lineal con coeficientes \(\tfrac12\) y \(\tfrac12\). (Datos de ejemplo.)
Ocho ejercicios para sumar y escalar con soltura
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Calentamiento
Calcula, si tiene sentido: a) \(A+B\) b) \(A-B\) c) \(3A-2B\) d) \(A+C\).
Ver pista
Antes de calcular, comprueba los tamaños. Después, casilla a casilla.
Ver solución
d) \(A+C\) no tiene sentido: \(A\) es \(2\times3\) y \(C\) es \(2\times2\).
Combina dos matrices
Con \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\), calcula \(2A-3B\) y \(\tfrac12(A+B)\).
Ver pista
Primero escala cada matriz y después suma o resta casilla a casilla.
Ver solución
¿Es una combinación lineal?
Sean \(U=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) y \(V=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\).
a) Encuentra \(\alpha,\beta\) tales que \(\alpha U+\beta V=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & 3\end{pmatrix}\). b) ¿Existen \(\alpha,\beta\) tales que \(\alpha U+\beta V=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}\)?
Ver pista
Escribe \(\alpha U+\beta V=\begin{pmatrix}\alpha & 2\alpha+\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}\) e iguala casilla a casilla. Salen cuatro ecuaciones con solo dos incógnitas: tienen que cumplirse todas a la vez.
Ver solución
a) \(\alpha=3\) (casilla \((1,1)\)), \(\beta=-2\) (casilla \((2,1)\)). Comprobamos las otras dos: \(2\alpha+\beta=6-2=4\) ✔ y \(\alpha=3\) ✔. α = 3, β = −2
b) La casilla \((1,1)\) obliga a \(\alpha=1\) y la \((2,2)\) a \(\alpha=2\). Es imposible: no es combinación lineal de \(U\) y \(V\). Hay matrices a las que no se puede llegar mezclando solo \(U\) y \(V\). Esta idea, «a dónde se puede llegar combinando», será la protagonista del tema de espacios vectoriales.
Ecuaciones con matrices como incógnita
Sean \(A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}6 & 3\\ 0 & 9\end{pmatrix}\).
a) Halla \(X\) tal que \(2X+3A=B-X\).
b) Halla \(X\) e \(Y\) tales que \(X+Y=\begin{pmatrix}4 & 2\\ 0 & 6\end{pmatrix}\) y \(X-Y=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 4\end{pmatrix}\).
Ver pista
a) Despeja como con números y sustituye al final. b) Es un sistema de dos ecuaciones: súmalas para eliminar \(Y\), y réstalas para eliminar \(X\).
Ver solución
a) \(3X=B-3A\Rightarrow X=\tfrac13(B-3A)=\tfrac13\begin{pmatrix}3 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
Comprobación: \(2X+3A=\begin{pmatrix}5 & 2\\ -1 & 8\end{pmatrix}\) y \(B-X=\begin{pmatrix}5 & 2\\ -1 & 8\end{pmatrix}\). ✔
b) Sumando: \(2X=\begin{pmatrix}6 & 2\\ -2 & 10\end{pmatrix}\Rightarrow X=\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 5\end{pmatrix}\). Restando: \(2Y=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}\Rightarrow Y=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
Cuando un producto por escalar da cero
Demuestra que si \(\lambda A=0\), entonces \(\lambda=0\) o \(A=0\).
Ver pista
Supón que \(\lambda\neq0\) y demuestra que entonces todas las entradas de \(A\) son nulas. Usa que, con números, si \(\lambda a=0\) y \(\lambda\neq0\), entonces \(a=0\).
Ver solución
Si \(\lambda=0\), ya está. Supongamos \(\lambda\neq0\). Entonces, para cada \(i,j\), \(\lambda a_{ij}=[\lambda A]_{ij}=0\). Como \(\lambda\neq0\), podemos multiplicar por \(\lambda^{-1}\): \(a_{ij}=\lambda^{-1}\cdot0=0\). Todas las entradas de \(A\) son nulas, así que \(A=0\). \(\blacksquare\)
Guárdate este resultado: en el post 06 verás que con el producto de matrices esto falla. Se puede tener \(AB=0\) sin que ni \(A\) ni \(B\) sean nulas.
¿Sobreviven las especies a la suma?
Razona si son verdaderas o falsas:
a) La suma de dos matrices simétricas es simétrica. b) Si \(A\) es antisimétrica, \(5A\) también lo es. c) La suma de dos matrices diagonales es diagonal. d) Si \(H\) es hermítica y \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\lambda H\) siempre es hermítica.
Ver pista
Usa \((A+B)^t=A^t+B^t\), \((\alpha A)^t=\alpha A^t\) y \((\alpha A)^*=\overline{\alpha}A^*\). En d), prueba con \(\lambda=i\).
Ver solución
a) Verdadera: \((A+B)^t=A^t+B^t=A+B\).
b) Verdadera: \((5A)^t=5A^t=5(-A)=-(5A)\).
c) Verdadera: fuera de la diagonal, \(a_{ij}+b_{ij}=0+0=0\).
d) Falsa: \((\lambda H)^*=\overline{\lambda}H^*=\overline{\lambda}H\), que coincide con \(\lambda H\) solo si \(\overline{\lambda}=\lambda\), es decir, si \(\lambda\) es real (suponiendo \(H\neq0\)). Con \(\lambda=i\) sale una antihermítica. En física cuántica esto tiene consecuencias: un observable multiplicado por un número complejo deja de ser un observable.
Superposición de campos eléctricos
Dos cargas positivas iguales están a la izquierda y a la derecha de una zona. Medimos la componente horizontal del campo eléctrico, \(E_x\) (en N/C), en una rejilla de \(2\times3\) puntos. La carga de la izquierda produce \(E_1\) y la de la derecha \(E_2\) (valores de ejemplo):
a) Calcula el campo total. ¿En qué puntos de la rejilla se anula \(E_x\)? ¿Tiene sentido físico?
b) Si duplicamos la carga de la izquierda (el campo es proporcional a la carga), ¿cuál es el nuevo campo total? ¿Sigue anulándose en esos puntos?
Ver pista
El principio de superposición dice que el campo total es la suma de los campos. Duplicar la carga es multiplicar su matriz por 2.
Ver solución
a) \(E_x\) se anula en toda la columna central: en la línea media entre las dos cargas iguales, sus empujes horizontales se compensan. Además, la matriz es «antisimétrica de izquierda a derecha»: el campo apunta hacia fuera de cada carga.
\[2E_1+E_2=\begin{pmatrix}7 & 2 & -2\\ 5{,}5 & 1{,}5 & -2\end{pmatrix}\]b) Ya no se anula en la columna central: la carga más grande «gana», y el punto de equilibrio se desplaza hacia la derecha, alejándose de ella.
Las piezas de Lego de las matrices
Llamamos \(E_{ij}\) a la matriz que tiene un 1 en la posición \((i,j)\) y 0 en todas las demás. En \(\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})\), por ejemplo, \(E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\).
a) Escribe \(A=\begin{pmatrix}3 & -1\\ 0 & 5\end{pmatrix}\) como combinación lineal de \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\).
b) Demuestra que cualquier \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) se escribe como \(A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}\) y que los coeficientes de esa combinación son únicos.
c) ¿Cuántas matrices \(E_{ij}\) hay en \(\mathfrak{M}_{2\times3}(\mathbb{K})\)?
Ver pista
La matriz \(a_{ij}E_{ij}\) solo tiene una casilla no nula: la \((i,j)\), que vale \(a_{ij}\). Para la unicidad, supón que \(\sum c_{ij}E_{ij}=A\) y mira la casilla \((i,j)\) de ambos lados.
Ver solución
a) \(A=3E_{11}-1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+5E_{22}\).
b) La matriz \(\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}\) tiene en la casilla \((k,l)\) solo la aportación del sumando \(a_{kl}E_{kl}\) (los demás tienen un 0 ahí), así que vale \(a_{kl}\). Por tanto, coincide con \(A\). Si además \(\sum c_{ij}E_{ij}=A\), mirando la casilla \((k,l)\) se obtiene \(c_{kl}=a_{kl}\): los coeficientes son forzosamente las entradas de \(A\). \(\blacksquare\)
c) Una por casilla: \(2\cdot3=6\). Estas matrices son como las piezas básicas de Lego con las que se construye cualquier matriz, y en el tema de espacios vectoriales recibirán un nombre propio: la base canónica. Que haya \(m\cdot n\) de ellas significa que \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) tiene dimensión \(m\cdot n\).
Las trampas de la suma
- Sumar matrices de distinto tamaño. Antes de operar, mira los tamaños. Si no coinciden, la suma no existe.
- Multiplicar solo una fila o una columna. \(\lambda A\) multiplica todas las entradas. (Multiplicar una sola fila es otra cosa, una «operación elemental», y llegará en el post 09.)
- Perder signos al restar. \(A-B\) cambia el signo de todas las entradas de \(B\): \(3-(-4)=7\), no \(-1\).
- Confundir \(0\) con \(0_{m\times n}\). En \(A+(-A)=0\), ese 0 es una matriz nula del tamaño de \(A\), no el número cero.
- «Dividir» entre una matriz. No existe tal cosa. Puedes dividir entre un número (\(\tfrac13X\)), pero para «despejar» una matriz que multiplica necesitarás la inversa.
Lo imprescindible del post
Operaciones
- \([A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\), solo con el mismo tamaño.
- \([\lambda A]_{ij}=\lambda a_{ij}\), con cualquier tamaño.
- \(-A=(-1)A\) y \(A-B=A+(-B)\).
- \((A+B)^t=A^t+B^t\), \((\alpha A)^t=\alpha A^t\) y \((\alpha A)^*=\overline\alpha A^*\).
Las ocho leyes
- Suma: asociativa, conmutativa, neutro \(0_{m\times n}\), opuesto \(-A\).
- Escalares: \(\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B\), \((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\), \((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\), \(1A=A\).
- Se demuestran casilla a casilla: se heredan de los números.
- \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es un espacio vectorial de dimensión \(mn\).
Lo fácil, bien hecho
Sumar matrices y multiplicarlas por un número es tan natural que parece trivial, pero acabas de aprender algo profundo: las matrices heredan las leyes de los números porque se opera casilla a casilla. Y esas ocho leyes las convierten en un espacio vectorial, igual que las flechas de la física.
El próximo post es otra historia. El producto de matrices no se hace casilla a casilla: combina filas con columnas, y por eso es mucho más poderoso… y mucho más rebelde.
Casilla a casilla, las matrices se portan como números.
Siguiente: el producto de matrices →La naturaleza suma ondas sin pensar. Las matrices solo le ponen orden a esa suma.
Anterior
El zoo de las matrices (II): espejos y complejos
Siguiente
El producto de matrices: fila por columna
Comentarios
Todavía no hay comentarios. ¡Sé el primero en comentar!