Un lago en calma refleja la montaña al revés, pero sin perder ni un detalle. Las matrices tienen su propio espejo, la diagonal, y la forma en que reaccionan al mirarse en él dice muchísimo sobre la física que describen.
Trasponer es mirar la matriz en el espejo de su diagonal: \(a_{ij}\) y \(a_{ji}\) intercambian sus puestos.
En el post anterior conocimos especies que se definían por dónde tienen ceros. Hoy completamos el zoo con especies que se definen por cómo se comportan frente a un espejo.
Primero conoceremos ese espejo, la traspuesta. Después veremos qué matrices salen idénticas del espejo (las simétricas), cuáles salen con todos los signos cambiados (las antisimétricas) y qué pasa cuando hay números complejos de por medio (las hermíticas, la columna vertebral de la mecánica cuántica).
La traspuesta: filas que se convierten en columnas
La traspuesta de \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) es la matriz \(A^t\in\mathfrak{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\) cuya entrada \((i,j)\) es la entrada \((j,i)\) de \(A\):
\[[A^t]_{ij}=a_{ji}\]En la práctica: la fila \(i\) de \(A\) se convierte en la columna \(i\) de \(A^t\) (y la columna \(j\) de \(A\), en la fila \(j\) de \(A^t\)). Si \(A\) es \(m\times n\), su traspuesta es \(n\times m\): una matriz «alta» se convierte en una «ancha» y al revés. El tamaño solo se conserva si la matriz es cuadrada.
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La fila 2 de \(A\), \((1\ \ 4\ \ 9)\), es la columna 2 de \(A^t\).
Dos propiedades inmediatas, que se demuestran mirando una sola entrada:
- Trasponer dos veces te devuelve al principio: \((A^t)^t=A\), porque \([(A^t)^t]_{ij}=[A^t]_{ji}=a_{ij}\). Como mirarte en un espejo que refleja otro espejo.
- La diagonal no se mueve: si \(A\) es cuadrada, \([A^t]_{ii}=a_{ii}\). Los elementos que están sobre el espejo son su propio reflejo. Por eso \(\operatorname{tr}(A^t)=\operatorname{tr}(A)\).
Otras propiedades, como qué pasa al trasponer un producto, tendrán que esperar al post 08, cuando ya sepamos multiplicar matrices.
Simétricas y antisimétricas
Una matriz cuadrada \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\) es
- simétrica si \(A^t=A\), es decir, si \(a_{ji}=a_{ij}\) para todo \(i,j\);
- antisimétrica si \(A^t=-A\), es decir, si \(a_{ji}=-a_{ij}\) para todo \(i,j\).
Mira los colores. En la simétrica, cada número tiene un gemelo idéntico al otro lado del espejo, como las alas de una mariposa. En la antisimétrica, cada número tiene un gemelo con el signo cambiado, y en la diagonal solo hay ceros.
¿Por qué la diagonal de una antisimétrica es nula?
Es una de esas preguntas que encantan en los exámenes, y la respuesta cabe en una línea. Los elementos de la diagonal están sobre el espejo, así que son su propio reflejo: para \(i=j\), la condición \(a_{ji}=-a_{ij}\) dice
\[a_{ii}=-a_{ii}\ \Longrightarrow\ 2a_{ii}=0\ \Longrightarrow\ a_{ii}=0.\]El único número que es igual a su opuesto es el cero. \(\blacksquare\)
¿Cuántos números «libres» tiene cada una?
Una simétrica de orden \(n\) queda determinada por la diagonal y el triángulo superior: \(\tfrac{n(n+1)}{2}\) números. Una antisimétrica, solo por el triángulo superior (la diagonal es 0 y el triángulo inferior viene obligado): \(\tfrac{n(n-1)}{2}\) números. Para \(n=3\), una simétrica tiene 6 números libres y una antisimétrica solo 3.
Ese «3» no es casualidad: una antisimétrica \(3\times3\) es, en el fondo, un vector. Lo verás enseguida con la velocidad angular.
¿Dónde aparecen en física?
- Simétricas. El tensor de inercia de un sólido, el tensor de tensiones de un material, la tabla de distancias entre ciudades (\(d_{ij}=d_{ji}\)) o la matriz de muelles que construiste en el post 01. Siempre que la relación entre \(i\) y \(j\) es recíproca, aparece una simétrica.
- Antisimétricas. La tercera ley de Newton (acción y reacción) produce una matriz antisimétrica, como verás en el ejercicio 3.8. La velocidad de un punto de un sólido que gira, \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\), se escribe con la antisimétrica \[\Omega=\begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix},\] cuyos tres números libres son justo las tres componentes de \(\vec\omega\). (En el post 05, al multiplicar \(\Omega\) por el vector \(\vec r\), verás aparecer \(\vec\omega\times\vec r\).) Y en relatividad, el campo electromagnético completo se describe con una matriz antisimétrica \(4\times4\), el tensor electromagnético.
Traspuesta conjugada y matrices hermíticas
Con números complejos aparece un segundo espejo. El conjugado de \(z=a+bi\) es \(\overline{z}=a-bi\): en el plano complejo, conjugar es reflejar el punto respecto del eje real.
Conjugar también es reflejar. La traspuesta conjugada aplica los dos espejos a la vez.
La traspuesta conjugada de \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{C})\) es la matriz \(A^*\in\mathfrak{M}_{n\times m}(\mathbb{C})\) dada por
\[[A^*]_{ij}=\overline{a_{ji}}\]Una matriz cuadrada \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{C})\) es hermítica si \(A^*=A\), es decir, si \(a_{ji}=\overline{a_{ij}}\) para todo \(i,j\).
El orden de los dos pasos da igual: conjugar y luego trasponer da lo mismo que trasponer y luego conjugar.
¿Por qué la diagonal de una hermítica es real?
Igual que antes: la diagonal está sobre el espejo de la traspuesta, así que para \(i=j\) la condición \(a_{ji}=\overline{a_{ij}}\) dice \(a_{ii}=\overline{a_{ii}}\). Si \(a_{ii}=x+yi\), eso es \(x+yi=x-yi\), es decir, \(2yi=0\) e \(y=0\). Un número que es igual a su conjugado es real. \(\blacksquare\)
Hermíticas y simétricas: primas, no gemelas
- Si \(A\) tiene todas sus entradas reales, conjugar no cambia nada, así que \(A^*=A^t\). Para matrices reales, hermítica y simétrica es lo mismo.
- Pero con complejos no: \(\begin{pmatrix}1 & i\\ i & 1\end{pmatrix}\) es simétrica y no es hermítica, porque \(\overline{i}=-i\neq i\). Y \(\begin{pmatrix}1 & i\\ -i & 1\end{pmatrix}\) es hermítica y no es simétrica.
- También existen las antihermíticas, con \(A^*=-A\). Su diagonal es imaginaria pura (con el mismo argumento de antes: \(a_{ii}=-\overline{a_{ii}}\) obliga a que la parte real sea 0).
La física cuántica habla en hermítico
En mecánica cuántica, cada magnitud que se puede medir (energía, posición, espín…) se representa con un operador hermítico. En los sistemas más sencillos, ese operador es una matriz hermítica. Las tres matrices de Pauli, que describen el espín del electrón, son hermíticas:
¿Por qué hermíticas? Porque los resultados posibles de una medida tienen que ser números reales (nadie mide una energía de \(3+2i\) julios). Las matrices hermíticas garantizan justo eso, como demostrarás cuando estudies los autovalores en un tema posterior. Que su diagonal sea real, lo que acabamos de demostrar, es la primera pista.
Cuatro especies frente al espejo
Simétrica
\[\begin{pmatrix}2 & 7\\ 7 & -1\end{pmatrix}\]Sale idéntica del espejo. Diagonal: cualquiera. Física: inercia, tensiones, distancias.
Antisimétrica
\[\begin{pmatrix}0 & 7\\ -7 & 0\end{pmatrix}\]Sale con todos los signos cambiados. Diagonal: ceros. Física: rotaciones, acción y reacción.
Hermítica
\[\begin{pmatrix}2 & 3-i\\ 3+i & -1\end{pmatrix}\]Sale idéntica del doble espejo. Diagonal: real. Física: observables cuánticos.
Antihermítica
\[\begin{pmatrix}i & 3-i\\ -3-i & 0\end{pmatrix}\]Sale del doble espejo con el signo cambiado. Diagonal: imaginaria pura (o cero).
Ocho ejercicios frente al espejo
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Trasponer sin miedo
Calcula la traspuesta de cada matriz e indica su tamaño.
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Copia la primera fila como primera columna, la segunda fila como segunda columna, y así sucesivamente.
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Tamaños: \(A^t\) es \(3\times2\), \(B^t\) es \(1\times3\) (la columna se ha convertido en fila) y \(C^t\) es \(3\times3\). Fíjate en que la diagonal de \(C\), \((1,5,9)\), no se ha movido.
¿Simétrica, antisimétrica o ninguna?
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Compara cada pareja \(a_{ij}\), \(a_{ji}\) a ambos lados de la diagonal. Y en las candidatas a antisimétrica, mira primero la diagonal: es la forma más rápida de descartar.
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- \(M_1\): simétrica (5 y 5, −1 y −1, 3 y 3).
- \(M_2\): antisimétrica (diagonal nula, y 4 frente a −4, −2 frente a 2, 7 frente a −7).
- \(M_3\): ninguna. Fuera de la diagonal tiene el aspecto de una antisimétrica (2 y −2), pero su diagonal no es nula, y una antisimétrica la necesita nula. Tampoco es simétrica, porque \(2\neq-2\).
- \(M_4\): las dos a la vez. De hecho, la nula es la única matriz que es simétrica y antisimétrica: si \(A^t=A\) y \(A^t=-A\), entonces \(A=-A\) y \(A=0\).
Completa el reflejo
Rellena los huecos para que \(S\) sea simétrica y \(K\) sea antisimétrica.
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Cada hueco tiene su gemelo al otro lado de la diagonal. En \(K\), no olvides la diagonal.
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La traspuesta conjugada
\[A=\begin{pmatrix}2+i & -3i & 1\\ 4 & 1-2i & 5i\end{pmatrix}\]Calcula \(A^t\) y \(A^*\). ¿De qué tamaño son?
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Primero traspón. Después cambia el signo de todas las partes imaginarias. Recuerda que el conjugado de un número real es él mismo.
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Las dos son \(3\times2\). Comprobación de una entrada: \([A^*]_{21}=\overline{a_{12}}=\overline{-3i}=3i\). ✔
Hacer hermítica una matriz
\[H=\begin{pmatrix}3 & a+2i & b\\ 1-2i & c & -i\\ 4 & i & -1\end{pmatrix}\]¿Qué valores de \(a,b\in\mathbb{R}\) y \(c\in\mathbb{C}\) hacen que \(H\) sea hermítica?
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Impón \(h_{ij}=\overline{h_{ji}}\) pareja por pareja, y no olvides la condición sobre la diagonal.
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- \(h_{12}=\overline{h_{21}}\): \(a+2i=\overline{1-2i}=1+2i\Rightarrow a=1\).
- \(h_{13}=\overline{h_{31}}\): \(b=\overline{4}=4\).
- \(h_{23}=\overline{h_{32}}\): \(-i=\overline{i}=-i\). ✔ Ya se cumple.
- Diagonal: \(3\) y \(-1\) son reales ✔, y \(c\) tiene que ser real: \(c=\overline{c}\).
a = 1, b = 4, c cualquier número real
Tres propiedades en tres líneas
Demuestra, para \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{C})\):
a) \((A^*)^*=A\). b) Si \(A\) tiene todas sus entradas reales, \(A^*=A^t\). c) Si \(A\) es cuadrada y antisimétrica, \(\operatorname{tr}(A)=0\).
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Trabaja entrada a entrada con la definición \([A^*]_{ij}=\overline{a_{ji}}\) y usa que \(\overline{\overline{z}}=z\).
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a) \([(A^*)^*]_{ij}=\overline{[A^*]_{ji}}=\overline{\overline{a_{ij}}}=a_{ij}\). Como coinciden todas las entradas (y los tamaños, \(m\times n\)), \((A^*)^*=A\). \(\blacksquare\)
b) Si \(a_{ji}\in\mathbb{R}\), entonces \(\overline{a_{ji}}=a_{ji}\), así que \([A^*]_{ij}=a_{ji}=[A^t]_{ij}\). \(\blacksquare\)
c) Ya vimos que la diagonal de una antisimétrica es nula, así que \(\operatorname{tr}(A)=0+0+\cdots+0=0\). \(\blacksquare\)
Las matrices de Pauli frente al espejo
a) Comprueba que \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) y \(\sigma_z\) son hermíticas. ¿Cuáles son además simétricas?
b) Calcula \(\sigma_y^t\) y compáralo con \(\sigma_y\).
c) Calcula \(i\,\sigma_y\) (multiplica cada entrada por \(i\)). ¿Qué tipo de matriz es?
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\(\sigma_y=\begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix}\). Recuerda que \(i\cdot(-i)=1\) y que \(i\cdot i=-1\).
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a) \(\sigma_x\) y \(\sigma_z\) son reales y simétricas, y por tanto hermíticas. Para \(\sigma_y\): \(\overline{(\sigma_y)_{21}}=\overline{i}=-i=(\sigma_y)_{12}\) ✔, y la diagonal (ceros) es real ✔. Así que \(\sigma_y\) es hermítica, pero no es simétrica.
b) \(\sigma_y^t=\begin{pmatrix}0 & i\\ -i & 0\end{pmatrix}=-\sigma_y\): \(\sigma_y\) es antisimétrica y hermítica a la vez. Solo puede pasar porque tiene números complejos.
c) \(i\,\sigma_y=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\), que es real y antisimétrica, y por tanto antihermítica. En general, multiplicar una hermítica por \(i\) da una antihermítica.
Acción y reacción en forma de matriz
Tres partículas se mueven sobre el eje \(x\) y se ejercen fuerzas entre sí. Llamamos \(F_{ij}\) a la componente \(x\) de la fuerza que la partícula \(j\) ejerce sobre la \(i\) (y \(F_{ii}=0\)). Sabemos que \(F_{12}=3\) N, \(F_{13}=-2\) N y \(F_{23}=5\) N.
a) Usa la tercera ley de Newton para escribir la matriz \(F=(F_{ij})\in\mathfrak{M}_3(\mathbb{R})\). ¿De qué tipo es?
b) La fuerza interna total sobre la partícula \(i\) es la suma de la fila \(i\). Calcúlala para cada partícula.
c) Suma las tres fuerzas totales. ¿Por qué tenía que salir ese resultado?
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La tercera ley dice que la fuerza que \(i\) ejerce sobre \(j\) es la opuesta de la que \(j\) ejerce sobre \(i\): \(F_{ji}=-F_{ij}\). ¿Te suena esa condición?
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a) \(F_{ji}=-F_{ij}\) es exactamente la condición de antisimetría. La tercera ley de Newton, escrita con matrices, dice «la matriz de fuerzas internas es antisimétrica».
b) Partícula 1: \(0+3-2=1\) N. Partícula 2: \(-3+0+5=2\) N. Partícula 3: \(2-5+0=-3\) N.
c) \(1+2-3=0\). No es casualidad: al sumar todas las entradas de una antisimétrica, cada \(F_{ij}\) se cancela con su gemelo \(F_{ji}=-F_{ij}\), y la diagonal es 0. Físicamente: las fuerzas internas no pueden mover el centro de masas del sistema. Es la conservación del momento lineal, escondida en una matriz antisimétrica.
Las trampas del espejo
- Creer que la traspuesta tiene el mismo tamaño. Si \(A\) es \(m\times n\), \(A^t\) es \(n\times m\). Solo coinciden si \(A\) es cuadrada.
- Hablar de simétricas o antisimétricas no cuadradas. Para que \(A^t=A\) tengan sentido, los dos tamaños tienen que coincidir, así que hace falta que \(A\) sea cuadrada.
- Dar por antisimétrica una matriz con la diagonal no nula. Mira la diagonal primero: si hay algo distinto de 0, no es antisimétrica.
- Olvidar conjugar. \(A^*\) no es solo trasponer. Con complejos, simétrica y hermítica son cosas distintas.
- Mezclar notaciones. En física, \(A^\dagger\) es la traspuesta conjugada y \(A^*\) suele ser solo la conjugada. Mira siempre qué convenio usa cada texto.
Lo imprescindible del post
Traspuesta
- \([A^t]_{ij}=a_{ji}\). Si \(A\) es \(m\times n\), \(A^t\) es \(n\times m\).
- \((A^t)^t=A\) y \(\operatorname{tr}(A^t)=\operatorname{tr}(A)\).
- Simétrica: \(A^t=A\). Antisimétrica: \(A^t=-A\), con diagonal nula.
- Números libres: \(\tfrac{n(n+1)}{2}\) en una simétrica y \(\tfrac{n(n-1)}{2}\) en una antisimétrica.
Traspuesta conjugada
- \([A^*]_{ij}=\overline{a_{ji}}\) (en física, \(A^\dagger\)).
- \((A^*)^*=A\). Si \(A\) es real, \(A^*=A^t\).
- Hermítica: \(A^*=A\), con diagonal real.
- Antihermítica: \(A^*=-A\), con diagonal imaginaria pura.
El zoo, completo
Con este post cerramos el primer bloque. Ya conoces a las protagonistas: sabes leer una matriz, reconocer sus especies por sus ceros y ver cómo reaccionan ante el espejo. Has visto también que esas formas no son caprichos: la simetría habla de relaciones recíprocas, la antisimetría de acción y reacción y de rotaciones, y las hermíticas de lo que se puede medir en el mundo cuántico.
A partir del próximo post las matrices dejan de estar quietas: empezamos a operar con ellas. Primero lo más sencillo, sumar matrices y multiplicarlas por un número, con sus ocho leyes.
Lo que una matriz hace frente al espejo revela la física que esconde.
Siguiente: sumar matrices y multiplicarlas por un número →Toda matriz cuadrada tiene un espejo. Lo interesante es lo que ve cuando se mira en él.
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