En el zoo de las matrices hay especies muy distintas. Algunas viven en perfecto equilibrio, otras son puro orden y otras lo dejan todo en manos de una sola línea: la diagonal. Hoy vamos a conocerlas y a aprender a reconocerlas de un vistazo.
Una matriz cuadrada tiene geografía: una diagonal que la cruza y dos triángulos, uno a cada lado.
En el post anterior aprendimos qué es una matriz. Ahora vamos a ver que, igual que en la naturaleza hay especies con rasgos muy reconocibles, en las matrices hay familias que se distinguen a simple vista por dónde tienen ceros y dónde no.
No es coleccionismo. Saber reconocer estas familias te va a ahorrar muchísimo trabajo: con una matriz triangular, un sistema de ecuaciones se resuelve casi solo, y el determinante de una matriz diagonal se calcula en un segundo. Además, como veremos, la naturaleza las usa constantemente.
Matrices cuadradas: el equilibrio perfecto
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Si tiene \(n\) filas y \(n\) columnas decimos que es una matriz de orden \(n\). El conjunto \(\mathfrak{M}_{n\times n}(\mathbb{K})\) se abrevia como \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\), y una matriz de orden \(n\) se escribe \(A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}\).
Por ejemplo, esta matriz de números complejos es de orden 3:
\[A=\begin{pmatrix}4 & 2-i & 0\\ i & -1 & 3\\ 7 & 5i & 2+i\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{C})\]¿Por qué son tan importantes las cuadradas? Porque son las únicas que pueden transformar un espacio en sí mismo: entran tres números y salen tres números, como una rotación del espacio que convierte un punto 3D en otro punto 3D. Por eso casi toda la física «de transformaciones» (giros, cambios de ejes, evolución en el tiempo) vive en matrices cuadradas. Y por eso solo ellas tienen diagonal, traza, determinante e inversa, los grandes protagonistas del tema.
La diagonal principal y la traza
Sea \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\).
- La diagonal principal de \(A\) es \(\operatorname{diag}(A)=(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn})\): las entradas con fila = columna.
- La subdiagonal es \((a_{21},a_{32},\dots,a_{n,n-1})\): la línea justo debajo de la diagonal.
- La superdiagonal es \((a_{12},a_{23},\dots,a_{n-1,n})\): la línea justo encima.
- La traza de \(A\) es la suma de los elementos de su diagonal:
Un truco para reconocerlas sin pensar: en la diagonal, los dos índices son iguales (\(i=j\)). En la superdiagonal, la columna va uno por delante (\(j=i+1\)), y en la subdiagonal, uno por detrás (\(j=i-1\)).
Diagonal: \((5,-4,9)\). Traza: \(\operatorname{tr}(A)=5-4+9=10\). Subdiagonal: \((2,8)\). Superdiagonal: \((1,6)\).
Fíjate en que en una matriz de orden \(n\), la diagonal tiene \(n\) entradas y la sub y la superdiagonal tienen \(n-1\) cada una.
¿Por qué la traza es tan especial?
Parece un número sin importancia: «suma unos cuantos de la diagonal y ya». Pero la traza esconde una propiedad que irás descubriendo a lo largo de la carrera: no cambia aunque cambies la forma de mirar el problema. Dos ejemplos físicos reales:
- La presión de un fluido. El estado de tensiones en un punto de un material o de un fluido se describe con una matriz \(3\times3\), el tensor de tensiones \(\sigma\). En un fluido en reposo es \(\sigma=-p\,I_3\), donde \(p\) es la presión. Así que \(\operatorname{tr}(\sigma)=-3p\), es decir, \(p=-\tfrac13\operatorname{tr}(\sigma)\). La presión se obtiene de la traza.
- El tensor de inercia. Para un sólido formado por masas \(m_k\) a distancias \(r_k\) del origen, la traza de su tensor de inercia vale \(I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=2\sum_k m_k r_k^2\). Las distancias al origen no dependen de cómo orientes los ejes, así que la traza tampoco, aunque cada \(I_{xx}\), \(I_{yy}\) e \(I_{zz}\) por separado sí cambie.
Esa idea de «algo que no cambia aunque cambie el punto de vista» se llama invariante, y es una de las palabras más importantes de toda la física.
Siete especies que debes reconocer de un vistazo
Cada ficha tiene un dibujo de la especie (en orden 4), su seña de identidad en lenguaje matemático y su «hábitat» en física.
Triangular superior
Ceros por debajo de la diagonal. Los números «viven» en el triángulo de arriba.
\(a_{ij}=0\ \text{ si } i>j\)
Hábitat: es el resultado del método de Gauss. Un sistema así se resuelve de abajo arriba, despejando una incógnita tras otra.
Triangular inferior
Ceros por encima de la diagonal. Los números viven en el triángulo de abajo.
\(a_{ij}=0\ \text{ si } i
Hábitat: procesos en cascada, donde cada cosa depende solo de las anteriores, como una cadena de desintegración radiactiva (lo verás más abajo).
Diagonal
Ceros fuera de la diagonal. Se escribe \(\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)\).
\(a_{ij}=0\ \text{ si } i\neq j\)
Hábitat: sistemas cuyas partes no se influyen entre sí. Por ejemplo, el tensor de inercia escrito en los ejes principales de un sólido.
Escalar
Diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales: \(\operatorname{diag}(\lambda,\dots,\lambda)=\lambda I_n\).
\(a_{ij}=\lambda\,\delta_{ij}\)
Hábitat: todo lo que actúa igual en todas las direcciones (es isótropo). La presión de un fluido en reposo es \(\sigma=-p\,I_3\).
Identidad \(I_n\)
Diagonal con unos en la diagonal. Es la matriz escalar con \(\lambda=1\).
\([I_n]_{ij}=\delta_{ij}\)
Hábitat: la transformación «no hacer nada». En el post 05 verás que hace con las matrices lo que el 1 con los números.
Nula \(0_{m\times n}\)
Todas sus entradas son 0. Puede tener cualquier tamaño, no hace falta que sea cuadrada.
\(a_{ij}=0\ \ \forall\, i,j\)
Hábitat: el «cero» de las matrices: sumarla no cambia nada (post 04).
En las fichas ha aparecido un símbolo nuevo y muy útil, la delta de Kronecker:
Es una forma compacta de decir «1 en la diagonal, 0 fuera». La usarás muchísimo en física, sobre todo en mecánica cuántica y en relatividad.
¿Quién es pariente de quién?
Las especies no están separadas: unas están dentro de otras, como las muñecas rusas. Este diagrama lo resume:
desliza para ver todo →
Diagonal = triangular superior y triangular inferior a la vez. La identidad y la nula son escalares.
Hay tres ideas que conviene grabarse:
- Toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior a la vez. Y al revés: si una matriz es triangular de las dos clases, tiene ceros encima y debajo de la diagonal, así que es diagonal. Lo demostrarás tú en el ejercicio 2.5.
- La identidad y la nula de orden \(n\) son escalares (con \(\lambda=1\) y \(\lambda=0\)), y por tanto también diagonales y triangulares.
- Las diagonales pueden tener ceros en la diagonal: \(\operatorname{diag}(3,0,-2)\) es perfectamente diagonal. Lo que la define es que fuera de la diagonal todo es 0.
Una cadena radiactiva es una matriz triangular
Muchos núcleos radiactivos no se desintegran en un solo paso, sino en cadena: el núcleo A se convierte en B, que a su vez se convierte en C, que es estable. Es una cascada natural: B solo «recibe» de A, y C solo «recibe» de B.
desliza para ver todo →
Si \(N_A\), \(N_B\) y \(N_C\) son el número de núcleos de cada tipo y \(\lambda_A\), \(\lambda_B\) sus constantes de desintegración, la física dice:
\[\begin{aligned}\frac{dN_A}{dt}&=-\lambda_A N_A\\ \frac{dN_B}{dt}&=\lambda_A N_A-\lambda_B N_B\\ \frac{dN_C}{dt}&=\lambda_B N_B\end{aligned}\]Si guardamos en la fila \(i\) los coeficientes que acompañan a \(N_A\), \(N_B\) y \(N_C\) en la ecuación \(i\), sale esta matriz:
\[M=\begin{pmatrix}-\lambda_A & 0 & 0\\ \lambda_A & -\lambda_B & 0\\ 0 & \lambda_B & 0\end{pmatrix}\]¡Es triangular inferior! Y no es casualidad: es la huella matemática de un proceso en cascada, donde cada especie solo depende de las anteriores. Gracias a esa forma triangular, el sistema se resuelve paso a paso: primero A (que no depende de nadie), luego B, luego C. Las ecuaciones diferenciales las verás en otras asignaturas, pero la estructura ya la sabes reconocer.
Dos ejemplos, paso a paso
¿De qué especie es cada una?
Escribe la matriz \(A\in\mathfrak{M}_4(\mathbb{R})\) con \(a_{ij}=j-i\) si \(i\le j\) y \(a_{ij}=0\) si \(i>j\). ¿Qué tipo es? ¿Cuál es su traza?
Ocho ejercicios para no confundir especies
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
La geografía completa de una matriz
\[A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 5\\ 3 & 7 & -4 & 1\\ 0 & 6 & -3 & 2\\ 8 & 1 & 9 & 4\end{pmatrix}\]Escribe \(\operatorname{diag}(A)\), \(\operatorname{tr}(A)\), la subdiagonal y la superdiagonal de \(A\).
Ver pista
Diagonal: \(i=j\). Subdiagonal: \(j=i-1\) (justo debajo). Superdiagonal: \(j=i+1\) (justo encima).
Ver solución
\(\operatorname{diag}(A)=(2,7,-3,4)\) y \(\operatorname{tr}(A)=2+7-3+4=10\).
Subdiagonal: \((a_{21},a_{32},a_{43})=(3,6,9)\). Superdiagonal: \((a_{12},a_{23},a_{34})=(-1,-4,2)\).
El test de identificación de especies
Para cada matriz, di todas las especies a las que pertenece: triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, identidad, nula.
Ver pista
Una matriz puede pertenecer a varias especies a la vez (recuerda las muñecas rusas). Y ojo con \(R\): ¿cumple el requisito previo de todas estas especies salvo una?
Ver solución
- \(P\): diagonal (fuera de la diagonal todo es 0, aunque \(p_{11}=0\)), y por tanto triangular superior e inferior. No es escalar, porque \(0\neq5\).
- \(Q=-2I_3\): escalar, y por tanto diagonal y triangular superior e inferior.
- \(R\) es \(2\times3\): no es cuadrada, así que no es triangular, ni diagonal, ni escalar, ni identidad. Tampoco es nula. Que «parezca» triangular superior no basta: esas definiciones son solo para matrices cuadradas.
- \(S=0_2\): nula, escalar (\(\lambda=0\)), diagonal y triangular superior e inferior. ¡Es de todas las especies menos la identidad!
Construye cada especie
a) Escribe \(\operatorname{diag}(3,-1,0,2)\). b) Escribe \(I_3\) y \(0_{2\times3}\). c) Escribe la matriz \(T\in\mathfrak{M}_3(\mathbb{R})\) con \(t_{ij}=i+j\) si \(i\le j\) y \(t_{ij}=0\) si \(i>j\), y calcula su traza.
Ver pista
En c), primero rellena con ceros todo lo que está por debajo de la diagonal y después aplica la fórmula en el resto.
Ver solución
Una traza con incógnita
\[A=\begin{pmatrix}x & 2 & 1\\ 0 & x^2 & 3\\ 4 & 5 & -6\end{pmatrix}\]¿Para qué valores reales de \(x\) se cumple \(\operatorname{tr}(A)=0\)? Para cada uno, escribe \(\operatorname{diag}(A)\).
Ver pista
Plantea \(\operatorname{tr}(A)=0\): sale una ecuación de segundo grado.
Ver solución
\(\operatorname{tr}(A)=x+x^2-6=0\iff x^2+x-6=0\iff (x+3)(x-2)=0\).
x = 2 o x = −3
Si \(x=2\): \(\operatorname{diag}(A)=(2,4,-6)\), y en efecto \(2+4-6=0\). Si \(x=-3\): \(\operatorname{diag}(A)=(-3,9,-6)\), y \(-3+9-6=0\). ✔
Triangular por arriba y por abajo es diagonal
Demuestra que una matriz cuadrada \(A\) es diagonal si y solo si es a la vez triangular superior y triangular inferior.
Ver pista
Escribe las tres definiciones con índices: triangular superior es «\(a_{ij}=0\) si \(i>j\)», inferior es «\(a_{ij}=0\) si \(i
Ver solución
(\(\Rightarrow\)) Si \(A\) es diagonal, \(a_{ij}=0\) siempre que \(i\neq j\). En particular, \(a_{ij}=0\) cuando \(i>j\) (triangular superior) y cuando \(i
(\(\Leftarrow\)) Si \(A\) es triangular superior e inferior, toma cualquier posición con \(i\neq j\). O bien \(i>j\), y entonces \(a_{ij}=0\) por ser triangular superior, o bien \(i
Contar casillas
En una matriz de orden \(n\):
a) ¿Cuántas entradas hay estrictamente por encima de la diagonal? ¿Y por debajo? b) Una matriz triangular superior, ¿cuántas entradas puede tener distintas de cero como máximo? c) Aplícalo a \(n=10\).
Ver pista
Hay \(n^2\) entradas en total y \(n\) en la diagonal. Lo que queda se reparte a partes iguales entre los dos triángulos (¿por qué?).
Ver solución
a) Quitando la diagonal quedan \(n^2-n\) entradas, que se reparten simétricamente entre arriba y abajo (cada \((i,j)\) con \(i
b) La diagonal más el triángulo superior: \(n+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
c) Para \(n=10\): 45 por encima, 45 por debajo, y una triangular superior tiene como máximo 55 entradas no nulas, frente a las 100 de una matriz cualquiera. Casi la mitad de ceros gratis: por eso son tan cómodas para calcular.
La cadena de cuatro eslabones
Una cadena radiactiva tiene cuatro especies: \(A\to B\to C\to D\), con \(D\) estable y constantes \(\lambda_A=0{,}2\), \(\lambda_B=0{,}05\) y \(\lambda_C=0{,}1\) (en h⁻¹).
a) Escribe la ecuación de \(\tfrac{dN}{dt}\) de cada especie y la matriz \(M\in\mathfrak{M}_4(\mathbb{R})\) formada por sus coeficientes (fila \(i\) = ecuación \(i\), columnas en el orden \(N_A,N_B,N_C,N_D\)). b) ¿De qué especie es \(M\)? ¿Tiene alguna fila o columna nula? ¿Qué significa físicamente? c) Calcula \(\operatorname{tr}(M)\).
Ver pista
Sigue el modelo de la cadena A→B→C de este mismo post: cada especie pierde \(\lambda N\) de sí misma y gana lo que pierde la anterior. La especie estable no pierde nada.
Ver solución
b) Es triangular inferior (de hecho, solo tiene entradas no nulas en la diagonal y en la subdiagonal). La columna 4 es nula: ninguna ecuación depende de \(N_D\), porque los núcleos de D, al ser estables, no alimentan ni frenan nada. No hay ninguna fila nula, porque todas las especies cambian con el tiempo.
c) \(\operatorname{tr}(M)=-0{,}2-0{,}05-0{,}1+0=-0{,}35\ \text{h}^{-1}\).
Las propiedades de la traza
Sean \(A,B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\) y \(\lambda\in\mathbb{K}\). La suma de matrices y el producto por un número se hacen entrada a entrada (lo verás a fondo en el post 04).
a) Demuestra que \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)\) y que \(\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}(A)\).
b) Verdadero o falso: «si \(\operatorname{tr}(A)=0\), entonces \(A\) es la matriz nula».
Ver pista
En a), escribe la traza con el sumatorio y usa que \([A+B]_{ii}=a_{ii}+b_{ii}\). En b), para tumbar una afirmación basta con un contraejemplo. Busca una matriz \(2\times2\) diagonal con traza 0.
Ver solución
(Se dice que la traza es lineal.)
b) Falso. Contraejemplo: \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) tiene traza \(1-1=0\) y no es nula. La traza solo «ve» la diagonal, y además los números se pueden compensar.
Las trampas de este zoo
- Calcular la traza de una matriz no cuadrada. No existe: sin diagonal completa no hay traza.
- Liarse con «superior» e «inferior». El nombre dice dónde están los números, no dónde están los ceros. La triangular superior tiene los números arriba y los ceros abajo.
- Creer que una diagonal no puede tener ceros en la diagonal. \(\operatorname{diag}(4,0,1)\) es diagonal. Lo que importa es que fuera de la diagonal todo sea 0.
- Confundir la identidad con la «matriz de unos». \(I_n\) tiene unos solo en la diagonal. La matriz con todo unos es otra cosa muy distinta.
- Olvidar el tamaño. \(I_2\) e \(I_3\) son matrices distintas, y \(0_{2\times3}\neq0_{3\times2}\). Cuando no se pone el tamaño, se sobreentiende por el contexto.
- Confundir subdiagonal con triangular inferior. La subdiagonal es una línea, solo la que está pegada debajo de la diagonal. El triángulo inferior es todo lo que queda por debajo.
Lo imprescindible del post
Cuadradas, diagonal y traza
- Orden \(n\): \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\), con \(n\) filas y \(n\) columnas.
- \(\operatorname{diag}(A)=(a_{11},\dots,a_{nn})\): las entradas con \(i=j\).
- Subdiagonal: \(j=i-1\). Superdiagonal: \(j=i+1\).
- \(\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\). Es lineal: \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\) y \(\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}A\).
Las especies
- Triangular superior: \(a_{ij}=0\) si \(i>j\).
- Triangular inferior: \(a_{ij}=0\) si \(i
- Diagonal: \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\) \(\iff\) triangular superior e inferior.
- Escalar: \(\lambda I_n\). Identidad: \(I_n=(\delta_{ij})\). Nula: todo ceros, de cualquier tamaño.
Ceros que dicen mucho
Hoy has aprendido que los ceros de una matriz cuentan una historia. Ceros a un lado de la diagonal significan un proceso en cascada. Ceros fuera de la diagonal significan partes que no se influyen entre sí. Y la diagonal sola, sumada, nos da la traza, uno de los primeros invariantes que te encontrarás en física.
En el próximo post completamos el zoo con las especies más elegantes: las que se miran en un espejo (simétricas y antisimétricas) y las que viven en el mundo de los números complejos (las hermíticas, las favoritas de la mecánica cuántica).
Dime dónde tiene los ceros y te diré qué matriz es.
Siguiente: el zoo de las matrices (II) →La diagonal es la columna vertebral de una matriz cuadrada. Todo lo demás se ordena a su alrededor.
Comentarios
Todavía no hay comentarios. ¡Sé el primero en comentar!