Cada día consultas una matriz sin saberlo: la previsión del tiempo de tu móvil. Ciudades en filas, horas en columnas y un número en cada cruce. Eso, ni más ni menos, es una matriz.
El 27 en dorado es la entrada de la fila 2 (Sevilla) y la columna 3 (las 15 h).
Si quitas los nombres de las ciudades y las horas, queda un rectángulo de números. Parece que hemos perdido información, pero no: la posición de cada número guarda su significado. El número de la segunda fila y la tercera columna es «la temperatura de Sevilla a las 15 h», aunque no lo ponga en ninguna parte.
Esa es la gran idea de las matrices. Son tablas donde el sitio importa tanto como el número. Con ellas la física describe rotaciones, circuitos, imágenes, sistemas cuánticos y casi cualquier cosa en la que muchas magnitudes dependen de muchas otras a la vez.
Fila 2, butaca 5: las matrices son un cine
¿Has comprado alguna vez una entrada de cine? Pone algo así como «Fila 2, Butaca 5». Para encontrar tu sitio, primero localizas la fila contando desde la pantalla y después cuentas butacas de izquierda a derecha. Nadie dice «butaca 5, fila 2», y si lo dijera acabaría sentado en el sitio de otro.
Primero la fila (contando desde arriba) y luego la columna (contando desde la izquierda). Igual que en el cine.
En una matriz pasa exactamente lo mismo. Cada número tiene su «entrada de cine»: dos números, el de la fila y el de la columna, en ese orden. Las filas se cuentan de arriba abajo y las columnas de izquierda a derecha.
Por eso \(a_{25}\) y \(a_{52}\) son cosas distintas. La primera es la butaca 5 de la fila 2. La segunda es la butaca 2 de la fila 5, que en este cine ni siquiera existe.
La definición, bien escrita
Sea \(\mathbb{K}\) el conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) o el de los complejos \(\mathbb{C}\). Una matriz \(A\) de tamaño \(m\times n\) con entradas en \(\mathbb{K}\) es un conjunto de \(m\cdot n\) elementos de \(\mathbb{K}\) (llamados escalares) ordenados en \(m\) filas y \(n\) columnas:
\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\]El elemento \(a_{ij}\), que está en la fila \(i\) y la columna \(j\), es la entrada \((i,j)\) de \(A\). También se escribe \([A]_{ij}\). De forma abreviada: \(A=(a_{ij})\), con \(i=1,\dots,m\) y \(j=1,\dots,n\).
Desmontemos la definición pieza a pieza:
- El tamaño se dice «filas por columnas». Una matriz \(3\times 4\) («tres por cuatro») tiene 3 filas y 4 columnas, y por tanto \(3\cdot 4=12\) entradas. Una \(4\times 3\) es otra cosa distinta: tiene 4 filas y 3 columnas.
- \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) (se lee «matrices eme por ene sobre ka») es la caja donde viven todas las matrices de ese tamaño. Escribir \(A\in\mathfrak{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})\) es decir, en una sola línea, «\(A\) tiene 2 filas, 3 columnas y números reales dentro».
- \(\mathbb{K}\) puede ser \(\mathbb{C}\). En física cuántica las matrices con números complejos son el pan de cada día. Por ejemplo:
Aquí, por ejemplo, \(b_{12}=1-i\) y \(b_{21}=3i\).
La entrada \(a_{ij}\) vive en el cruce de la fila \(i\) con la columna \(j\).
¿Cuándo son iguales dos matrices?
Parece una pregunta tonta, pero no lo es. Dos matrices \(A\) y \(B\) son iguales cuando se cumplen a la vez dos condiciones:
- Tienen el mismo tamaño.
- Tienen las mismas entradas en las mismas posiciones: \(a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i\) y todo \(j\).
Así que \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\) son matrices distintas aunque tengan los mismos números. Volviendo al cine: mismas personas, pero sentadas en butacas diferentes.
Y una consecuencia muy útil: una igualdad entre dos matrices \(m\times n\) son, en realidad, \(m\cdot n\) igualdades entre números. Lo usarás muchísimo para despejar incógnitas.
A[1,2] es la entrada que en matemáticas llamamos \(a_{23}\).Una matriz es un montón de filas… o un montón de columnas
Hay dos matrices muy especiales, tan flacas que solo tienen una dimensión:
- Una matriz fila tiene una sola fila: es un elemento de \(\mathfrak{M}_{1\times n}(\mathbb{K})\). Por ejemplo, \(\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 & 2\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{1\times 4}(\mathbb{R})\).
- Una matriz columna tiene una sola columna: es un elemento de \(\mathfrak{M}_{m\times 1}(\mathbb{K})\). Por ejemplo, \(\begin{pmatrix}5\\-2\\7\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{3\times 1}(\mathbb{R})\).
Y aquí viene lo interesante: cualquier matriz se puede ver como \(m\) matrices fila apiladas o como \(n\) matrices columna puestas en paralelo. Es la misma matriz mirada de dos maneras, como un edificio que puedes recorrer por plantas o por fachadas:
Vista por filas
3 matrices fila de tamaño \(1\times4\):
\(F_1,\ F_2,\ F_3\)
Vista por columnas
4 matrices columna de tamaño \(3\times1\):
\(C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4\)
Ninguna de las dos vistas es mejor que la otra. A lo largo del tema usarás las dos sin parar. El método de Gauss trabaja con filas, el producto de matrices combina filas con columnas, y el rango puede contarse de las dos maneras y siempre da lo mismo (eso tiene su miga, y lo veremos en el post 13).
Filas nulas, columnas nulas y submatrices
Una fila de una matriz es una fila nula si todas sus entradas son 0. Una columna es una columna nula si todas sus entradas son 0.
En esta matriz, la fila 2 es nula y la columna 2 también.
Una fila nula es como una estación meteorológica que se ha quedado sin batería: está en la tabla, pero no aporta información. Esta idea de «información que no aporta nada» será la estrella del post 13, cuando hablemos del rango.
Una submatriz de \(A\) es cualquier matriz que se obtiene a partir de \(A\) eliminando algunas de sus filas y algunas de sus columnas (sin cambiar de orden lo que queda).
Es como recortar una foto, pero con una tijera muy particular: solo puede cortar filas enteras y columnas enteras. Lo que sobrevive se junta, conservando el orden en que estaba.
Se eliminan las filas 2 y 4 y la columna 3. Lo que queda, juntado en su orden, es la submatriz.
Fíjate en dos detalles:
- Una submatriz se decide eligiendo qué filas y qué columnas sobreviven. Un puñado de números sueltos que no salen de cruzar filas con columnas no es una submatriz.
- El orden se respeta. Si en \(A\) la fila 1 va antes que la fila 3, en la submatriz también. Si cambias el orden, ya no tienes una submatriz, sino otra cosa.
¿Para qué sirven? Muchísimo. Los determinantes se calculan a base de submatrices (los famosos «menores», post 18), el rango se puede medir con ellas (post 21) y en física sirven para «quedarse con una parte del sistema» y estudiarla aparte.
Matrices de verdad, en el mundo real
1. Una foto es una matriz
Una imagen digital en escala de grises de 8 bits es una matriz: cada entrada es el brillo de un píxel, de 0 (negro) a 255 (blanco). Aquí tienes una imagen de 6×6 píxeles y la matriz que la guarda:
Una «estrella» luminosa: el centro brilla (valores cerca de 255) y los bordes son oscuros.
No es una metáfora. Las cámaras de los telescopios funcionan así: el sensor (un CCD o un CMOS) es una rejilla de píxeles, y cada píxel mide cuánta luz le llega. Lo que sale del telescopio es, literalmente, una matriz de números. Cuando un astrónomo «procesa una imagen», está haciendo operaciones con matrices.
2. Las tablas de un laboratorio
Imagina que mides el periodo de un péndulo para 4 longitudes distintas, repitiendo cada medida 3 veces. Tus datos forman, de forma natural, una matriz \(4\times 3\): cada fila es una longitud y cada columna una repetición.
\[T=\begin{pmatrix}1{,}00 & 1{,}01 & 0{,}99\\ 1{,}42 & 1{,}41 & 1{,}43\\ 1{,}74 & 1{,}73 & 1{,}75\\ 2{,}01 & 2{,}00 & 2{,}02\end{pmatrix}\ \text{(segundos)}\]Aquí \(t_{23}=1{,}43\) s significa «segunda longitud, tercera medida». Son datos de ejemplo, calculados con la fórmula del péndulo simple \(T=2\pi\sqrt{L/g}\) para \(L=0{,}25;\ 0{,}50;\ 0{,}75\) y \(1{,}00\) m, con pequeñas variaciones como las de una medida real.
3. Sistemas que dependen unos de otros
Piensa en una cadena de 4 masas unidas por muelles: la 1 con la 2, la 2 con la 3 y la 3 con la 4. ¿Quién está conectado con quién? Se puede guardar en una matriz: pones un 1 en la entrada \((i,j)\) si la masa \(i\) está unida a la masa \(j\), y un 0 si no. Matrices de este tipo aparecen al estudiar cómo vibran las cadenas de átomos de moléculas y cristales. La construirás tú en el ejercicio 1.8.
4. El mundo cuántico habla en complejo
En mecánica cuántica, el espín de un electrón se describe con matrices \(2\times2\) de números complejos, las matrices de Pauli. Una de ellas es
\[\sigma_y=\begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{C}).\]De momento solo nos interesa que la sepas leer: \(\sigma_y\) es \(2\times2\), y su entrada \((1,2)\) es \(-i\). Qué significa físicamente lo verás en Física Cuántica. Lo que sí puedes asegurar desde ya es que el \(\mathbb{C}\) de \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{C})\) no está ahí de adorno.
Un poco de historia
- ~2000 añosEl texto chino Los nueve capítulos sobre el arte matemático ya resolvía sistemas de ecuaciones colocando los coeficientes en una tabla rectangular y operando con ella. Era, en esencia, el método de Gauss, muchos siglos antes de Gauss.
- 1850El matemático inglés James Joseph Sylvester acuña el término matrix. En latín, matrix viene de mater («madre») y significa «útero»: Sylvester veía la tabla como el lugar del que «nacen» los determinantes.
- 1858Arthur Cayley publica A Memoir on the Theory of Matrices, el primer trabajo que trata las matrices como objetos con su propia álgebra: se suman, se multiplican, se invierten. Es justo lo que vas a aprender en este tema.
Tres ejemplos, paso a paso
Escribe \(A\in\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})\), es decir \(3\times3\), con \(a_{ij}=2i-j\).
Truco: trabaja fila a fila. Así nunca te saltas una entrada ni mezclas \(i\) con \(j\).
Elimina las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 4 de la matriz \(M\).
\[M=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 & 5\\ 7 & 3 & 4 & -2\\ 1 & -6 & 8 & 0\end{pmatrix}\]Una sola fila y dos columnas: ¡una submatriz también puede ser una matriz fila!
Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(\begin{pmatrix}a+b & 4\\ c & a-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 4\\ -2 & 1\end{pmatrix}\).
a = 4, b = 3, c = −2 Una igualdad de matrices \(2\times2\) eran, en realidad, cuatro ecuaciones.
Ocho ejercicios para dominar las matrices
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Leer una matriz sin equivocarse
\[M=\begin{pmatrix}-3 & 8 & 0 & 1 & 5\\ 2 & -7 & 4 & 6 & -1\\ 9 & 0 & -5 & 3 & 2\end{pmatrix}\]a) ¿De qué tamaño es \(M\)? ¿Cuántas entradas tiene? b) Calcula \(m_{24}\), \(m_{35}\) y \(m_{13}\). c) ¿En qué posición está el \(-7\)?
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Cuenta primero las filas (horizontales) y después las columnas (verticales). Para \(m_{24}\): baja a la fila 2 y camina hasta la columna 4.
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a) 3 filas y 5 columnas: \(M\in\mathfrak{M}_{3\times5}(\mathbb{R})\), con \(3\cdot5=15\) entradas.
b) \(m_{24}=6\), \(m_{35}=2\) y \(m_{13}=0\).
c) El \(-7\) está en la fila 2, columna 2: es \(m_{22}\).
Matrices fabricadas con una receta
Escribe las siguientes matrices:
a) \(A\in\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})\) con \(a_{ij}=i-j\).
b) \(B\in\mathfrak{M}_{2\times4}(\mathbb{R})\) con \(b_{ij}=(-1)^{i+j}\,j\).
c) \(C\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{C})\) con \(c_{jk}=i^{\,j+k}\), donde \(i\) es la unidad imaginaria (\(i^2=-1\)).
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Trabaja fila a fila. En b), \((-1)^{\text{par}}=1\) y \((-1)^{\text{impar}}=-1\). En c) fíjate en por qué el enunciado usa \(j,k\) como índices y no \(i,j\): ¡la \(i\) ya está ocupada por la unidad imaginaria! Recuerda que \(i^2=-1\), \(i^3=-i\) e \(i^4=1\).
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Curiosidad: en \(A\) la diagonal es nula y cada entrada de abajo es la opuesta de su «reflejo» de arriba (\(a_{21}=1\), \(a_{12}=-1\)). Es una matriz antisimétrica, y la conocerás a fondo en el post 03.
Clasifica: ¿fila, columna, con filas o columnas nulas?
Para cada una, di su tamaño, si es matriz fila o matriz columna, y si tiene alguna fila nula o columna nula.
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Cuidado con \(P\) y con \(T\): una misma matriz puede ser varias cosas a la vez.
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- \(P\in\mathfrak{M}_{1\times3}\): matriz fila. Su única fila es nula, y además sus tres columnas (de un solo elemento cada una) también son nulas.
- \(Q\in\mathfrak{M}_{3\times2}\): ni fila ni columna. La columna 2 es nula, y no tiene ninguna fila nula.
- \(R\in\mathfrak{M}_{3\times1}\): matriz columna. No es nula, aunque su fila 2, que es \((0)\), sí es una fila nula.
- \(S\in\mathfrak{M}_{2\times3}\): la fila 2 es nula y la columna 2 es nula.
- \(T\in\mathfrak{M}_{1\times1}\): es a la vez matriz fila y matriz columna. Ni filas ni columnas nulas.
¿Submatriz o impostora?
\[A=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 & 5\\ 7 & 3 & 4 & -2\\ 1 & -6 & 8 & 0\end{pmatrix}\]¿Cuáles de las siguientes son submatrices de \(A\)? En las que lo sean, di qué filas y columnas se han eliminado.
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Para cada candidata, busca de qué filas y de qué columnas de \(A\) saldrían sus números. Comprueba que todas sus entradas salen de cruzar las mismas filas con las mismas columnas, y que el orden se respeta.
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(a) Sí. Filas 1 y 3, columnas 1 y 3: \(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&8\end{pmatrix}\). Se han eliminado la fila 2 y las columnas 2 y 4.
(b) No. Los números salen de las columnas 2 y 3, pero la fila \((3\ \ 4)\) es la 2 de \(A\) y la fila \((0\ \ -1)\) es la 1. Están en orden invertido: la tijera no puede reordenar filas.
(c) Sí. Fila 2, columnas 1 y 4. Se han eliminado las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 3.
(d) No. La primera fila \((2\ \ 5)\) saldría de la fila 1, columnas 1 y 4. Pero entonces la segunda tendría que salir de otra fila y de esas mismas columnas: con la fila 2 sería \((7\ \ -2)\) y con la fila 3, \((1\ \ 0)\). El \(3\) está en la columna 2, no en la 1, así que es una impostora.
Ecuaciones disfrazadas de matrices
a) Halla \(x\), \(y\) y \(z\) para que \(\begin{pmatrix}x+y & 2\\ 3 & x-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & z\\ 3 & 1\end{pmatrix}\).
b) ¿Puede ser \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)? Razónalo.
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Recuerda las dos condiciones de la igualdad: mismo tamaño y mismas entradas en las mismas posiciones.
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a) Entrada a entrada: \(x+y=5\), \(z=2\), \(x-y=1\). Sumando la primera y la tercera, \(2x=6\Rightarrow x=3\), y entonces \(y=2\). x = 3, y = 2, z = 2
b) No. La primera es \(1\times3\) y la segunda \(3\times1\). Tienen los mismos números, pero distinto tamaño, y eso basta para que sean distintas. (Más adelante verás que una es la traspuesta de la otra.)
¿Cuántos números caben en una foto?
Una pantalla «Full HD» tiene una resolución de 1920 × 1080 píxeles (1920 de ancho y 1080 de alto).
a) Si guardas una foto en escala de grises como una matriz, ¿de qué tamaño es esa matriz, siguiendo el convenio «filas × columnas»? ¿Cuántas entradas tiene?
b) Una foto en color RGB se guarda como tres matrices de ese tamaño (rojo, verde y azul). Si cada entrada ocupa 1 byte (un número del 0 al 255), ¿cuántos bytes ocupa la foto sin comprimir?
c) El negativo de una imagen en grises sustituye cada brillo \(a_{ij}\) por \(255-a_{ij}\). Calcula el negativo del trozo de imagen \(\begin{pmatrix}0 & 128 & 255\\ 200 & 55 & 30\end{pmatrix}\).
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En a) está la trampa: las resoluciones de pantalla se dan como «ancho × alto», pero las matrices se dan como «filas × columnas». ¿Cuántas filas de píxeles hay de arriba abajo?
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a) De arriba abajo hay 1080 filas de píxeles y de izquierda a derecha 1920 columnas, así que la matriz es \(1080\times1920\) (¡no \(1920\times1080\)!). Tiene \(1080\cdot1920=2\,073\,600\) entradas.
b) \(3\cdot 2\,073\,600=6\,220\,800\) entradas, a 1 byte cada una: unos 6,2 millones de bytes (≈ 6,2 MB) sin comprimir. Por eso existen formatos comprimidos como JPEG.
c) \(\begin{pmatrix}255-0 & 255-128 & 255-255\\ 255-200 & 255-55 & 255-30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}255 & 127 & 0\\ 55 & 200 & 225\end{pmatrix}\). Lo negro se vuelve blanco y al revés.
¿Cuántas submatrices tiene una matriz?
Sea \(A\) una matriz \(3\times4\).
a) ¿Cuántas submatrices \(2\times2\) tiene? b) ¿Cuántas submatrices cuadradas tiene en total (de cualquier tamaño)? c) ¿Cuántas submatrices tiene en total, contando la propia \(A\)?
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Una submatriz queda determinada al elegir qué filas sobreviven y qué columnas sobreviven (al menos una de cada). Elegir \(k\) filas de entre 3 se puede hacer de \(\binom{3}{k}\) maneras. Para c), piensa que cada fila puede «sobrevivir o no» (2 opciones) y descarta el caso en que no sobrevive ninguna.
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a) Hay que elegir 2 filas de 3 y 2 columnas de 4: \(\binom{3}{2}\binom{4}{2}=3\cdot6=18\).
b) Cuadradas de tamaño \(1\times1\): \(\binom31\binom41=12\). De tamaño \(2\times2\): 18. De tamaño \(3\times3\): \(\binom33\binom43=4\). No puede haber \(4\times4\), porque solo hay 3 filas. Total: \(12+18+4=34\).
c) Cada una de las 3 filas puede quedarse o no: \(2^3\) opciones, menos la de quitarlas todas, \(2^3-1=7\). Para las columnas, \(2^4-1=15\). En total, \(7\cdot15=105\) submatrices. En general, una matriz \(m\times n\) tiene \((2^m-1)(2^n-1)\) submatrices.
La matriz de una cadena de masas
Cuatro masas están en fila, unidas por muelles: 1–2, 2–3 y 3–4. Definimos \(K\in\mathfrak{M}_4(\mathbb{R})\) así: \(k_{ij}=1\) si \(|i-j|=1\) (masas vecinas, unidas por un muelle) y \(k_{ij}=0\) en otro caso.
a) Escribe \(K\). b) ¿Cuántas entradas no nulas tiene? ¿Qué relación hay con el número de muelles? c) ¿Se cumple \(k_{ij}=k_{ji}\) para todo \(i,j\)? ¿Por qué tiene sentido físico? d) Si añadimos un muelle que une la masa 4 con la masa 1 (cerrando la cadena en anillo), ¿qué entradas cambian?
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\(|i-j|=1\) significa que \(i\) y \(j\) son consecutivos: \((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),\dots\) Cada muelle conecta dos masas y aparece «dos veces» en la matriz.
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b) Tiene 6 entradas no nulas: el doble del número de muelles (3), porque el muelle que une \(i\) con \(j\) aparece en \((i,j)\) y en \((j,i)\).
c) Sí. Si la masa \(i\) está unida a la \(j\), la \(j\) está unida a la \(i\): la conexión es mutua. Las matrices con \(a_{ij}=a_{ji}\) se llaman simétricas (post 03), y aparecen por todas partes en física precisamente por esta reciprocidad.
d) Cambian \(k_{14}\) y \(k_{41}\), que pasan de 0 a 1. La matriz sigue siendo simétrica.
Las trampas en las que cae todo el mundo
- Dar el tamaño al revés. «\(3\times4\)» significa 3 filas y 4 columnas. Con las pantallas (1920 × 1080) y con las hojas de cálculo pasa justo lo contrario, y es fácil arrastrar la costumbre.
- Confundir \(a_{ij}\) con \(a_{ji}\). En Excel la celda «B3» es la columna B y la fila 3: ¡primero la columna! En matemáticas siempre va primero la fila.
- Pensar que \(1\times3\) y \(3\times1\) son lo mismo. Tienen los mismos números, pero son matrices distintas.
- Hacer «submatrices» a trozos. Una submatriz sale de quitar filas y columnas enteras, sin reordenar. Coger números sueltos que te gustan no vale.
- Usar \(i\) como índice cuando hay complejos. Si trabajas en \(\mathbb{C}\), usa \(j,k\) (u otras letras) como índices para no confundirte con la unidad imaginaria.
Lo imprescindible del post
Definiciones
- \(A=(a_{ij})\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\): \(m\) filas, \(n\) columnas, \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\).
- Entrada \((i,j)\): \(a_{ij}=[A]_{ij}\). Primero fila, luego columna.
- Número de entradas: \(m\cdot n\).
- Matriz fila: \(\mathfrak{M}_{1\times n}\). Matriz columna: \(\mathfrak{M}_{m\times1}\).
Reglas
- \(A=B\iff\) mismo tamaño y \(a_{ij}=b_{ij}\ \forall i,j\).
- Fila (columna) nula: todas sus entradas son 0.
- Submatriz: se eliminan filas y columnas enteras, sin reordenar.
- Una matriz \(m\times n\) tiene \((2^m-1)(2^n-1)\) submatrices.
Una tabla, pero con superpoderes
Hoy has aprendido el vocabulario: qué es una matriz, cómo se nombran sus entradas, cuándo dos matrices son iguales y cómo se recortan submatrices. Parece poco, pero es el alfabeto con el que se escribe todo lo demás.
En el próximo post conocerás a las primeras «especies» del zoo de las matrices: las cuadradas, las diagonales, la identidad y un número mágico llamado traza.
Primero la fila, luego la columna. Siempre.
Siguiente: el zoo de las matrices (I) →Una matriz es un lugar donde cada número sabe exactamente dónde está y qué significa estar ahí.
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