Antes de subir una montaña se mira el mapa. Este es el mapa del Tema 1: qué vas a aprender, en qué orden, qué idioma vas a necesitar y cómo sacarle todo el jugo.
Una matriz es una tabla con dirección postal: cada número vive en una fila y una columna.
Bienvenido o bienvenida a la serie del Tema 1 de Álgebra: Matrices. Si estudias primer curso del grado en Física, aquí tienes, paso a paso, todo el primer tema de la asignatura de Álgebra. Y si no, también te vale: aquí se explica todo desde cero.
La idea de la serie es sencilla. Cada concepto se cuenta en cristiano, con una imagen mental que se quede pegada. Luego viene el rigor matemático completo: definiciones, teoremas y demostraciones, sin rebajas. Y siempre, siempre, ejercicios para que practiques tú, con la pista y la solución escondidas hasta que decidas mirarlas.
¿Para qué quiere un físico una tabla de números?
Porque la naturaleza está llena de situaciones con muchas cosas que dependen de muchas otras a la vez. Una matriz es la forma más ordenada de escribirlas y de calcular con ellas. Unos cuantos ejemplos reales que irán apareciendo en la serie:
- ImagenUna foto digitalUna imagen en escala de grises es literalmente una matriz: cada entrada es el brillo de un píxel.
- ElectricidadCircuitosLas leyes de Kirchhoff dan un sistema de ecuaciones lineales, y el método de Gauss lo resuelve.
- MecánicaRotaciones y sólidosGirar un objeto en el espacio es multiplicar por una matriz. El tensor de inercia de un sólido es una matriz simétrica 3×3.
- ÓpticaRayos de luzEn óptica paraxial, cada lente o tramo de espacio se representa con una matriz 2×2. El sistema completo es el producto de todas ellas.
- CuánticaObservablesEn mecánica cuántica (con dimensión finita) las magnitudes medibles, como el espín, se representan con matrices hermíticas.
- CristalesVolúmenesEl volumen de la celda de un cristal es el valor absoluto del determinante de sus tres vectores.
Seis verbos para un tema entero
Si te pierdes en algún momento, vuelve aquí. El tema entero es una historia en seis pasos, y cada paso necesita el anterior:
Este es el destino de todo el viaje. Sea \(A\) una matriz cuadrada de orden \(n\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: si una es cierta, lo son todas, y si una falla, fallan todas.
- Deshacer\(A\) tiene inversa (es invertible).
- Medir\(\operatorname{rg}(A)=n\): ninguna fila es redundante.
- SimplificarSu forma de Hermite por filas es la identidad: \(H_f(A)=I_n\).
- Construir\(A\) es un producto de matrices elementales.
- Resumir\(\det(A)\neq 0\).
Piensa en cinco puertas distintas que dan a la misma habitación. En cada ejercicio entrarás por la que te pille más cerca.
Los 22 posts del Tema 1, en orden
Siete bloques, uno por cada gran parte del tema. Están pensados para leerse en orden, pero cada uno se entiende por sí solo y enlaza a lo que necesites repasar. La serie se publica de forma progresiva: si algún enlace todavía no funciona, ese post está en camino.
-
A
Bloque A · Definiciones y tipos
Conocer a las protagonistas
01¿Qué es una matriz? Tablas que ordenan el mundoEntradas, tamaño m×n, filas, columnas, submatrices.Física · una foto es una matriz 02El zoo de las matrices (I): diagonal, traza y triangularesCuadradas, diagonal principal, traza, triangulares, diagonales, identidad y nula.Física · la traza y la presión 03El zoo de las matrices (II): espejos y complejosTraspuesta, simétricas, antisimétricas, traspuesta conjugada y hermíticas.Física · observables cuánticos -
B
Bloque B · Operaciones con matrices
Operar con matrices
04Sumar matrices y multiplicarlas por un númeroLas ocho leyes de la suma y del producto por escalares, con sus demostraciones explicadas sin miedo.Física · superponer medidas 05El producto de matrices: fila por columnaCuándo se puede multiplicar, qué tamaño sale y por qué se define así.Física · matrices de rayos en óptica 06Lo que el producto NO cumpleAB ≠ BA, AB = 0 sin que ninguna sea nula, el binomio que se rompe.Física · girar un libro en dos ejes 07Potencias y matrices con personalidadIdempotentes, nilpotentes, involutivas y el binomio de Newton cuando conmutan.Física · polarizadores y Pauli 08Trabajar por bloques y la traspuesta de un producto(AB)ᵗ = BᵗAᵗ, toda matriz cuadrada como simétrica + antisimétrica.Física · sistemas desacoplados -
C
Bloque C · Método de Gauss
Simplificar sin perder nada
09Combinaciones de filas y operaciones elementalesFilas dependientes e independientes, los tres tipos de operación, matrices elementales.Física · reordenar ecuaciones 10El método de Gauss: construir la escaleraMatriz escalonada, pivotes y el algoritmo que lo escalona todo.Física · circuitos de Kirchhoff 11Gauss‑Jordan y la forma de Hermite por filasEscalonada reducida, por qué es única y la equivalencia por filas.Idea · el DNI de una matriz 12Trucos del oficio: atajos, errores y columnasQué operaciones se pueden hacer a la vez, el error del «ciclo» y operar por columnas.Examen · errores que cuestan puntos -
D
Bloque D · El rango de una matriz
Medir la información real
13El rango: cuánta información real hay en una matrizDefinición 1.41, cálculo por escalonamiento y rangos con parámetros.Física · ecuaciones independientes 14Matrices equivalentes y las desigualdades del rangoEquivalentes ⇔ mismo rango, y el rango de sumas y productos.Idea · la forma de Hermite H(A) -
E
Bloque E · La matriz inversa
El botón de deshacer
15La inversa: el botón de deshacerUnicidad, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ y cuándo existe.Física · invertir una transformación 16Calcular la inversa con Gauss‑Jordan(A | I) → (I | A⁻¹) por filas y por columnas, paso a paso.Método · el más usado en examen 17Las matrices P y Q: registrar el caminoPA = Hf(A), AQ = Hc(A) y PAQ = H(A).Idea · guardar las operaciones -
F
Bloque F · El determinante
Resumir una matriz en un número
18El determinante: qué mide de verdadÁrea y volumen con signo, fórmula de Laplace, regla de Sarrus, triangulares.Física · volumen de una celda cristalina 19Determinantes y operaciones elementalesCálculo rápido, det(AB) = det(A)·det(B), det(Aᵗ) = det(A), Laplace por cualquier línea.Método · calcular sin sufrir 20Bloques, matriz adjunta y fórmula de la inversaDeterminantes por bloques, A⁻¹ con la adjunta y el determinante de Vandermonde.Ciencia · interpolar datos 21Menores y rango: el método de orlarEl rango con determinantes, sin calcular decenas de menores a lo loco.Examen · rango con parámetros -
G
Bloque G · Práctica final
Entrenamiento final
Así está construido cada post
Todos los posts tienen la misma estructura, para que sepas siempre dónde buscar cada cosa:
- El ganchoUn fenómeno real o una situación cotidiana que te hace la pregunta.
- En 30 segundosLa idea completa en tres líneas, por si vas con prisa.
- El concepto, con imagen mentalUna analogía y un esquema dibujado expresamente para ese concepto.
- El rigor matemáticoDefiniciones, teoremas y demostraciones, explicados línea a línea.
- ¿Dónde aparece en física?Aplicaciones reales, sin humo.
- Ejemplos resueltosPaso a paso, sin saltarse ningún cálculo.
- Practica túEntre 5 y 8 ejercicios graduados, con la pista y la solución plegadas.
- Errores típicosLas trampas en las que cae casi todo el mundo (y cómo evitarlas).
- Para saber másCuriosidades, conexiones con otros temas y lo que viene después.
- ChuletaLo imprescindible para repasar la víspera del examen.
Los niveles de los ejercicios
Y la regla de oro: intenta cada ejercicio antes de abrir nada. Si te atascas, abre primero la pista. La solución, solo al final. Cuesta más, pero es justo ese esfuerzo de recordar y resolver sin mirar lo que hace que se quede. La psicología del aprendizaje lo ha comprobado muchas veces: intentar recordar y resolver sin mirar fija lo aprendido mucho mejor que releer.
Glosario de notación
Los símbolos que vas a ver una y otra vez, con su nombre de pila:
| Símbolo | Se lee | Significa |
|---|---|---|
| \(\mathbb{K}\) | «ka» | El conjunto de números con el que trabajas: \(\mathbb{R}\) (reales) o \(\mathbb{C}\) (complejos). |
| \(\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) | «matrices eme por ene sobre ka» | Todas las matrices de \(m\) filas y \(n\) columnas con entradas en \(\mathbb{K}\). |
| \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\) | «matrices de orden ene» | Las matrices cuadradas \(n\times n\). |
| \(a_{ij}\), \([A]_{ij}\) | «a sub i jota» | La entrada de \(A\) en la fila \(i\), columna \(j\). |
| \(A^t\), \(A^*\) | «a traspuesta», «a estrella» | Traspuesta (filas ↔ columnas) y traspuesta conjugada. |
| \(I_n\), \(0_{m\times n}\) | «identidad», «nula» | La matriz identidad de orden \(n\) y la matriz de ceros. |
| \(\operatorname{tr}(A)\) | «traza de a» | Suma de los elementos de la diagonal principal. |
| \(f_i \leftrightarrow f_j\) | «intercambiar filas» | Operación elemental (con \(c_i\) si es por columnas). |
| \(A \sim_f B\), \(A\sim_c B\), \(A\sim B\) | «equivalentes por filas / columnas / equivalentes» | Se pasa de una a otra con operaciones elementales. |
| \(H_f(A)\), \(H_c(A)\), \(H(A)\) | «forma de Hermite» | Por filas, por columnas, y por filas y columnas. |
| \(\operatorname{rg}(A)\) | «rango de a» | Número máximo de filas independientes. |
| \(A^{-1}\) | «a a la menos uno» | La inversa de \(A\), si existe. |
| \(\det(A)\), \(|A|\) | «determinante de a» | El número que resume una matriz cuadrada. |
| \(\operatorname{Adj}(A)\) | «adjunta de a» | La matriz de los menores adjuntos (ver el aviso de la chuleta). |
Test de diagnóstico: ¿llegas con todo lo necesario?
El Tema 1 apenas exige conocimientos previos, pero hay cuatro herramientas que conviene tener engrasadas: leer índices, el sumatorio, los números complejos y resolver un sistema pequeño. Además, hay un reto final que no necesita fórmulas. Si los haces todos sin abrir las soluciones, vas sobrado.
La dirección postal de un número
Dada la matriz
\[A=\begin{pmatrix}4 & -1 & 0 & 7\\ 2 & 5 & -3 & 1\\ -6 & 8 & 9 & 2\end{pmatrix}\]a) ¿Cuál es su tamaño? b) ¿Cuánto valen \(a_{23}\), \(a_{31}\) y \(a_{14}\)? c) ¿Existe \(a_{41}\)?
Ver pista
El primer subíndice siempre es la fila (las horizontales, contadas de arriba abajo) y el segundo la columna (las verticales, de izquierda a derecha). Truco para no liarte: «primero bajas en el ascensor, luego caminas por el pasillo».
Ver solución
a) Tiene 3 filas y 4 columnas: es de tamaño \(3\times 4\), es decir, \(A\in\mathfrak{M}_{3\times 4}(\mathbb{R})\).
b) \(a_{23}=-3\) (fila 2, columna 3), \(a_{31}=-6\) (fila 3, columna 1) y \(a_{14}=7\) (fila 1, columna 4).
c) No. \(a_{41}\) estaría en la fila 4, y \(A\) solo tiene 3 filas. Es como preguntar por el cuarto piso de un edificio de tres plantas.
Perderle el miedo al sumatorio
El símbolo \(\sum\) solo significa «suma esto para cada valor del índice». Calcula:
En el apartado b), toma \((a_1,a_2,a_3)=(2,-1,3)\) y \((b_1,b_2,b_3)=(4,5,-2)\).
Ver pista
Sustituye \(k=1\), luego \(k=2\), y así hasta el valor de arriba. Después suma todo. En b) multiplicas «el primero con el primero, el segundo con el segundo…» y sumas.
Ver solución
Fíjate bien en el apartado b), porque acabas de hacer, sin saberlo, el corazón del producto de matrices: «fila por columna» es exactamente esta suma. La verás en el post 05 como \([AB]_{ij}=\sum_{k} a_{ik}b_{kj}\).
Complejos a punto (los necesitarás en el post 03)
Sean \(z=3-2i\) y \(w=1+4i\), con \(i^2=-1\). Calcula \(\overline{z}\), \(z+w\), \(z\cdot w\) y \(z\cdot\overline{z}\). Después, explica por qué \(z\cdot\overline{z}\) es siempre un número real, sea cual sea \(z\).
Ver pista
El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria: \(\overline{a+bi}=a-bi\). Para multiplicar, opera como con binomios y usa \(i^2=-1\) al final.
Ver solución
En general, si \(z=a+bi\): \((a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2+b^2\). Las partes imaginarias se cancelan y queda un número real (y además mayor o igual que cero). Esta misma idea explica por qué la diagonal de una matriz hermítica siempre es real.
Un sistema 3×3 «a la antigua»
Resuelve por reducción (eliminando incógnitas) el sistema:
\[\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{cases}\]Ver pista
Usa la primera ecuación para eliminar la \(x\) de las otras dos: a la segunda réstale 2 veces la primera, y a la tercera réstale la primera. Te queda un sistema 2×2 en \(y,z\).
Ver solución
Segunda menos 2 × primera: \(-3y-z=-9\). Tercera menos primera: \(y-2z=-4\).
De la última, \(y=2z-4\). Sustituyendo: \(-3(2z-4)-z=-9\Rightarrow -7z+12=-9\Rightarrow z=3\). Entonces \(y=2\) y, de la primera, \(x=6-2-3=1\).
x = 1, y = 2, z = 3 Comprueba: \(1+2+3=6\), \(2-2+3=3\), \(1+4-3=2\). ✔
Lo que acabas de hacer («restar a una ecuación un múltiplo de otra») es una operación elemental de Tipo II, y el proceso completo es el método de Gauss. En el post 10 lo harás con matrices, que es lo mismo pero sin arrastrar las letras.
Leer teoremas: el «si y solo si»
a) «Si un número es múltiplo de 4, entonces es par.» ¿Es verdad? ¿Y su recíproco («si es par, entonces es múltiplo de 4»)?
b) Uno de los grandes resultados del tema dice: «una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero». ¿Qué dos cosas hay que demostrar para probar un «si y solo si»?
Ver pista
Para tumbar una afirmación general basta con un solo contraejemplo. Busca un número par que no sea múltiplo de 4.
Ver solución
a) La primera es cierta: si \(n=4k\), entonces \(n=2(2k)\), que es par. El recíproco es falso: el 6 es par y no es múltiplo de 4. Por tanto no podemos decir «múltiplo de 4 si y solo si par».
b) Un «si y solo si» (\(\Leftrightarrow\)) son dos flechas:
- (\(\Rightarrow\)) Si \(A\) tiene inversa, entonces \(\det(A)\neq0\).
- (\(\Leftarrow\)) Si \(\det(A)\neq0\), entonces \(A\) tiene inversa.
Así es como se demuestra ese resultado en el post 19. Verás que casi todos los teoremas importantes del tema tienen esta forma.
Una imagen de 16 píxeles
Una imagen en blanco y negro de 4×4 píxeles se guarda como una matriz: 1 = píxel negro, 0 = píxel blanco. Esta es la letra «L»:
La traspuesta \(L^t\) se obtiene convirtiendo cada fila en columna: la entrada \((i,j)\) pasa a la posición \((j,i)\). Dibuja (o escribe) \(L^t\). ¿Qué le ha pasado a la imagen?
Ver pista
La primera fila de \(L^t\) es la primera columna de \(L\), la segunda fila de \(L^t\) es la segunda columna de \(L\), etc. Los píxeles de la diagonal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) no se mueven.
Ver solución
La imagen se ha reflejado respecto de la diagonal principal, como si la diagonal fuera un espejo. Eso es exactamente lo que hace trasponer una matriz cuadrada. Los programas de edición de imagen hacen operaciones así (girar, voltear) moviendo las entradas de la matriz de píxeles.
El experimento del libro que gira
Coge un libro y déjalo tumbado sobre la mesa, con la portada hacia arriba, leíble con normalidad (la parte de arriba de la portada apunta lejos de ti) y el lomo a tu izquierda. Define dos movimientos, siempre respecto a la habitación y no al libro:
- Giro V (peonza): gíralo 90° sobre la mesa, en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba.
- Giro H (levantar): gíralo 90° alrededor del eje izquierda‑derecha de la mesa, de forma que lo que apuntaba lejos de ti pase a apuntar hacia el techo (y lo que miraba al techo pase a mirarte a ti).
Haz primero V y luego H. Anota cómo queda el libro. Vuelve a la posición inicial y haz primero H y luego V. ¿Queda igual? ¿Qué te dice esto sobre «multiplicar» transformaciones?
Ver pista
Fíjate en tres cosas al final: hacia dónde mira la portada, dónde está el lomo y hacia dónde apunta la parte de arriba de la portada.
Ver solución
Primero V, luego H: el libro acaba de pie apoyado sobre su lomo, con la portada mirándote y el texto «tumbado» (la parte de arriba de la portada apunta a tu izquierda).
Primero H, luego V: el libro acaba de pie y derecho (la parte de arriba hacia el techo), con la portada mirando a tu derecha y el lomo hacia ti.
Son posiciones distintas: el orden importa. Cada giro se representa con una matriz 3×3, y hacer un giro tras otro equivale a multiplicar sus matrices. Así que lo que acabas de ver con tus manos es que, en general, \(AB\neq BA\): el producto de matrices no es conmutativo. Lo estudiaremos a fondo en el post 06. (Por cierto, este resultado lo hemos comprobado multiplicando las dos matrices de giro: no es una intuición, es un cálculo.)
Todo el tema en una página
Guárdala para el final: ahora mismo muchas cosas te sonarán a chino, y es normal. Vuelve aquí cuando termines cada bloque y verás cómo todo encaja.
Operar
- \([A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\), \(\ [\lambda A]_{ij}=\lambda a_{ij}\)
- \([AB]_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}\), con \((m\times n)\cdot(n\times p)=m\times p\)
- En general, \(AB\neq BA\).
- \((A+B)^t=A^t+B^t\), \(\ (\alpha A)^t=\alpha A^t\), \(\ (AB)^t=B^tA^t\)
- \(A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}\): simétrica + antisimétrica
Operaciones elementales
- Tipo I: \(f_i\leftrightarrow f_j\) → el determinante cambia de signo
- Tipo II: \(f_i\to f_i+\beta f_j\) → el determinante no cambia
- Tipo III: \(f_i\to \alpha f_i\), \(\alpha\neq0\) → el determinante queda multiplicado por \(\alpha\)
- \(\det(E)=-1,\ 1,\ \alpha\) según el tipo
- \(A\sim_f B \iff H_f(A)=H_f(B)\)
Rango
- \(\operatorname{rg}(A)\) = nº de filas no nulas de cualquier escalonada equivalente
- \(A\sim B\iff \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)\)
- \(|\operatorname{rg}A-\operatorname{rg}B|\le\operatorname{rg}(A+B)\le\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B\)
- \(\operatorname{rg}(AD)\le\min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}D\}\)
- \(\operatorname{rg}(A)\) = mayor orden de un menor no nulo
Inversa
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), \(\ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
- Si \(AB=I_n\) (cuadradas), entonces \(B=A^{-1}\): basta un lado
- Gauss‑Jordan: \((A\,|\,I_n)\sim_f(I_n\,|\,A^{-1})\)
- \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{Adj}(A)^t\)
- \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) si \(ad-bc\neq0\)
Determinante
- \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)
- Sarrus: \(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)
- Triangular: producto de la diagonal
- \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\), \(\ \det(A^t)=\det A\)
- Laplace por cualquier fila o columna
- \(\det\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\det A\cdot\det B\)
- \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det A\) para \(A\) de orden \(n\) (cada una de las \(n\) filas aporta un \(\lambda\))
La gran equivalencia
- Para \(A\) de orden \(n\):
- \(A\) invertible \(\iff \operatorname{rg}(A)=n\iff H_f(A)=I_n\)
- \(\iff A\) es producto de elementales
- \(\iff \det(A)\neq0\)
El método, en cuatro pasos
- Lee el «En 30 segundos» antes que nada. Así sabes a dónde vas.
- Quédate con la imagen mental. Si puedes explicar el concepto con la analogía, lo has entendido.
- Haz los ejercicios sin mirar. Pista solo si te atascas. Solución, al final.
- Vuelve a los pocos días y rehaz los ejercicios de nivel examen. Repasar espaciado fija mucho más que darse un atracón la víspera.
Las matemáticas no se leen. Se hacen.
Empezamos por lo más básico: qué es exactamente una matriz y por qué una simple tabla de números es una de las herramientas más poderosas de la física.
Empieza por el post 01 →Una matriz no es una tabla de números. Es una forma de ordenar el mundo para poder pensar en él.
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