Sumar matrices fue fácil: casilla a casilla. Multiplicarlas es otra historia. Aquí una fila entera «choca» contra una columna entera, y de ese choque sale un solo número. Parece una regla caprichosa, pero es exactamente como la naturaleza encadena unas transformaciones con otras.
desliza para ver todo →
La fila 1 de \(A\) (morada) se multiplica, número a número, por la columna 2 de \(B\) (verde). Se suma todo y sale la entrada \((1,2)\) del producto (dorada).
Si sabes multiplicar matrices, puedes describir giros en el espacio, seguir un rayo de luz a través de un sistema de lentes, encadenar transformaciones en mecánica o calcular cómo evoluciona un sistema cuántico. Es, probablemente, la operación más importante de todo el álgebra lineal.
En este post vas a aprender la regla, a entender por qué es así (que no es nada caprichosa) y a manejar sus leyes. En el siguiente verás las cosas raras que hace, como que \(AB\neq BA\).
¿Por qué «fila por columna»? La pastelería
Antes de la definición, una situación cotidiana que te va a convencer de que la regla no es arbitraria. Una pastelería hace dos tipos de lotes, magdalenas y bizcochos, y necesita tres ingredientes. Además, puede comprar en dos supermercados con precios distintos. Datos de ejemplo:
| Harina (kg) | Huevos (doc.) | Azúcar (kg) | |
|---|---|---|---|
| Magdalenas | 2 | 3 | 1 |
| Bizcochos | 1 | 2 | 4 |
| Súper 1 | Súper 2 | |
|---|---|---|
| Harina | 1,20 | 1,00 |
| Huevos | 2,00 | 2,40 |
| Azúcar | 0,80 | 0,90 |
¿Cuánto cuesta un lote de magdalenas comprando en el súper 1? Pues cantidad de harina por precio de la harina, más cantidad de huevos por precio de los huevos, más cantidad de azúcar por precio del azúcar:
\[2\cdot1{,}20+3\cdot2{,}00+1\cdot0{,}80=9{,}20\text{ €}\]¡Acabas de multiplicar la fila «magdalenas» de \(A\) por la columna «súper 1» de \(B\)! Si haces lo mismo con todas las combinaciones, obtienes la tabla completa de costes, que es justo el producto \(AB\):
\[\begin{aligned}AB&=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1{,}20 & 1{,}00\\ 2{,}00 & 2{,}40\\ 0{,}80 & 0{,}90\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}9{,}20 & 10{,}10\\ 8{,}40 & 9{,}40\end{pmatrix}\end{aligned}\]Filas: magdalenas y bizcochos · Columnas: súper 1 y súper 2 · En euros por lote
Fíjate en tres cosas, porque son todo el secreto del producto de matrices:
- Lo de en medio tiene que encajar. Las columnas de \(A\) son ingredientes y las filas de \(B\) también. Si \(B\) tuviera precios de cuatro ingredientes y \(A\) cantidades de solo tres, no podrías multiplicar.
- Lo de en medio desaparece. El resultado relaciona lo de fuera: lotes (filas de \(A\)) con supermercados (columnas de \(B\)). Los ingredientes se «consumen» en la suma.
- Es una cadena. Lotes \(\to\) ingredientes \(\to\) euros. El producto encadena dos relaciones en una sola. Y eso es exactamente lo que hace la física cuando encadena transformaciones.
La definición del producto
Sean \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(B\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})\), es decir, el número de columnas de \(A\) es igual al número de filas de \(B\). El producto \(AB\) es la matriz de tamaño \(m\times p\) cuya entrada \((i,j)\) se obtiene multiplicando la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\):
\[\begin{aligned}[AB]_{ij}&=\begin{pmatrix}a_{i1} & \cdots & a_{in}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj}\end{pmatrix}\\ &=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\end{aligned}\]La regla del dominó
Para saber si un producto existe y qué tamaño tiene, piensa en fichas de dominó: solo encajan si los números que se tocan son iguales, y el resultado se queda con los de los extremos.
\((m\times n)\cdot(n\times p)=m\times p\): los de en medio se tocan y desaparecen; los de fuera dan el tamaño.
Truco de orden: fija una fila de \(A\) y recorre todas las columnas de \(B\). Así vas rellenando el resultado fila a fila, sin saltarte nada.
Matriz por vector: mezclar columnas
Hay un caso especialmente importante: cuando \(B\) es una matriz columna (un «vector»). Si \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) y \(x\in\mathfrak{M}_{n\times1}(\mathbb{K})\), entonces \(Ax\in\mathfrak{M}_{m\times1}(\mathbb{K})\), y se puede leer así:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\\ &=x_1\begin{pmatrix}a_{11}\\ \vdots\\ a_{m1}\end{pmatrix}+\cdots+x_n\begin{pmatrix}a_{1n}\\ \vdots\\ a_{mn}\end{pmatrix}\end{aligned}\]Multiplicar una matriz por un vector es mezclar sus columnas, usando las entradas del vector como «dosis» de cada columna. Por ejemplo:
\[\begin{aligned}&\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\\ 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\\ &=2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\17\end{pmatrix}\end{aligned}\]Y como cada columna de \(AB\) es \(A\) por la correspondiente columna de \(B\), resulta que las columnas de \(AB\) son mezclas de las columnas de \(A\). Del mismo modo, las filas de \(AB\) son mezclas de las filas de \(B\): la fila \(i\) de \(AB\) es la fila \(i\) de \(A\) por \(B\). Esta doble lectura será clave cuando estudiemos el rango (post 14).
La identidad hace de «1»
La matriz identidad del post 02 por fin muestra su poder. Si \(A\) es \(m\times n\):
\[A\,I_n=A\qquad\qquad I_m\,A=A\]Ojo con los tamaños: por la derecha se multiplica por \(I_n\) y por la izquierda por \(I_m\). Si \(A\) no es cuadrada, son dos identidades distintas. Demostración de la primera, usando la delta de Kronecker: \([AI_n]_{ij}=\sum_k a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}\), porque de toda la suma solo sobrevive el término con \(k=j\).
Y las matrices diagonales tienen un efecto muy visual: multiplicar por una diagonal por la izquierda escala las filas, y por la derecha escala las columnas. Lo comprobarás en el ejercicio 5.4.
Las leyes del producto de matrices
Sean \(A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), \(B,C\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})\), \(D\in\mathfrak{M}_{p\times q}(\mathbb{K})\) y \(\alpha\in\mathbb{K}\). Entonces:
- Asociativa\((AB)D=A(BD)\)Puedes escribir \(ABD\) sin paréntesis, pero sin cambiar el orden.
- Neutro por la derecha\(A\,I_n=A\)La identidad del tamaño adecuado no cambia nada.
- Neutro por la izquierda\(I_m\,A=A\)Por la izquierda también, pero ojo con el tamaño: \(I_m\), no \(I_n\).
- Escalares\(\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)\)Los números «atraviesan» los productos y se pueden poner donde quieras.
- Distributiva por la izquierda\(A(B+C)=AB+AC\)Se reparte, respetando que \(A\) va delante.
- Distributiva por la derecha\((B+C)D=BD+CD\)Se reparte, respetando que \(D\) va detrás.
¿Por qué hay dos distributivas y dos neutros? Porque el producto no es conmutativo, y por tanto «por la izquierda» y «por la derecha» son cosas distintas. Lo verás a fondo en el próximo post.
La demostración de la distributiva es muy instructiva:
\[\begin{aligned}[A(B+C)]_{ij}&=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})\\ &=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}\\ &=[AB]_{ij}+[AC]_{ij}\end{aligned}\]Ver la demostración de la asociativa (la más bonita)
Escribimos la entrada \((i,j)\) de \((AB)D\) desarrollando los dos productos:
\[\begin{aligned}[(AB)D]_{ij}&=\sum_{k=1}^{p}[AB]_{ik}\,d_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^{p}\Big(\sum_{h=1}^{n}a_{ih}b_{hk}\Big)d_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^{p}\sum_{h=1}^{n}a_{ih}b_{hk}d_{kj}\\ &=\sum_{h=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ih}b_{hk}d_{kj}\\ &=\sum_{h=1}^{n}a_{ih}\Big(\sum_{k=1}^{p}b_{hk}d_{kj}\Big)\\ &=\sum_{h=1}^{n}a_{ih}[BD]_{hj}=[A(BD)]_{ij}\end{aligned}\]El paso clave es el del medio: intercambiar el orden de las dos sumas. Se puede hacer porque son sumas finitas de números. Ambos lados son matrices \(m\times q\) con las mismas entradas, así que son iguales. \(\blacksquare\)
La asociatividad tiene una consecuencia física enorme: si encadenas tres transformaciones, puedes «precalcular» el efecto de dos de ellas y aplicarlo de golpe.
La luz atravesando lentes: un producto de matrices
En óptica paraxial (rayos casi paralelos al eje), un rayo de luz se describe con dos números: su altura \(y\) respecto del eje y su ángulo \(\theta\). Cada elemento óptico transforma ese par con una matriz \(2\times2\):
Un rayo que atraviesa primero la lente y luego recorre una distancia \(d\) sufre la transformación \(M=T(d)\,L(f)\). Y fíjate en el orden: la primera que actúa es la de la derecha, la que está pegada al vector. Ese convenio, «se lee de derecha a izquierda», lo vas a ver en toda la física.
Todos los rayos paralelos se cruzan en el foco. El producto de matrices lo predice: el ejercicio 5.7 te pide demostrarlo.
Con una lente de \(f=10\) cm y \(d=10\) cm, el producto da
\[M=\begin{pmatrix}1 & 10\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ -0{,}1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 10\\ -0{,}1 & 1\end{pmatrix}\]y un rayo paralelo que entra a 1 cm de altura, \(\binom{y}{\theta}=\binom{1}{0}\), sale con \(M\binom{1}{0}=\binom{0}{-0{,}1}\): altura 0, es decir, cruzando el eje justo en el foco. Un sistema óptico entero, por complicado que sea, se resume en una sola matriz: el producto de todas las de sus elementos.
Promesa cumplida: la velocidad de rotación
En el post 03 vimos la matriz antisimétrica \(\Omega\) asociada a la velocidad angular \(\vec\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)\). Ahora ya podemos multiplicarla por el vector posición \(\vec r=(x,y,z)\), escrito como columna:
\[\begin{aligned}\Omega\,\vec r&=\begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\omega_y z-\omega_z y\\ \omega_z x-\omega_x z\\ \omega_x y-\omega_y x\end{pmatrix}=\vec\omega\times\vec r\end{aligned}\]¡Es exactamente el producto vectorial! La velocidad de cada punto de un sólido que gira es \(\vec v=\Omega\,\vec r\). Un producto que conoces de física («la regla de la mano derecha») es, en realidad, un producto de matrices.
Ocho ejercicios para multiplicar sin miedo
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
El juego del dominó
Sean \(A\) de tamaño \(2\times3\), \(B\) de \(3\times4\), \(C\) de \(4\times1\) y \(D\) de \(2\times2\). ¿Cuáles de estos productos existen? Para los que existan, da su tamaño.
\(AB,\ \ BA,\ \ BC,\ \ ABC,\ \ DA,\ \ AD,\ \ CA,\ \ D^2=DD\)
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Escribe los tamaños uno al lado del otro y comprueba que los números que se tocan son iguales. Para \(ABC\), hazlo de dos en dos.
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- \(AB\): \((2\times3)(3\times4)\) → existe, \(2\times4\).
- \(BA\): \((3\times4)(2\times3)\) → no existe (4 ≠ 2).
- \(BC\): \((3\times4)(4\times1)\) → existe, \(3\times1\).
- \(ABC\): \((2\times4)(4\times1)\) → existe, \(2\times1\).
- \(DA\): \((2\times2)(2\times3)\) → existe, \(2\times3\).
- \(AD\): \((2\times3)(2\times2)\) → no existe (3 ≠ 2).
- \(CA\): \((4\times1)(2\times3)\) → no existe (1 ≠ 2).
- \(DD\): \((2\times2)(2\times2)\) → existe, \(2\times2\). Las potencias solo existen para matrices cuadradas.
En un sentido y en el otro
Calcula \(AB\) y \(BA\). ¿Tienen el mismo tamaño?
Ver pista
\(AB\) es \((2\times3)(3\times2)=2\times2\), y \(BA\) es \((3\times2)(2\times3)=3\times3\). Fija una fila y recorre las columnas.
Ver solución
Por ejemplo, \([BA]_{32}=4\cdot2+3\cdot3=17\). Los dos productos existen, pero tienen tamaños distintos (\(2\times2\) y \(3\times3\)). Así que ni siquiera tiene sentido preguntarse si \(AB=BA\). Primera pista de que el orden importa.
Matriz por vector, de dos maneras
Calcula \(\begin{pmatrix}3 & 1 & -2\\ 0 & 4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\) de dos formas: fila por columna, y como mezcla de columnas.
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Como mezcla: \(1\cdot(\text{columna }1)+2\cdot(\text{columna }2)+(-1)\cdot(\text{columna }3)\).
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Fila por columna: \(3\cdot1+1\cdot2+(-2)(-1)=7\) y \(0\cdot1+4\cdot2+5\cdot(-1)=3\).
\[\begin{aligned}&1\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}3+2+2\\ 0+8-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}\end{aligned}\]Mismo resultado, dos miradas.
Lo que hace una matriz diagonal
Sea \(A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2\\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix}\). Calcula \(\operatorname{diag}(2,-1)\,A\) y \(A\,\operatorname{diag}(1,0,3)\). ¿Qué regla general descubres?
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Calcula y compara con \(A\) fila a fila y columna a columna.
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Regla: \(\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_m)\,A\) multiplica la fila \(i\) de \(A\) por \(d_i\), y \(A\,\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)\) multiplica la columna \(j\) por \(d_j\). Por la izquierda actúa sobre filas y por la derecha sobre columnas. Volverás a verlo en las operaciones elementales (post 09).
La pastelería crece
La pastelería de este post decide producir cada semana 10 lotes de magdalenas y 6 de bizcochos. Escríbelo como una matriz fila \(P=(10\ \ 6)\).
a) ¿Qué significa \(PA\)? Calcúlalo. b) ¿Qué significa \(PAB\)? Calcúlalo de dos formas, \((PA)B\) y \(P(AB)\). ¿En qué supermercado conviene comprar?
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Sigue la cadena: lotes → ingredientes → euros. \(P\) es \(1\times2\), \(A\) es \(2\times3\) y \(B\) es \(3\times2\).
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a) \(PA=(10\cdot2+6\cdot1\ \ \ 10\cdot3+6\cdot2\ \ \ 10\cdot1+6\cdot4)=(26\ \ 42\ \ 34)\): los kilos de harina, docenas de huevos y kilos de azúcar que hacen falta a la semana.
b) \((PA)B=(26\cdot1{,}2+42\cdot2+34\cdot0{,}8\ \ \ 26\cdot1+42\cdot2{,}4+34\cdot0{,}9)=(142{,}4\ \ 157{,}4)\).
Y \(P(AB)=(10\cdot9{,}2+6\cdot8{,}4\ \ \ 10\cdot10{,}1+6\cdot9{,}4)=(142{,}4\ \ 157{,}4)\). ¡Coinciden, como garantiza la asociativa! Es el coste semanal en cada súper: conviene el súper 1, que sale 15 € más barato.
Un tiovivo con matrices
Un tiovivo gira alrededor del eje \(z\) con \(\vec\omega=(0,0,2)\) rad/s. Un niño está sentado en \(\vec r=(1,1,0)\) m.
a) Escribe la matriz \(\Omega\) y calcula la velocidad \(\vec v=\Omega\,\vec r\). b) Comprueba que \(\vec v\) es perpendicular a \(\vec r\) y calcula su módulo.
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Con \(\omega_x=\omega_y=0\) y \(\omega_z=2\), la matriz \(\Omega\) solo tiene dos entradas no nulas. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0.
Ver solución
b) \(\vec v\cdot\vec r=-2+2+0=0\): perpendicular, como debe ser en un giro. Además, \(|\vec v|=\sqrt{8}=2\sqrt2\approx2{,}83\) m/s, que coincide con \(\omega\cdot R=2\cdot\sqrt2\), donde \(R=\sqrt2\) m es la distancia del niño al eje.
Por qué existe el foco
Con las matrices de óptica de este post:
a) Calcula \(M=T(d)\,L(f)\) en general (con letras).
b) Demuestra que, si \(d=f\), todo rayo que entre paralelo al eje (\(\theta=0\)), a cualquier altura \(y\), sale con altura 0.
c) ¿Da lo mismo \(L(f)\,T(d)\)? ¿Qué situación física describiría?
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En b), calcula \(M\binom{y}{0}\) y fíjate en la primera componente. En c), recuerda que se lee de derecha a izquierda.
Ver solución
b) \(M\binom{y}{0}=\binom{(1-d/f)\,y}{-y/f}\). Si \(d=f\), la altura de salida es \((1-1)\,y=0\) para cualquier \(y\): todos los rayos paralelos pasan por el mismo punto del eje, el foco. Su ángulo de salida, \(-y/f\), depende de la altura: cuanto más lejos del eje entra el rayo, más se inclina.
\[L(f)\,T(d)=\begin{pmatrix}1 & d\\ -\tfrac1f & 1-\tfrac df\end{pmatrix}\neq M\]c) No da lo mismo. \(L(f)\,T(d)\) describe un rayo que primero viaja una distancia \(d\) y después atraviesa la lente: otra situación física y otro resultado. El orden importa, y es el tema del próximo post.
Girar y volver a girar
En el plano, girar un vector un ángulo \(\alpha\) en sentido antihorario es multiplicarlo por
\[R(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\]a) Calcula \(R(90^\circ)\binom{1}{0}\) e interprétalo. b) Demuestra que \(R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)\). c) Deduce que \(R(\alpha)R(\beta)=R(\beta)R(\alpha)\). ¿Contradice esto el experimento del libro que gira del post 0?
Ver pista
En b), multiplica y usa las fórmulas del coseno y del seno de una suma: \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) y \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\).
Ver solución
a) \(R(90^\circ)=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\), y \(R(90^\circ)\binom10=\binom01\): el vector que apuntaba al este pasa a apuntar al norte. Un cuarto de vuelta. ✔
b) Llamamos \(P=R(\alpha)R(\beta)\) y calculamos sus cuatro entradas, fila por columna:
\[\begin{aligned}p_{11}&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\\ p_{12}&=-\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=-\sin(\alpha+\beta)\\ p_{21}&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\\ p_{22}&=-\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)\end{aligned}\]Son exactamente las entradas de \(R(\alpha+\beta)\). ✔
c) \(R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)=R(\beta+\alpha)=R(\beta)R(\alpha)\). Los giros en el plano (todos alrededor del mismo eje) sí conmutan. No contradice el experimento del post 0, que usaba giros en el espacio alrededor de ejes distintos. Ahí el orden sí importaba. Que dos matrices concretas conmuten no significa que el producto sea conmutativo en general.
Las trampas del producto
- Multiplicar casilla a casilla. Eso no es el producto de matrices. El producto es fila por columna. (El producto casilla a casilla existe, se llama producto de Hadamard, pero es otra operación.)
- No comprobar los tamaños. Antes de calcular, aplica el dominó: columnas de la primera = filas de la segunda.
- Cambiar el orden «porque da igual». No da igual: \(AB\) y \(BA\) pueden no existir, tener distinto tamaño o ser distintas. Al aplicar la distributiva, respeta quién va delante.
- Usar la identidad equivocada. Si \(A\) es \(2\times3\), entonces \(AI_3=A\) e \(I_2A=A\), pero \(AI_2\) no existe.
- Leer las transformaciones al revés. En \(T\,L\,\vec x\), la primera que actúa es \(L\), la más cercana al vector.
Lo imprescindible del post
La regla
- \((m\times n)\cdot(n\times p)=m\times p\).
- \([AB]_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\): fila \(i\) de \(A\) por columna \(j\) de \(B\).
- \(Ax\) = mezcla de las columnas de \(A\) con «dosis» \(x_1,\dots,x_n\).
- \(DA\) escala filas y \(AD\) escala columnas (con \(D\) diagonal).
Las leyes
- Asociativa: \((AB)D=A(BD)\).
- Neutros: \(AI_n=A=I_mA\).
- \(\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)\).
- \(A(B+C)=AB+AC\) y \((B+C)D=BD+CD\).
- En general, \(AB\neq BA\).
Encadenar es multiplicar
Hoy has aprendido la operación estrella del álgebra lineal. Fila por columna no es un capricho: es la forma natural de encadenar dos relaciones, ya sean lotes → ingredientes → euros, o lente → espacio → foco. Por eso el producto es asociativo, por eso «lo de en medio» tiene que encajar, y por eso las transformaciones se leen de derecha a izquierda.
Pero el producto tiene un lado oscuro. En el próximo post veremos todo lo que no cumple: \(AB\neq BA\), productos que dan cero sin que nadie sea cero y un binomio de Newton que se rompe.
Fila por columna: así se encadena el mundo.
Siguiente: lo que el producto NO cumple →Multiplicar matrices es dejar que una transformación le pase el testigo a la siguiente.
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