Ponerte los calcetines y después los zapatos no es lo mismo que ponerte los zapatos y después los calcetines. En la vida real, el orden importa. Con los números de siempre nunca nos pasó, pero con las matrices vuelve a pasar. Y eso no es un defecto: es justo lo que las hace capaces de describir el mundo.
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Girar y luego reflejar no da lo mismo que reflejar y luego girar. Cada movimiento es una matriz, y hacer uno tras otro es multiplicarlas.
En el post anterior aprendiste a multiplicar matrices y viste que cumplen muchas leyes buenas: asociativa, distributivas, la identidad como «1». Hoy toca la otra cara: las leyes de los números que el producto de matrices rompe.
Conocerlas es imprescindible: buena parte de los errores en los exámenes de álgebra vienen de aplicar a matrices reglas que solo valen para números. Y, de paso, verás que esas «rarezas» son exactamente lo que necesita la física cuántica.
El orden importa: \(AB\neq BA\)
Con números, \(3\cdot5=5\cdot3\) siempre. Con matrices, cuando intentas dar la vuelta a un producto puede pasar cualquiera de estas cuatro cosas:
1 · \(BA\) ni siquiera existe
\(A\) de \(2\times3\) y \(B\) de \(3\times4\): \(AB\) es \(2\times4\), pero \(BA\) sería \((3\times4)(2\times3)\), y el dominó no encaja.
2 · Existen, pero son de distinto tamaño
Con una matriz fila y una columna:
\(AB\) es \(1\times1\) y \(BA\) es \(2\times2\).
3 · Mismo tamaño, distinto resultado
El caso más traicionero, porque parece que «debería» dar lo mismo:
4 · A veces, sí conmutan
Hay parejas que conmutan: \(A\) con \(I_n\), \(A\) con cualquier \(\lambda I_n\), \(A\) con sus propias potencias, dos matrices diagonales entre sí, o los giros en el plano del post 05. Pero son casos especiales, no la regla.
Dos matrices cuadradas \(A,B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\) conmutan si \(AB=BA\). Su conmutador es
\[[A,B]=AB-BA,\]que mide «cuánto falla» la conmutatividad: \(A\) y \(B\) conmutan si y solo si \([A,B]=0\).
¿Por qué el orden importa? Porque el mundo es así
Recuerda: multiplicar matrices es encadenar transformaciones. Y en el mundo real, el orden de las acciones casi siempre importa. Vuelve al experimento del libro que gira del post 0. Si \(V\) es el giro de 90° alrededor del eje vertical y \(H\) el giro de 90° alrededor del eje izquierda‑derecha, sus matrices son
y «primero \(V\), luego \(H\)» es \(HV\) (se lee de derecha a izquierda), mientras que «primero \(H\), luego \(V\)» es \(VH\):
Distintas, como comprobaste con tus manos. Los giros en el espacio alrededor de ejes distintos no conmutan, y por eso una nave espacial o un dron tienen que aplicar sus giros en un orden muy concreto.
\(AB=0\) sin que ninguna sea cero
Con números, si \(a\cdot b=0\), entonces \(a=0\) o \(b=0\). Es la regla que usas para resolver \((x-2)(x+3)=0\). Con matrices, falla:
\[\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -6\\ -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\]Dos matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula. A estas matrices se les llama divisores de cero. Hay incluso matrices no nulas cuyo cuadrado es cero, como \(N=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), con \(N^2=0\). En el post 07 las bautizaremos como nilpotentes.
La física: dos polarizadores cruzados
Un polarizador es un filtro que solo deja pasar la luz que vibra en una dirección. En óptica, su efecto sobre la luz se describe con una matriz \(2\times2\) (sus «matrices de Jones»). Para un polarizador horizontal y uno vertical:
Ninguno de los dos es la matriz nula: cada uno, por separado, deja pasar algo de luz. Pero los dos juntos, cruzados, no dejan pasar nada. Si alguna vez has girado unas gafas de sol polarizadas delante de una pantalla LCD (que emite luz polarizada) y has visto cómo se oscurece, has visto un \(AB=0\) con tus propios ojos. (Y en el ejercicio 6.6 verás algo aún más sorprendente.)
Consecuencia: no se puede «tachar»
Con números, si \(3b=3c\), tachas el 3 y concluyes \(b=c\). Con matrices, \(AB=AC\) no implica \(B=C\):
\[\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}}_{B}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 6\end{pmatrix}}_{C}\]\(A\) «borra» la segunda fila, así que no puede distinguir \(B\) de \(C\). La razón de fondo: \(AB=AC\) equivale a \(A(B-C)=0\), y como acabamos de ver, eso no obliga a que \(B-C\) sea cero. Solo se podrá «tachar» \(A\) cuando tenga inversa (post 15).
Las identidades notables se rompen
Como \(A^2=AA\) solo tiene sentido si \(A\) es cuadrada, aquí \(A\) y \(B\) son cuadradas del mismo orden. Desarrollando con la distributiva, sin cambiar el orden de nada:
\[\begin{aligned}(A+B)^2&=(A+B)(A+B)\\ &=A^2+AB+BA+B^2\end{aligned}\]Para llegar a la fórmula de siempre, \(A^2+2AB+B^2\), haría falta juntar \(AB+BA\) en \(2AB\), y eso solo se puede si \(BA=AB\). Es decir:
\[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\iff AB=BA\]Lo mismo les pasa a todas las identidades notables y a las propiedades de las potencias:
| Con números | Con matrices (en general) | ¿Cuándo vale? |
|---|---|---|
| \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \(A^2+AB+BA+B^2\) | si \(AB=BA\) |
| \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) | \(A^2-AB+BA-B^2\) | si \(AB=BA\) |
| \((ab)^2=a^2b^2\) | \(ABAB\) | si \(AB=BA\) |
| \(ab=0\Rightarrow a=0\) o \(b=0\) | falso | si \(A\) o \(B\) tienen inversa |
| \(ab=ac,\ a\neq0\Rightarrow b=c\) | falso | si \(A\) tiene inversa |
Fíjate en que la columna de la derecha solo menciona dos ideas: conmutar y tener inversa. Son exactamente las dos cosas que separan a las matrices de los números.
El conmutador: el corazón de la mecánica cuántica
En física clásica, medir la posición y después la velocidad de una pelota da lo mismo que hacerlo al revés. En mecánica cuántica, no. Las magnitudes medibles se representan con matrices (u operadores), y si no conmutan, el orden en que las mides importa: no puedes conocer las dos con precisión arbitraria a la vez.
Ese es el contenido del principio de incertidumbre de Heisenberg, y su versión matemática es un conmutador: el de la posición y el momento lineal vale \([\hat x,\hat p]=i\hbar\). En el espín pasa lo mismo: las matrices de Pauli no conmutan, y por eso no se pueden medir a la vez el espín en dos direcciones distintas (lo calcularás en el ejercicio 6.7).
Ocho ejercicios para no caer en las trampas
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Girar y reflejar, con números
En el plano, \(R=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\) gira un cuarto de vuelta y \(S=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) refleja en el eje vertical (cambia \(x\) por \(-x\)).
a) Calcula \(SR\) y \(RS\). ¿Conmutan? b) Aplica las dos al vector \(\binom{1}{0}\) e interpreta el resultado.
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«Primero girar, luego reflejar» es \(SR\): la que actúa primero va a la derecha.
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a) No conmutan: \(SR\neq RS\). Además, \(SR=-RS\).
b) \(SR\binom10=\binom01\) y \(RS\binom10=\binom{0}{-1}\). El mismo vector acaba apuntando hacia arriba o hacia abajo según el orden. \(SR\) es la reflexión en la recta \(y=x\), y \(RS\) la reflexión en la recta \(y=-x\). Es lo que muestra la letra F de la portada.
¿Qué le pasa a \(BA\)?
Para cada pareja de tamaños, di si existen \(AB\) y \(BA\) y, si existen, su tamaño. ¿En qué casos tiene sentido preguntarse si \(AB=BA\)?
a) \(A\): \(3\times2\), \(B\): \(2\times3\). b) \(A\): \(2\times5\), \(B\): \(5\times3\). c) \(A\): \(4\times4\), \(B\): \(4\times4\). d) \(A\): \(1\times3\), \(B\): \(3\times1\).
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Para que tenga sentido preguntar si \(AB=BA\), tienen que existir las dos y tener el mismo tamaño. ¿Qué exige eso?
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- a) \(AB\): \(3\times3\); \(BA\): \(2\times2\). Distinto tamaño.
- b) \(AB\): \(2\times3\); \(BA\): \((5\times3)(2\times5)\), no existe.
- c) Las dos son \(4\times4\). Solo aquí tiene sentido comparar.
- d) \(AB\): \(1\times1\) (un número); \(BA\): \(3\times3\).
Para que \(AB\) y \(BA\) existan y sean comparables, \(A\) y \(B\) tienen que ser cuadradas del mismo orden.
Cero en un sentido, no en el otro
Con \(A=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2 & -6\\ -1 & 3\end{pmatrix}\), ya sabes que \(AB=0\).
a) Calcula \(BA\). ¿Es también nula? b) ¿Qué tienen de especial las columnas de \(B\) respecto a \(A\)?
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Recuerda que la columna \(j\) de \(AB\) es \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). Si \(AB=0\), ¿qué le hace \(A\) a cada columna de \(B\)?
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a) ¡\(BA\) no es nula! \(AB=0\) no dice nada sobre \(BA\).
b) \(A\) «aniquila» cada columna de \(B\): \(A\binom{2}{-1}=\binom00\) y \(A\binom{-6}{3}=\binom00\). Esas columnas son vectores que \(A\) manda al cero. En el tema de aplicaciones lineales, ese conjunto de vectores aniquilados tendrá nombre propio: el núcleo de \(A\).
El binomio roto, con números de verdad
Sean \(A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
a) Calcula \((A+B)^2\) y \(A^2+2AB+B^2\). ¿Coinciden? b) Calcula \((A+B)(A-B)\) y \(A^2-B^2\). c) Comprueba que, en a), la diferencia es exactamente \(BA-AB\).
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Calcula primero \(A^2\), \(B^2\), \(AB\) y \(BA\). Te llevarás una sorpresa con \(A^2\) y \(B^2\).
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Piezas: \(A^2=A\), \(B^2=B\), \(AB=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), \(BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
a) No coinciden. b) \((A+B)(A-B)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), mientras que \(A^2-B^2=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}\).
c) \((A+B)^2-(A^2+2AB+B^2)=\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\), y \(BA-AB=\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\). ✔ Exactamente lo que predice la teoría: \((A+B)^2-(A^2+2AB+B^2)=BA-AB\).
¿Quién conmuta con quién?
a) Encuentra todas las matrices \(X\in\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})\) que conmutan con \(A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\).
b) Demuestra que si \(A\) conmuta con \(B\) y con \(C\), entonces \(A\) conmuta con \(B+C\) y con \(BC\).
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a) Escribe \(X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\), calcula \(AX\) y \(XA\), e iguala casilla a casilla. b) Usa la distributiva y la asociativa, moviendo \(A\) «un paso cada vez».
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a) Igualando: \(a+c=a\Rightarrow c=0\); \(b+d=a+b\Rightarrow d=a\); las otras dos se cumplen solas. Así que \(X=\begin{pmatrix}a & b\\ 0 & a\end{pmatrix}\), con \(a,b\in\mathbb{R}\) cualesquiera. Hay infinitas, pero no todas.
b) \(A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A\). Y \(A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A\). \(\blacksquare\)
La paradoja de los tres polarizadores
Ya sabes que dos polarizadores cruzados (\(P_h\) y luego \(P_v\)) no dejan pasar luz: \(P_vP_h=0\). Ahora metemos entre ellos un tercer polarizador a 45°, cuya matriz es \(P_{45}=\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
a) Calcula \(M=P_v\,P_{45}\,P_h\). ¿Es la matriz nula?
b) Aplica \(M\) a la luz polarizada horizontal \(\binom{1}{0}\). Sabiendo que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, ¿qué fracción de la intensidad sale?
c) ¿Por qué es esto tan sorprendente? ¿Qué propiedad del producto de matrices lo explica?
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Multiplica de dos en dos (la asociativa te deja elegir por dónde empezar). Recuerda que en \(P_v\,P_{45}\,P_h\) la primera que actúa es \(P_h\).
Ver solución
a) ¡No es nula!
b) \(M\binom10=\binom{0}{1/2}\): sale luz vertical con amplitud \(\tfrac12\), es decir, con \(\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14\) de la intensidad que salía del primer polarizador.
c) Añadir un filtro, algo que en principio solo «quita» luz, hace que pase luz donde antes no pasaba nada. Es contraintuitivo, pero se puede comprobar en casa con tres trozos de lámina polarizadora. La clave es que el producto no es conmutativo: no puedes reordenar \(P_vP_{45}P_h\) para juntar \(P_vP_h\) y anularlo. El orden en que la luz atraviesa los filtros lo es todo.
El álgebra del espín
Con las matrices de Pauli \(\sigma_x=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\), \(\sigma_y=\begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix}\) y \(\sigma_z=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\):
a) Calcula \(\sigma_x\sigma_y\) y \(\sigma_y\sigma_x\). b) Comprueba que \([\sigma_x,\sigma_y]=2i\,\sigma_z\). c) Calcula el anticonmutador \(\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x\).
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Multiplica con cuidado los números complejos: \(1\cdot(-i)=-i\), \(1\cdot i=i\).
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b) \([\sigma_x,\sigma_y]=i\sigma_z-(-i\sigma_z)=2i\,\sigma_z\). ✔ No conmutan: el espín en \(x\) y el espín en \(y\) no se pueden medir a la vez con precisión.
c) \(\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x=i\sigma_z-i\sigma_z=0\). Se dice que \(\sigma_x\) y \(\sigma_y\) anticonmutan: \(\sigma_y\sigma_x=-\sigma_x\sigma_y\). Estas relaciones son la base del estudio del espín en Física Cuántica.
Por qué Heisenberg no cabe en una matriz finita
Sean \(A,B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\), con \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\).
a) Demuestra que \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\), aunque \(AB\neq BA\).
b) Deduce que \(\operatorname{tr}([A,B])=0\).
c) Demuestra que no existen matrices \(A,B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\) tales que \(AB-BA=I_n\).
Ver pista
a) Escribe \(\operatorname{tr}(AB)=\sum_i[AB]_{ii}=\sum_i\sum_k a_{ik}b_{ki}\) y haz lo mismo con \(BA\). Compara las dos sumas dobles. b) Usa que la traza es lineal (post 02). c) ¿Cuánto vale \(\operatorname{tr}(I_n)\)?
Ver solución
a) Las dos sumas dobles tienen exactamente los mismos términos \(a_{ik}b_{ki}\) (los números sí conmutan), solo que sumados en otro orden. Por tanto son iguales. \(\blacksquare\)
b) \(\operatorname{tr}([A,B])=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=0\). \(\blacksquare\)
c) Si fuera \(AB-BA=I_n\), tomando trazas: \(0=\operatorname{tr}(I_n)=n\). Imposible, porque \(n\ge1\). \(\blacksquare\)
Por eso la relación de Heisenberg, \([\hat x,\hat p]=i\hbar\,I\), no puede cumplirse con matrices finitas (la traza del lado derecho sería \(i\hbar n\neq0\)). La posición y el momento de una partícula cuántica viven en un espacio de dimensión infinita.
Las trampas más caras del examen
- Desarrollar \((A+B)^2\) como \(A^2+2AB+B^2\). Lo correcto es \(A^2+AB+BA+B^2\), salvo que te digan (o demuestres) que conmutan.
- Despejar «tachando». De \(AB=AC\) no se deduce \(B=C\). De \(AX=B\) no se deduce \(X=B/A\): no existe dividir entre matrices.
- Concluir \(A=0\) o \(B=0\) de \(AB=0\). Falso en general. Y \(AB=0\) tampoco implica \(BA=0\).
- Cambiar el orden al sacar factor común. \(AB+AC=A(B+C)\) está bien, pero \(AB+CA\) no es \(A(B+C)\).
- Creer que \(A^2=0\) implica \(A=0\). \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}^2=0\).
Lo imprescindible del post
Lo que NO se cumple
- \(AB\neq BA\) en general. Conmutador: \([A,B]=AB-BA\).
- \(AB=0\not\Rightarrow A=0\) o \(B=0\). \(A^2=0\not\Rightarrow A=0\).
- \(AB=AC\not\Rightarrow B=C\).
- \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\).
Lo que SÍ se puede salvar
- Si \(AB=BA\): valen todas las identidades notables.
- Si \(A\) tiene inversa: se puede «tachar» (post 15).
- \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) siempre, y por tanto \(\operatorname{tr}([A,B])=0\).
- Siempre conmutan: \(A\) con \(\lambda I\), con \(A^k\); diagonales entre sí.
Rarezas que describen el mundo
Hoy has visto que el producto de matrices rompe tres reglas sagradas de los números: la conmutatividad, la de «si un producto es cero, algún factor es cero» y las identidades notables. Pero ninguna de esas roturas es un defecto. Los giros no conmutan, los polarizadores cruzados se anulan y el espín obedece a conmutadores. Las matrices hacen esas cosas raras porque el mundo las hace.
En el próximo post nos quedamos con las matrices cuadradas y sus potencias, y conoceremos tres familias con mucha personalidad: las idempotentes, las nilpotentes y las involutivas.
Con matrices, el orden de los factores sí altera el producto.
Siguiente: potencias y matrices con personalidad →Los números son conmutativos por casualidad. El mundo, casi nunca.
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