La sombra de una sombra es la misma sombra. Mirarte en un espejo dos veces te devuelve a ti. Y el agua que baja por una escalera acaba saliéndose por el último escalón. Tres fenómenos cotidianos, tres matrices con mucha personalidad.
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Tres comportamientos frente a la repetición: no cambiar nada al repetir, volver al principio al repetir y desaparecer al repetir.
Una vez que sabemos multiplicar matrices, podemos multiplicar una matriz por sí misma una y otra vez. Eso son las potencias. En física, las potencias aparecen cada vez que un proceso se repite: un paso de tiempo tras otro, un rayo de luz rebotando entre espejos o una generación de conejos tras otra.
Y cuando una matriz se repite, puede mostrar personalidades muy marcadas. Hoy conocerás las tres más famosas y aprenderás un truco muy potente para calcular \(A^{100}\) sin hacer cien multiplicaciones.
Potencias de una matriz cuadrada
Sea \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\). Para cada entero \(k\ge1\), la potencia \(k\)-ésima de \(A\) es el producto de \(A\) por sí misma \(k\) veces: \(A^k=A\cdot A\cdots A\). Por convenio, \(A^0=I_n\).
Solo tiene sentido para matrices cuadradas: para multiplicar \(A\cdot A\), el dominó exige que las columnas de \(A\) coincidan con sus filas.
Como una matriz siempre conmuta consigo misma, las potencias de una misma matriz se portan como las de los números:
\[A^kA^l=A^{k+l}\qquad\qquad (A^k)^l=A^{kl}\]Pero, como vimos en el post anterior, \((AB)^k\neq A^kB^k\) en general: \((AB)^2=ABAB\), y no se puede reordenar a \(AABB\) salvo que \(A\) y \(B\) conmuten.
Las diagonales: potencias gratis
Para las matrices diagonales, elevar a una potencia es facilísimo: se eleva cada elemento de la diagonal.
\[\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)^k=\operatorname{diag}(d_1^{\,k},\dots,d_n^{\,k})\]Esto, que parece una curiosidad, es una de las ideas más poderosas del álgebra lineal. Más adelante en la asignatura aprenderás a «diagonalizar» matrices, es decir, a mirarlas desde un punto de vista en el que se vuelven diagonales, precisamente para poder calcular sus potencias así de fácil. En física eso permite, por ejemplo, ver cómo evoluciona un sistema tras miles de pasos de tiempo.
Idempotentes, involutivas y nilpotentes
Sea \(A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\). Decimos que \(A\) es:
- idempotente si \(A^2=A\);
- involutiva si \(A^2=I_n\);
- nilpotente si existe un entero \(k>0\) tal que \(A^k=0\). El menor de esos \(k\) se llama índice de nilpotencia.
Idempotente
\(P^2=P\)«Hacerlo dos veces es como hacerlo una.»
\[P=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\]Es una proyección: se queda con la componente \(x\) y borra la \(y\). Proyectar algo ya proyectado no cambia nada, como la sombra de una sombra. Por eso \(P^k=P\) para todo \(k\ge1\).
Física: un polarizador ideal (la luz que ya lo ha atravesado lo vuelve a atravesar sin pérdidas) y los «proyectores» de la medida en mecánica cuántica.
Involutiva
\(S^2=I_n\)«Hacerlo dos veces es no hacer nada.»
\[S=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\]Es una reflexión (en la recta \(y=x\)): reflejar dos veces te devuelve al original. Sus potencias van alternando: \(S,\ I,\ S,\ I,\dots\) Es su propia «deshacedora».
Física: espejos, la inversión de paridad \(\vec r\mapsto-\vec r\) (que en matriz es \(-I_3\)) y las tres matrices de Pauli: \(\sigma_x^2=\sigma_y^2=\sigma_z^2=I_2\).
Nilpotente
\(N^k=0\)«Repítelo suficiente y no queda nada.»
\[N=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\]\(N\neq0\), pero \(N^2=0\) (índice 2). Empuja cada componente un escalón: la segunda pasa a ser la primera y la primera «se cae». Tras dos pasos, no queda nada.
Física: el operador «escalera» del espín de un electrón, \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) (salvo una constante): sube el espín, pero no se puede subir dos veces porque solo hay dos estados.
La cascada: por qué las triangulares estrictas son nilpotentes
En el post 02 prometimos que las matrices estrictamente triangulares (triangulares con ceros también en la diagonal) acaban siendo nulas si las multiplicas suficientes veces. Mira la matriz de «desplazamiento» de orden 4 actuando sobre un vector:
\[S=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]Como una cadena de personas pasándose cubos de agua en la que el primero vacía el suyo en el suelo: en cada paso todo sube un puesto y lo del primero se pierde. Tras 4 pasos no queda nada: \(S^4=0\). En general, cada multiplicación por una matriz estrictamente triangular «empuja» los números no nulos una diagonal más lejos, y tras \(n\) pasos se salen de la matriz. Por eso toda matriz estrictamente triangular de orden \(n\) cumple \(N^n=0\).
Calcular \(A^{100}\) sin morir en el intento
En el post 06 vimos que las identidades notables fallan con matrices… salvo que conmuten. Y cuando conmutan, se puede usar el binomio de Newton completo:
Si \(A,B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})\) cumplen \(AB=BA\), entonces para todo \(m\ge1\):
\[(A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}A^{k}B^{m-k}\]El truco consiste en partir la matriz en dos trozos que conmuten: uno escalar, \(\lambda I\) (que conmuta con todo), y otro nilpotente, \(N\) (cuyas potencias se anulan pronto). Así la suma del binomio se corta tras unos pocos términos.
Calcula \(A^n\) para \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}\).
Comprobación con \(n=5\): \(A^5=\begin{pmatrix}32 & 80\\ 0 & 32\end{pmatrix}\), y en efecto \(5\cdot2^4=80\). ✔ ¡Y \(A^{100}\) ya no da miedo!
Los girasoles y la matriz de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…) se construye sumando los dos términos anteriores: \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\). Aparece con frecuencia en la naturaleza: el número de espirales de las semillas de un girasol o de las escamas de una piña suele ser un par de números de Fibonacci consecutivos.
Lo sorprendente es que esa regla de «sumar los dos anteriores» es una multiplicación de matrices:
\[\begin{pmatrix}F_{n+1}\\ F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_n\\ F_{n-1}\end{pmatrix}\]Así que avanzar \(n\) pasos en la sucesión es elevar a \(n\) la matriz \(M=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\). De hecho, las potencias de \(M\) contienen la sucesión entera:
(Con \(F_0=0\) y \(F_1=F_2=1\).) Lo demostrarás en el ejercicio 7.8. Y más adelante, al diagonalizar \(M\), saldrá una fórmula directa para \(F_n\) en la que aparece el número áureo.
Ocho ejercicios con mucha personalidad
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Una potencia con sorpresa
Calcula \(A^2\) y \(A^3\) para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}\). ¿Cuánto vale \(A^{2025}\)?
Ver pista
Calcula \(A^2\) con cuidado. Si te sale algo muy especial, \(A^3=A^2A\) es inmediato. Después piensa en si 2025 es par o impar.
Ver solución
\(A^2=\begin{pmatrix}1 & 2-2\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2\): ¡\(A\) es involutiva! Entonces \(A^3=A^2A=A\).
Las potencias alternan: \(A^{\text{par}}=I_2\) y \(A^{\text{impar}}=A\). Como 2025 es impar, \(A^{2025}=A\).
Moraleja: antes de lanzarte a calcular una potencia enorme, calcula las primeras y busca un patrón.
Descubre la personalidad
Clasifica cada matriz como idempotente, involutiva, nilpotente o ninguna.
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Calcula el cuadrado de cada una y compáralo con la propia matriz, con \(I_2\) y con \(0\).
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- \(P^2=\tfrac14\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}=P\): idempotente. Es la proyección sobre la recta \(y=x\) (y la matriz del polarizador a 45° del post 06).
- \(K^2=\begin{pmatrix}4-4 & -2+2\\ 8-8 & -4+4\end{pmatrix}=0\): nilpotente de índice 2, aunque no tenga ni un cero.
- \(J^2=I_2\): involutiva. Es la reflexión en el eje vertical.
- \(T^2=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\): ni \(T\), ni \(I\), ni \(0\). En general, \(T^n=\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}\), que nunca es nula. Ninguna.
Potencias de una diagonal
Sea \(D=\operatorname{diag}\left(2,-1,\tfrac12\right)\). Calcula \(D^5\) y \(D^{100}\). ¿Qué le pasa a cada entrada cuando la potencia crece mucho?
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Eleva cada entrada de la diagonal por separado.
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La primera entrada crece sin límite (\(|2|>1\)), la segunda alterna entre \(-1\) y \(1\) (\(|-1|=1\)), y la tercera tiende a 0 (\(|\tfrac12|<1\)). En física, esto distingue los modos de un sistema que crecen, que oscilan o que se amortiguan con el tiempo.
Ver la cascada en acción
Calcula \(N^2\) y \(N^3\) para \(N=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\). ¿Cuál es su índice de nilpotencia? Observa en qué diagonal están los números no nulos en cada potencia.
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\(N^3=N^2N\). Fíjate en cómo los números se van «alejando» de la diagonal.
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Índice de nilpotencia: 3. En \(N\) los números están en la superdiagonal y por encima; en \(N^2\), solo en la esquina \((1,3)\), dos diagonales por encima; en \(N^3\), «se han caído» de la matriz. Es la cascada en acción, y confirma que una estrictamente triangular de orden 3 cumple \(N^3=0\).
El truco del binomio
Calcula \(A^n\) para todo \(n\ge1\), con \(A=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}\). Comprueba tu fórmula con \(n=2\).
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Escribe \(A=3I+N\) con \(N\) nilpotente. ¿Por qué se puede usar el binomio de Newton?
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\(A=3I+N\), con \(N=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) y \(N^2=0\). Como \(3I\) conmuta con \(N\):
\[A^n=3^nI+n\,3^{n-1}N=\begin{pmatrix}3^n & n\,3^{n-1}\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}\]Con \(n=2\): \(\begin{pmatrix}9 & 6\\ 0 & 9\end{pmatrix}\). Y multiplicando directamente, \(A^2=\begin{pmatrix}9 & 3+3\\ 0 & 9\end{pmatrix}\). ✔
Familias que se convierten unas en otras
a) Si \(P\) es idempotente, demuestra que \(I-P\) también lo es y que \(P(I-P)=0\).
b) Si \(S\) es involutiva, demuestra que \(\tfrac12(I+S)\) es idempotente.
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Desarrolla los cuadrados con la distributiva. Puedes usar las identidades notables porque \(I\) conmuta con todo.
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a) \((I-P)^2=I-2P+P^2=I-2P+P=I-P\). ✔ Y \(P(I-P)=P-P^2=P-P=0\). ✔ Interpretación: si \(P\) proyecta sobre una dirección, \(I-P\) proyecta sobre «lo que queda». Proyectar sobre una y luego sobre la otra no deja nada, como los polarizadores cruzados.
b) \(\left(\tfrac12(I+S)\right)^2=\tfrac14(I+2S+S^2)=\tfrac14(2I+2S)=\tfrac12(I+S)\). ✔ Cada reflexión «esconde» una proyección: la que se queda con lo que el espejo no cambia. \(\blacksquare\)
Un polarizador a cualquier ángulo
Un polarizador cuyo eje forma un ángulo \(\theta\) con la horizontal tiene la matriz
\[P_\theta=\begin{pmatrix}\cos^2\theta & \cos\theta\sin\theta\\ \cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta\end{pmatrix}\]a) Demuestra que \(P_\theta\) es idempotente para cualquier \(\theta\). ¿Qué significa físicamente?
b) Demuestra que \(P_\theta\,P_{\theta+90^\circ}=0\). ¿Qué significa físicamente?
c) Comprueba que \(P_{0^\circ}=P_h\) y \(P_{45^\circ}\) son las matrices que usamos en el post 06.
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Abrevia \(c=\cos\theta\), \(s=\sin\theta\) y usa \(c^2+s^2=1\). Para b), \(\cos(\theta+90^\circ)=-\sin\theta\) y \(\sin(\theta+90^\circ)=\cos\theta\).
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a) Con \(c=\cos\theta\) y \(s=\sin\theta\):
\[\begin{aligned}P_\theta^2&=\begin{pmatrix}c^4+c^2s^2 & c^3s+cs^3\\ c^3s+cs^3 & c^2s^2+s^4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}c^2(c^2+s^2) & cs(c^2+s^2)\\ cs(c^2+s^2) & s^2(c^2+s^2)\end{pmatrix}=P_\theta\end{aligned}\]Físicamente: la luz que ya ha atravesado un polarizador lo vuelve a atravesar entera. Un segundo filtro idéntico no hace nada.
b) \(P_{\theta+90^\circ}=\begin{pmatrix}s^2 & -cs\\ -cs & c^2\end{pmatrix}\), y al multiplicar, cada entrada de \(P_\theta P_{\theta+90^\circ}\) es la resta de dos términos iguales: por ejemplo, la \((1,1)\) es \(c^2s^2-c^2s^2=0\) y la \((1,2)\) es \(-c^3s+c^3s=0\). El producto es la matriz nula. Físicamente: dos polarizadores cruzados, a cualquier ángulo, no dejan pasar luz.
c) \(\theta=0\): \(c=1\), \(s=0\), y sale \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=P_h\). ✔ \(\theta=45^\circ\): \(c=s=\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(c^2=cs=s^2=\tfrac12\), y sale \(\tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\). ✔
La matriz de Fibonacci
Sea \(M=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\) y \(F_0=0\), \(F_1=1\), \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\).
a) Demuestra por inducción que \(M^n=\begin{pmatrix}F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}\) para todo \(n\ge1\).
b) Usando que \(M^{n+m}=M^nM^m\), deduce la fórmula \(F_{n+m}=F_{n+1}F_m+F_nF_{m-1}\).
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a) Caso base \(n=1\). Paso inductivo: \(M^{n+1}=M^nM\). Multiplica y usa la regla de Fibonacci. b) Mira la entrada \((1,2)\) de los dos lados.
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a) Para \(n=1\): \(\begin{pmatrix}F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=M\). ✔ Si es cierto para \(n\):
\[\begin{aligned}M^{n+1}&=\begin{pmatrix}F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}F_{n+1}+F_n & F_{n+1}\\ F_n+F_{n-1} & F_n\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n\end{pmatrix}\end{aligned}\]que es la fórmula para \(n+1\). \(\blacksquare\)
b) La entrada \((1,2)\) de \(M^{n+m}\) es \(F_{n+m}\). La de \(M^nM^m\) es (fila 1 de \(M^n\)) por (columna 2 de \(M^m\)) \(=F_{n+1}F_m+F_nF_{m-1}\). Como \(M^{n+m}=M^nM^m\), son iguales. \(\blacksquare\) Por ejemplo, con \(n=m=5\): \(F_{10}=F_6F_5+F_5F_4=8\cdot5+5\cdot3=55\). ✔
Las trampas de las potencias
- Elevar casilla a casilla. \(A^2\) es \(A\cdot A\) (fila por columna), no elevar al cuadrado cada entrada. Solo con matrices diagonales coincide.
- Calcular potencias de matrices no cuadradas. No existen.
- Usar el binomio sin comprobar que conmutan. El truco \(A=\lambda I+N\) funciona porque \(\lambda I\) conmuta con todo. Con dos matrices cualesquiera, primero hay que comprobarlo.
- Pensar que una nilpotente tiene que tener ceros. \(\begin{pmatrix}2 & -1\\ 4 & -2\end{pmatrix}\) no tiene ninguno, y su cuadrado es nulo.
- Confundir involutiva con idempotente. Involutiva: \(A^2=I\) (vuelve al inicio). Idempotente: \(A^2=A\) (se queda igual).
Lo imprescindible del post
Potencias
- Solo para cuadradas. \(A^0=I_n\), \(A^kA^l=A^{k+l}\), \((A^k)^l=A^{kl}\).
- \(\operatorname{diag}(d_i)^k=\operatorname{diag}(d_i^{\,k})\).
- Si \(AB=BA\): \((A+B)^m=\sum_k\binom mk A^kB^{m-k}\).
- Truco: \(A=\lambda I+N\) con \(N\) nilpotente.
Personalidades
- Idempotente: \(A^2=A\) (proyecciones).
- Involutiva: \(A^2=I\) (reflexiones, Pauli).
- Nilpotente: \(A^k=0\) para algún \(k\) (estrictamente triangulares: \(N^n=0\)).
- \(P\) idempotente \(\Rightarrow I-P\) idempotente. \(S\) involutiva \(\Rightarrow\tfrac12(I+S)\) idempotente.
Repetir para conocer
Una buena forma de conocer a alguien es ver qué hace cuando repite algo. Con las matrices pasa igual: las proyecciones no cambian al repetirse, las reflexiones vuelven al principio y las nilpotentes se apagan. Y con el truco del binomio ya sabes calcular potencias enormes sin hacer cientos de multiplicaciones.
En el próximo post cerramos el bloque de operaciones con dos herramientas muy prácticas: trabajar con matrices por bloques y la regla para trasponer un producto, que es la de «los calcetines y los zapatos».
Dime qué haces cuando te repites y te diré quién eres.
Siguiente: bloques y traspuesta del producto →La sombra de una sombra, el reflejo de un reflejo, el agua que se sale del último escalón: el álgebra estaba ahí antes de que la escribiéramos.
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