Una cuerda de guitarra sin nadie que la toque está en silencio. Eso es seguro: si no hay ninguna fuerza externa, «quedarse quieta» siempre es una posibilidad. La pregunta interesante es otra: ¿puede la cuerda hacer algo más que estar quieta, aun sin que nadie la empuje? Un sistema homogéneo es exactamente eso: un sistema sin «fuerza externa», con todos los términos independientes iguales a cero. El silencio siempre es solución. Lo que queremos saber es si algo más puede sonar.
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En un sistema homogéneo todas las ecuaciones pasan por el origen, así que \((0,0)\) es solución siempre. Si las rectas son distintas, se cortan solo ahí: solo la solución trivial. Si las dos ecuaciones son la misma recta (la segunda es el doble de la primera), toda la recta es solución.
En el post anterior vimos que el teorema de Rouché–Frobenius discute cualquier sistema comparando dos rangos. Hoy lo aplicamos al caso en que \(B=0\). Verás que la discusión se simplifica mucho, pero que las soluciones esconden una estructura preciosa: se pueden sumar y multiplicar por números sin dejar de ser soluciones. Esa idea es la puerta de entrada a los espacios vectoriales, y además explica la forma de las soluciones de cualquier sistema.
Un sistema con todo a cero a la derecha
Un sistema lineal \(AX=B\) es homogéneo si \(B=0\), es decir, si todos sus términos independientes son cero:
\[\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ \quad\vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0\end{cases}\]La solución \(x_1=\cdots=x_n=0\) se llama solución trivial. Cualquier otra se llama no trivial.
Que la trivial funcione no tiene ningún misterio: si todas las incógnitas valen cero, cada ecuación dice \(0=0\). Por eso un sistema homogéneo nunca es incompatible. Con rangos se ve igual de rápido: añadir a \(A\) una columna de ceros no cambia el rango, así que \(\operatorname{rg}(A\,|\,0)=\operatorname{rg}(A)\) y Rouché–Frobenius dice «compatible».
Así que la única duda es cuántas soluciones tiene. Como siempre, lo decide comparar el rango con el número de incógnitas:
rg A = n
Solo la trivial
Compatible determinado. La única solución es \(X=0\). Las «direcciones» de las columnas son todas independientes y no hay forma de combinarlas para dar cero salvo con todos los coeficientes nulos.
rg A = r < n
Infinitas no triviales
Compatible indeterminado con \(n-r\) parámetros. Alguna columna depende de las demás, y esa dependencia es justo una solución no trivial.
Lectura por columnas. \(AX=x_1A_1+\cdots+x_nA_n\). Así que una solución no trivial de \(AX=0\) es una forma de combinar las columnas de \(A\), con coeficientes no todos nulos, para obtener el vector cero. Eso es, palabra por palabra, decir que las columnas son linealmente dependientes (Tema 1, post 14). Tener solo la trivial es lo mismo que tener columnas independientes.
Cuándo hay soluciones no triviales sin hacer cuentas
- Menos ecuaciones que incógnitas (\(m<n\)): como \(r\le m<n\), siempre hay soluciones no triviales. Dos ecuaciones homogéneas con tres incógnitas son dos planos por el origen: o se cortan en una recta, o son el mismo plano. Nunca se quedan en un solo punto.
- Sistemas cuadrados (\(m=n\)): \(\operatorname{rg}(A)=n\) si y solo si \(\det A\neq0\). Por tanto: \[\begin{aligned}&AX=0\ \text{tiene soluciones no triviales}\\ &\iff\ \det A=0.\end{aligned}\]
- Relación con la inversa: si \(A\) es invertible y \(AX=0\), multiplicando por \(A^{-1}\) queda \(X=A^{-1}0=0\). Así que una matriz invertible solo admite la trivial. Al revés, si existe \(X\neq0\) con \(AX=0\), \(A\) no puede ser invertible. Es la misma idea que los divisores de cero del Tema 1: \(A\) multiplicada por algo no nulo da cero.
Resuelve \(\begin{cases}x-y+2z=0\\ 2x+y+z=0\\ 3x+3z=0\end{cases}\)
Las soluciones forman una recta que pasa por el origen: todos los múltiplos de un vector. Con \(t=0\) sale la trivial.
Las soluciones se pueden sumar
Aquí está lo verdaderamente especial de los homogéneos. Si \(X_1\) y \(X_2\) son soluciones de \(AX=0\) y \(\lambda\) es un número, entonces:
\[\begin{aligned}A(X_1+X_2)&=AX_1+AX_2=0+0=0,\\ A(\lambda X_1)&=\lambda\,AX_1=\lambda\cdot0=0.\end{aligned}\]Es decir, la suma de dos soluciones es solución, y cualquier múltiplo de una solución es solución. Solo hemos usado la propiedad distributiva del producto de matrices (Tema 1). En dibujo:
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Si las soluciones forman un plano por el origen, sumar dos de ellas (la diagonal del paralelogramo) o estirarlas, aunque sea dándoles la vuelta, nunca te saca del plano. Un conjunto con esta propiedad es lo que más adelante en la asignatura llamaremos un subespacio vectorial.
- Al conjunto de soluciones de \(AX=0\) se le llama núcleo de \(A\) (o espacio de soluciones del sistema).
- Cuando \(r<n\), la solución general se escribe como combinación de \(n-r\) soluciones concretas, una por parámetro: \(X=t_1V_1+\cdots+t_{n-r}V_{n-r}\). Esos \(n-r\) vectores son independientes y todas las soluciones salen de ellos. Cuando estudiemos espacios vectoriales diremos que forman una base del núcleo y que su dimensión es \(n-r\).
Ojo: esto solo vale con \(B=0\). Si \(AX_1=B\) y \(AX_2=B\) con \(B\neq0\), entonces \(A(X_1+X_2)=2B\neq B\). Las soluciones de un sistema no homogéneo no se pueden sumar. De hecho, \(X=0\) ni siquiera es solución.
La pieza que faltaba: particular más homogénea
En el post 03 anunciamos que las soluciones de un sistema compatible indeterminado tienen siempre la forma «una solución concreta más algo». Ya podemos demostrarlo. Sea \(X_p\) una solución cualquiera de \(AX=B\) (una solución particular). Entonces:
- Si \(X_h\) es solución del homogéneo \(AX=0\), entonces \(A(X_p+X_h)=B+0=B\). Así que \(X_p+X_h\) también resuelve \(AX=B\).
- Al revés: si \(X\) es otra solución de \(AX=B\), entonces \(A(X-X_p)=B-B=0\). Así que \(X-X_p\) es solución del homogéneo.
Si \(AX=B\) es compatible y \(X_p\) es una solución particular, todas sus soluciones son \[\begin{gathered}X=X_p+X_h,\\ X_h\ \text{solución cualquiera de}\ AX=0.\end{gathered}\]
Geométricamente: las soluciones de \(AX=B\) son las de \(AX=0\) trasladadas por \(X_p\). Una recta o un plano paralelo al núcleo, pero que ya no pasa por el origen. Y de aquí sale una consecuencia rápida: si \(AX=0\) solo tiene la trivial, \(AX=B\) tiene como mucho una solución (ejercicio 07.5).
Escribe las soluciones de \(\begin{cases}x-y+2z=1\\ 2x+y+z=2\\ 3x+3z=3\end{cases}\) como particular más homogénea.
Es la recta del ejemplo 1 desplazada para que pase por \((1,0,0)\). Si hubieras encontrado otra particular, por ejemplo \((0,1,1)\) (con \(t=1\)), la descripción cambiaría de aspecto pero sería la misma recta.
Cuando no hay «fuerza externa»
- QuímicaAjustar reaccionesConservar cada tipo de átomo da una ecuación con término independiente cero. Ajustar la reacción es buscar una solución no trivial con números naturales (ejemplo 3 y ejercicio 07.6).
- Análisis dimensionalGrupos adimensionalesBuscar qué combinación de magnitudes no tiene unidades es resolver un homogéneo en los exponentes. Es la base del teorema π de Buckingham: el número de grupos adimensionales independientes es \(n-r\) (ejemplo 4).
- CircuitosSin fuentes no hay corrienteUn circuito de resistencias sin pilas da un sistema homogéneo para las corrientes. Si su matriz tiene determinante no nulo, la única solución es la trivial: todas las corrientes son cero, como dice la intuición.
- EstructurasTensión sin cargaHay estructuras que pueden tener sus barras o cables en tensión sin ninguna carga externa (autotensión o pretensado). Son las soluciones no triviales del equilibrio homogéneo (ejercicio 07.8).
- VibracionesModos normalesLas frecuencias propias de un sistema de masas y muelles aparecen al pedir que un sistema homogéneo cuadrado, cuya matriz depende de la frecuencia, tenga soluciones no triviales, es decir, que su determinante sea cero. Es la cuerda que «suena» sin fuerza externa del principio. Lo verás con detalle más adelante, con los valores propios.
Ajusta la combustión del etanol: \(x\,\mathrm{C_2H_6O}+y\,\mathrm{O_2}\to z\,\mathrm{CO_2}+w\,\mathrm{H_2O}\).
Que la solución tenga un parámetro es la forma algebraica de decir que una reacción ajustada se puede multiplicar entera por cualquier número. Lo que la química fija son las proporciones.
¿De qué puede depender el periodo de un péndulo?
Supón que el periodo \(T\) de un péndulo simple solo depende de su longitud \(L\), de la masa \(m\) y de la gravedad \(g\). Buscamos exponentes tales que \(T^a L^b m^c g^d\) no tenga unidades.
El análisis dimensional no da el valor de la constante. Resolviendo la dinámica para oscilaciones pequeñas se obtiene \(T=2\pi\sqrt{L/g}\). Pero haber llegado tan lejos solo con un sistema homogéneo es una pasada.
Ocho ejercicios con todo a cero
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Solo la trivial?
Decide, sin resolver, si cada sistema homogéneo \(AX=0\) tiene soluciones no triviales:
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En las cuadradas, calcula el determinante. En la que no es cuadrada, cuenta ecuaciones e incógnitas.
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- a) \(\det=9+16=25\neq0\): solo la trivial. Son las dos rectas de la izquierda del dibujo inicial.
- b) \(\det=24-24=0\): hay no triviales. La segunda fila es el doble de la primera. Soluciones: \(t(4,-3)\).
- c) \(\det=1\cdot(0-24)-2\cdot(0-20)+3\cdot(0-5)=-24+40-15=1\neq0\): solo la trivial.
- d) \(\det=0\) porque \(f_2=2f_1\): hay no triviales. Por ejemplo, \((-1,-1,1)\): \(-1-2+3=0\) ✔, \(-1+0+1=0\) ✔.
- e) 2 ecuaciones y 3 incógnitas: siempre hay no triviales, sin calcular nada.
Una recta de soluciones
Resuelve \(\begin{cases}2x-y=0\\ x+y+z=0\\ 3x+z=0\end{cases}\) y da una solución no trivial con números enteros.
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Fíjate en si alguna ecuación es suma de otras. Después, despeja \(y\) y \(z\) en función de \(x\).
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La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, así que \(\operatorname{rg}(A)=2\) (las dos primeras no son proporcionales) y hay \(3-2=1\) parámetro.
Con \(x=t\): de la primera, \(y=2t\). De la tercera, \(z=-3t\). La segunda se cumple: \(t+2t-3t=0\) ✔.
\(X=t(1,2,-3)\). Con \(t=1\): \((1,2,-3)\).
Dos parámetros
Resuelve el sistema homogéneo y escribe la solución como combinación de vectores concretos:
\[\begin{cases}x+2y-z+3w=0\\ 2x+4y+z=0\\ x+2y+2z-3w=0\end{cases}\]Ver pista
Escalona: con \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\) aparecen dos filas iguales. ¿Cuántos pivotes quedan? Las columnas sin pivote son los parámetros.
Ver solución
Con \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\), las dos filas quedan \((0\ \ 0\ \ 3\ \ {-6})\). Restándolas, la tercera se anula. Hay 2 pivotes (en \(x\) y en \(z\)): \(r=2\), \(4-2=2\) parámetros, \(y=s\) y \(w=t\).
De \(3z-6w=0\): \(z=2t\). De la primera: \(x=-2y+z-3w=-2s+2t-3t=-2s-t\).
\[X=s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb R.\]Comprobación del segundo vector en las tres ecuaciones: \(-1+0-2+3=0\) ✔, \(-2+0+2=0\) ✔, \(-1+0+4-3=0\) ✔. (El primero las cumple porque \(-2+2=0\) en la primera y \(-4+4=0\) en las otras dos.)
¿Para qué valores de \(k\) suena algo?
Discute según \(k\) el sistema homogéneo \(\begin{cases}kx+y+z=0\\ x+ky+z=0\\ x+y+kz=0\end{cases}\) y resuélvelo cuando tenga soluciones no triviales.
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Para el determinante, suma las tres filas en la primera: todos sus elementos valen \(k+2\). Saca ese factor y resta.
Ver solución
Con \(f_1\to f_1+f_2+f_3\) la primera fila es \((k+2)(1,1,1)\). Sacando el factor y restando la primera fila a las otras dos queda una triangular de diagonal \(1,\ k-1,\ k-1\):
\[\det A=(k+2)(k-1)^2.\]- \(k\neq1\) y \(k\neq-2\): \(\det A\neq0\), solo la trivial.
- \(k=-2\): \(\operatorname{rg}(A)=2\) (por ejemplo, \(\begin{vmatrix}-2 & 1\\ 1 & -2\end{vmatrix}=3\neq0\)). Un parámetro. Como cada fila suma \(-2+1+1=0\), la solución es \(X=t(1,1,1)\).
- \(k=1\): las tres ecuaciones son \(x+y+z=0\). \(\operatorname{rg}(A)=1\), dos parámetros: \(X=s(-1,1,0)+t(-1,0,1)\).
Lo que el homogéneo dice del completo
Sea \(A\) una matriz \(m\times n\). Demuestra: a) Si \(X_1,X_2\) son soluciones de \(AX=0\), también lo es \(\alpha X_1+\beta X_2\) para cualesquiera \(\alpha,\beta\). b) Si \(AX=0\) solo tiene la solución trivial, entonces \(AX=B\) tiene como mucho una solución, para cualquier \(B\). c) ¿Puede, aun así, no tener ninguna?
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b) Si \(X\) e \(Y\) resuelven \(AX=B\), ¿qué sistema resuelve \(X-Y\)? c) Piensa en más ecuaciones que incógnitas.
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a) \(A(\alpha X_1+\beta X_2)=\alpha AX_1+\beta AX_2=\alpha\cdot0+\beta\cdot0=0\). \(\blacksquare\)
b) Si \(AX=B\) y \(AY=B\), entonces \(A(X-Y)=B-B=0\). Como el homogéneo solo tiene la trivial, \(X-Y=0\), es decir, \(X=Y\). \(\blacksquare\)
c) Sí. Por ejemplo, \(\begin{cases}x=0\\ x=1\end{cases}\): su homogéneo (\(x=0\), \(x=0\)) solo tiene la trivial, pero el sistema es incompatible. «Solo la trivial» garantiza unicidad, no existencia. La existencia la decide comparar \(\operatorname{rg}(A)\) con \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\).
Ajustar con un sistema
Plantea un sistema homogéneo y ajusta: a) \(a\,\mathrm{Fe}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{Fe_2O_3}\). b) \(a\,\mathrm{KMnO_4}+b\,\mathrm{HCl}\to c\,\mathrm{KCl}+d\,\mathrm{MnCl_2}+e\,\mathrm{Cl_2}+f\,\mathrm{H_2O}\).
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b) Hay 5 elementos (K, Mn, O, H, Cl) y 6 incógnitas. Pon \(a=t\) y despeja todo en función de \(t\). Al final, elige \(t\) para que no queden fracciones.
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a) Fe: \(a=2c\). O: \(2b=3c\). Con \(c=t\): \(a=2t\), \(b=\tfrac32t\). Con \(t=2\): \(4\,\mathrm{Fe}+3\,\mathrm{O_2}\to2\,\mathrm{Fe_2O_3}\).
b) Las ecuaciones son:
\[\begin{aligned}\text{K:}&\quad a=c &\qquad \text{Mn:}&\quad a=d\\ \text{O:}&\quad 4a=f &\qquad \text{H:}&\quad b=2f\\ \text{Cl:}&\quad b=c+2d+2e\end{aligned}\]Con \(a=t\): \(c=d=t\), \(f=4t\), \(b=8t\), y \(2e=8t-t-2t=5t\), así que \(e=\tfrac52t\). El rango es 5 y hay \(6-5=1\) parámetro. Con \(t=2\):
\[\begin{aligned}&2\,\mathrm{KMnO_4}+16\,\mathrm{HCl}\to\\ &\quad 2\,\mathrm{KCl}+2\,\mathrm{MnCl_2}+5\,\mathrm{Cl_2}+8\,\mathrm{H_2O}.\end{aligned}\]Comprobación del cloro: \(16=2+4+10\) ✔. Oxígeno: \(8=8\) ✔. Hidrógeno: \(16=16\) ✔.
Una matriz que se anula al cuadrado
Sea \(A\) una matriz cuadrada \(n\times n\) con \(A\neq0\) y \(A^2=0\). a) Da un ejemplo con \(n=2\). b) Demuestra que \(AX=0\) tiene soluciones no triviales, y encuentra una a partir de la propia \(A\). c) Deduce que \(\det A=0\) y compruébalo también de otra forma.
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b) La columna \(j\) de \(A^2=A\cdot A\) es \(A\) por la columna \(j\) de \(A\). c) Recuerda que \(\det(AB)=\det A\det B\).
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a) \(A=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\): \(A^2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\).
b) Como \(A\neq0\), alguna columna \(A_j\) no es nula. La columna \(j\) de \(A^2\) es \(A\cdot A_j\), y vale cero porque \(A^2=0\). Así que \(X=A_j\neq0\) cumple \(AX=0\). \(\blacksquare\) (En el ejemplo, \(A_2=(1,0)\): \(A(1,0)^t=(0,0)^t\) ✔.)
c) Un sistema cuadrado con no triviales tiene \(\det A=0\). Otra forma: \((\det A)^2=\det(A^2)=\det 0=0\), así que \(\det A=0\). Es un ejemplo de divisor de cero: \(A\) multiplicada por la matriz no nula \(A\) da cero.
Un nudo tenso sin ninguna carga
Un nudo, sin peso apreciable, está unido a tres cuerdas que tiran de él en direcciones separadas 120°, con vectores unitarios \(u_1=(1,0)\), \(u_2=\left(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)\) y \(u_3=\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)\). No hay ninguna fuerza externa. Las tensiones \(T_1,T_2,T_3\ge0\) deben cumplir \(T_1u_1+T_2u_2+T_3u_3=0\).
a) Plantea el sistema y discútelo. b) Resuélvelo e interpreta el resultado. c) ¿Y si solo hubiera dos cuerdas, \(u_1\) y \(u_2\)?
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Una ecuación por componente: dos ecuaciones, tres incógnitas. ¿Qué dice el atajo de \(m<n\)?
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a) Componentes \(x\) e \(y\):
\[\begin{cases}T_1-\tfrac12T_2-\tfrac12T_3=0\\[2pt] \tfrac{\sqrt3}{2}T_2-\tfrac{\sqrt3}{2}T_3=0\end{cases}\]Homogéneo con 2 ecuaciones y 3 incógnitas: seguro que hay no triviales. Las dos filas no son proporcionales, así que \(r=2\) y hay \(3-2=1\) parámetro.
b) De la segunda, \(T_2=T_3\). En la primera, \(T_1=\tfrac12(T_2+T_3)=T_2\). Así que \(T_1=T_2=T_3=t\), con \(t\ge0\). El nudo puede estar en equilibrio con las tres cuerdas igual de tensas, y esa tensión puede ser cualquiera. Es un estado de autotensión: la estática no fija \(t\). Lo fija cómo de tirantes se dejaron las cuerdas al montarlas.
c) Con dos cuerdas, \(T_1u_1+T_2u_2=0\) es un homogéneo \(2\times2\) con \(\det\begin{pmatrix}1 & -\tfrac12\\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}=\tfrac{\sqrt3}{2}\neq0\). Solo la trivial: \(T_1=T_2=0\). Dos cuerdas que no están alineadas no pueden mantener tenso un nudo sin una fuerza externa.
Las trampas de los homogéneos
- Decir que un homogéneo es incompatible. Nunca lo es: \(X=0\) siempre funciona. La pregunta es si es determinado o indeterminado.
- Responder «no tiene solución» cuando solo tiene la trivial. Tener solo \(X=0\) es tener una solución, y el sistema es compatible determinado.
- Buscar el determinante en sistemas no cuadrados. El criterio general es \(\operatorname{rg}(A)<n\). El determinante solo sirve cuando \(m=n\).
- Contar los parámetros como ecuaciones menos rango. Son incógnitas menos rango: \(n-r\).
- Sumar soluciones de un sistema no homogéneo. Solo las soluciones de \(AX=0\) se pueden sumar. Con \(B\neq0\), la suma de dos soluciones resuelve \(AX=2B\).
- En química, quedarse con cualquier solución. El sistema da toda una recta. Hay que elegir el múltiplo con coeficientes naturales y lo más pequeños posible.
Lo imprescindible del post
Discusión de \(AX=0\)
- Siempre compatible: \(X=0\) es solución.
- \(\operatorname{rg}A=n\): solo la trivial.
- \(\operatorname{rg}A=r<n\): infinitas, \(n-r\) parámetros.
- \(m<n\): siempre hay no triviales.
- Cuadrado: no triviales \(\iff\det A=0\).
Estructura
- Suma y múltiplos de soluciones son soluciones.
- Solución general: \(t_1V_1+\cdots+t_{n-r}V_{n-r}\).
- Soluciones de \(AX=B\): \(X_p+X_h\).
- Solo la trivial \(\Rightarrow\) \(AX=B\) tiene como mucho una solución.
- No trivial \(\iff\) columnas de \(A\) dependientes.
El silencio siempre es posible
Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial. Lo que importa es si tiene más, y eso lo decide el rango: si \(\operatorname{rg}(A)<n\), hay infinitas, y forman un conjunto que se puede sumar y estirar sin salir de él. Además, ese conjunto es la «forma» de las soluciones de cualquier sistema con la misma matriz: basta trasladarlo con una solución particular.
En el próximo post nos metemos de lleno con lo que más cae en los exámenes: discutir sistemas que dependen de uno o dos parámetros, y elegir entre Gauss y determinantes según convenga.
Si \(\operatorname{rg}(A)<n\), además del silencio, algo suena.
Siguiente: discutir sistemas con parámetros →Como la cuerda de guitarra: quedarse quieta siempre es posible; lo interesante es descubrir qué más puede hacer.
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