Un pintor tiene en su paleta azul y amarillo. Mezclándolos puede conseguir muchos verdes, pero ningún rojo: el rojo es una «dirección» nueva que sus colores no contienen. Si le pides un color, la pregunta clave es: ¿añade algo que la paleta no tenga? Si no añade nada, se puede mezclar. Si añade algo nuevo, es imposible. Eso es, palabra por palabra, el teorema de Rouché–Frobenius.
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Un sistema \(AX=B\) pregunta si \(B\) se puede fabricar mezclando las columnas de \(A\). Si al añadir \(B\) a las columnas el rango no cambia, \(B\) no aporta nada nuevo y hay solución. Si el rango sube, es imposible. Y el número de soluciones depende de si las columnas de \(A\) son todas independientes.
En el Bloque B aprendimos a discutir un sistema escalonándolo y contando pivotes. Hoy damos un paso más: ese recuento de pivotes no es más que un cálculo de rangos, y eso permite discutir cualquier sistema sin escalonarlo, con las herramientas del Tema 1 (escalonar, determinantes o menores, lo que sea más cómodo). Es el gran resultado del tema.
Discutir es comparar dos rangos
Sea \(AX=B\) un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas. Entonces:
rg A < rg(A|B)
Incompatible
\(B\) aporta algo que las columnas de \(A\) no tienen.
rg A = rg(A|B) = n
Compatible determinado
\(B\) se puede fabricar, y de una sola manera.
rg A = rg(A|B) = r < n
Compatible indeterminado
Se puede fabricar de infinitas maneras, con \(n-r\) parámetros.
Por qué. Escalonamos la ampliada \((A\,|\,B)\) con operaciones de filas. Las operaciones de filas no cambian el rango (Tema 1, post 13), y la parte izquierda de la escalonada es a la vez una escalonada de \(A\). Así que:
- \(\operatorname{rg}(A)\) es el número de pivotes en las columnas de \(A\).
- \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) es el número total de pivotes, contando el de la columna de \(B\) si lo hay.
Por tanto, «hay pivote en la columna de \(B\)» es lo mismo que «\(\operatorname{rg}(A\,|\,B)=\operatorname{rg}(A)+1\)», y «no lo hay» es lo mismo que «\(\operatorname{rg}(A\,|\,B)=\operatorname{rg}(A)\)». Con esto, el teorema es exactamente la discusión de sistemas escalonados del post 04, escrita con rangos. \(\blacksquare\)
De paso hemos visto algo útil: \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) solo puede valer \(\operatorname{rg}(A)\) o \(\operatorname{rg}(A)+1\). Añadir una columna sube el rango como mucho en una unidad.
La lectura por columnas
Como \(AX=x_1A_1+\cdots+x_nA_n\) (post 01), resolver el sistema es buscar coeficientes que fabriquen \(B\) con las columnas \(A_1,\dots,A_n\). El rango de un conjunto de columnas mide cuántas «direcciones independientes» contienen (Tema 1, post 14). Así que:
- \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)=\operatorname{rg}(A)\): \(B\) no aporta ninguna dirección nueva, es combinación de las columnas, y hay solución.
- \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)>\operatorname{rg}(A)\): \(B\) apunta en una dirección que las columnas no alcanzan. No hay solución.
- Si hay solución, es única cuando las \(n\) columnas son independientes (\(r=n\)): solo hay una forma de mezclarlas. Si alguna columna depende de las demás (\(r<n\)), hay infinitas mezclas posibles.
Un nombre, cuatro países. En España y gran parte de Latinoamérica el teorema lleva los nombres del francés Eugène Rouché (1832‑1910) y del alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849‑1917). En Italia se llama de Rouché–Capelli, en Rusia y buena parte del este de Europa de Kronecker–Capelli, y en Francia de Rouché–Fontené. Si consultas bibliografía en otros idiomas, búscalo con esos nombres.
Lo que se deduce sin hacer cuentas
- Más incógnitas que ecuaciones (\(m<n\)): como \(r\le m<n\), el sistema nunca es SCD. O es SI, o es SCI.
- Si \(\operatorname{rg}(A)=m\) (tantas filas independientes como ecuaciones): como \((A\,|\,B)\) también tiene \(m\) filas, su rango no puede pasar de \(m\). Así que el sistema es compatible para cualquier \(B\).
- Sistemas homogéneos: añadir una columna de ceros no cambia el rango, así que siempre son compatibles (post 07).
- Sistemas cuadrados (\(m=n\)): si \(\det A\neq0\), entonces \(\operatorname{rg}(A)=n\), y como \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\le n\), los dos rangos valen \(n\). Es SCD para cualquier \(B\). Lo desarrollaremos en el post 09.
Dos formas de calcular los rangos
El teorema no dice cómo calcular los rangos. Valen todas las herramientas del Tema 1:
- Escalonando \((A\,|\,B)\): se obtienen los dos rangos a la vez. Es lo más eficiente con números, y además deja el sistema listo para resolver.
- Con determinantes y menores (Tema 1, post 21): se calcula \(\operatorname{rg}(A)\) con un menor no nulo, y después se mira si orlándolo con la columna \(B\) aparece un menor no nulo de orden mayor. Brilla con parámetros (post 08).
Discute \(\begin{cases}x-y+2z=1\\ 2x+y+z=2\\ 3x+3z=c\end{cases}\) para \(c=4\) y para \(c=3\).
Hemos discutido sin resolver nada. Tiene sentido: la tercera ecuación tiene el lado izquierdo de la suma de las dos primeras, así que es compatible solo si su término independiente también es la suma, \(1+2=3\).
¿Se puede conseguir con lo que tengo?
- EstáticaSujetar una cargaUnos cables solo pueden sujetar una carga si el peso es combinación de sus direcciones. Si todos los cables son paralelos y la carga no, es imposible (ejercicio 06.8).
- ColorQué colores se pueden conseguirVolviendo a los focos del post 01: un color es alcanzable si su vector es combinación de los de los focos. Con dos focos solo se alcanzan los colores de un «plano» de mezclas.
- LaboratorioMedidas redundantesCon más medidas que incógnitas, \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) suele salir mayor que \(\operatorname{rg}(A)\) por culpa de los errores de medida. Rouché dice que no hay solución exacta, y entonces se busca la que mejor se ajusta.
Ocho ejercicios para discutir sin resolver
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Solo con los rangos
Discute cada sistema con los datos dados: a) 3 ecuaciones, 3 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=2\), \(\operatorname{rg}(A|B)=3\). b) 4 ecuaciones, 3 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=3\). c) 2 ecuaciones, 5 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=2\). d) 3 ecuaciones, 4 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=1\), \(\operatorname{rg}(A|B)=1\).
Ver pista
Compara los dos rangos y, si coinciden, compáralos con el número de incógnitas.
Ver solución
a) SI. b) SCD (aunque haya 4 ecuaciones: una sobra). c) SCI con 3 parámetros. d) SCI con 3 parámetros: solo hay una ecuación «de verdad».
Imposibles
¿Cuáles de estas situaciones son imposibles? a) \(\operatorname{rg}A=2\), \(\operatorname{rg}(A|B)=4\). b) \(\operatorname{rg}A=3\), \(\operatorname{rg}(A|B)=2\). c) Un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas que es SCD. d) Un sistema homogéneo incompatible.
Ver pista
¿Cuánto puede subir el rango al añadir una columna? ¿Puede bajar?
Ver solución
Las cuatro son imposibles. a) Añadir una columna sube el rango como mucho en 1. b) Añadir una columna no puede bajar el rango. c) \(r\le2<3\): nunca puede ser SCD. d) Añadir una columna de ceros no cambia el rango.
Discutir con un determinante
Discute, sin resolverlo, el sistema \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ x+3y+6z=4\end{cases}\).
Ver pista
Calcula \(\det A\). Si no es cero, ya está.
Ver solución
\(\det A=1(12-9)-1(6-3)+1(3-2)=3-3+1=1\neq0\). Así que \(\operatorname{rg}A=3\), y como \(\operatorname{rg}(A|B)\le3\) (solo hay 3 filas), los dos rangos valen 3, que es el número de incógnitas: SCD.
¿Es combinación de las columnas?
¿Para qué valor de \(b\) es \(B=(1,b,3)^t\) combinación de las columnas \(A_1=(1,2,1)^t\) y \(A_2=(2,3,1)^t\)? Para ese valor, encuentra los coeficientes.
Ver pista
\(\operatorname{rg}(A_1\ A_2)=2\). Hace falta que \(\operatorname{rg}(A_1\ A_2\ B)\) también sea 2, es decir, que el determinante \(3\times3\) sea 0.
Ver solución
\(\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & b\\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}=b-4\). Tiene que ser 0: \(b=4\).
Coeficientes: \(x+2y=1\) y \(2x+3y=4\). De la primera, \(x=1-2y\); sustituyendo, \(2-y=4\), así que \(y=-2\) y \(x=5\). Comprobación con la tercera componente: \(5-2=3\) ✔. Por tanto, \(B=5A_1-2A_2\).
El rango sube como mucho uno
Demuestra, para cualquier matriz \(A\) de tamaño \(m\times n\) y cualquier columna \(B\), que \(\operatorname{rg}(A)\le\operatorname{rg}(A\,|\,B)\le\operatorname{rg}(A)+1\).
Ver pista
Usa que el rango es también el máximo número de columnas independientes (Tema 1, post 14).
Ver solución
El rango es el máximo número de columnas independientes. Cualquier conjunto de columnas independientes de \(A\) sigue siéndolo dentro de \((A\,|\,B)\), así que \(\operatorname{rg}(A)\le\operatorname{rg}(A\,|\,B)\).
Por otro lado, un conjunto de columnas independientes de \((A\,|\,B)\) contiene, como mucho, una columna que no es de \(A\) (la \(B\)). Quitándola, quedan columnas independientes de \(A\), así que su tamaño es como mucho \(\operatorname{rg}(A)+1\). \(\blacksquare\)
Compatible pase lo que pase
Sea \(A\) una matriz \(4\times6\) con \(\operatorname{rg}(A)=4\). a) Demuestra que \(AX=B\) es compatible para cualquier \(B\). b) ¿Cuántos parámetros tiene la solución? c) ¿Ocurre lo mismo si \(A\) es \(6\times4\) con rango 4?
Ver pista
¿Cuál es el rango máximo de una matriz con 4 filas?
Ver solución
a) \((A\,|\,B)\) tiene 4 filas, así que su rango es como mucho 4. Y es al menos \(\operatorname{rg}(A)=4\). Los dos rangos valen 4: compatible. \(\blacksquare\)
b) \(n-r=6-4=2\) parámetros. Es siempre SCI.
c) No. Con 6 filas, \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) puede valer 5, y entonces es SI. Si es compatible, entonces es SCD (\(r=4=n\)). En ese caso hay «demasiadas ecuaciones», y solo algunos \(B\) son alcanzables.
Discutir y resolver con parámetro
Discute según \(a\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+ay+z=1\\ x+y+az=2\end{cases}\).
Ver pista
\(\det A\) se anula en un solo valor. Estudia ese caso aparte, calculando los dos rangos.
Ver solución
\(\det A=(a-1)^2\) (con \(f_2\to f_2-f_1\) y \(f_3\to f_3-f_1\) queda triangular con diagonal \(1,\ a-1,\ a-1\)).
- \(a\neq1\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=3\). SCD. Restando ecuaciones: \((a-1)y=0\), así que \(y=0\); y \((a-1)z=1\), así que \(z=\frac{1}{a-1}\). Por último, \(x=1-z=\frac{a-2}{a-1}\).
- \(a=1\): las tres filas de \(A\) son \((1\ \ 1\ \ 1)\), así que \(\operatorname{rg}A=1\). En la ampliada, las filas son \((1\ 1\ 1\,|\,1)\), \((1\ 1\ 1\,|\,1)\) y \((1\ 1\ 1\,|\,2)\), y su rango es 2. Como \(1<2\): SI.
Comprobación con \(a=2\): \((0,0,1)\). Primera: \(1=1\) ✔. Segunda: \(0+0+1=1\) ✔. Tercera: \(0+0+2=2\) ✔.
¿Pueden dos cables sujetar una lámpara?
Una lámpara de \(100\ \mathrm{N}\) cuelga de dos cables. Para que esté en equilibrio, las tensiones \(T_1,T_2\) deben cumplir \(T_1u_1+T_2u_2=(0,100)\), donde \(u_1,u_2\) son vectores unitarios en la dirección de cada cable (hacia los anclajes).
Estudia con Rouché–Frobenius los tres casos y resuelve cuando se pueda: a) \(u_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)\) y \(u_2=\tfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)\) (cables a 45° a cada lado). b) Los dos cables en la misma dirección \(\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)\) (anclados en el mismo lado). c) Los dos cables verticales, \(u_1=u_2=(0,1)\).
Ver pista
Las columnas de \(A\) son \(u_1\) y \(u_2\). En cada caso, compara \(\operatorname{rg}(u_1\ u_2)\) con \(\operatorname{rg}(u_1\ u_2\ B)\).
Ver solución
a) Las columnas no son paralelas: \(\operatorname{rg}A=2=\operatorname{rg}(A|B)=n\). SCD. Las ecuaciones son \(\tfrac{1}{\sqrt2}(T_1-T_2)=0\) y \(\tfrac{1}{\sqrt2}(T_1+T_2)=100\), así que \(T_1=T_2=\tfrac{100}{\sqrt2}=50\sqrt2\approx70{,}7\ \mathrm{N}\).
b) Columnas iguales: \(\operatorname{rg}A=1\). Pero \(B=(0,100)\) no es paralelo a \((1,1)\), así que \(\operatorname{rg}(A|B)=2\). SI: es imposible que la lámpara esté en equilibrio. Los cables tirarían de ella hacia un lado.
c) \(\operatorname{rg}A=1\) y \(B=(0,100)\) es paralelo a \((0,1)\), así que \(\operatorname{rg}(A|B)=1\). SCI con 1 parámetro: \(T_1+T_2=100\). Cualquier reparto vale para el equilibrio. El reparto real depende de cómo se estiren los cables: es otro ejemplo de sistema hiperestático, como la viga del post 03.
Las trampas de Rouché
- Comparar el rango con el número de ecuaciones. Para decidir entre SCD y SCI, el rango se compara con el número de incógnitas, \(n\).
- Calcular solo \(\operatorname{rg}(A)\). Sin \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) no se sabe si el sistema es compatible.
- Creer que \(\det A=0\) implica incompatible. Solo implica que no es SCD: puede ser SI o SCI (ejemplo de este post).
- Calcular \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) con un solo menor nulo. Para bajar el rango hacen falta todos los menores (o todos los orlados) nulos.
- Contar los parámetros como «ecuaciones menos rango». Son incógnitas menos rango: \(n-r\).
Lo imprescindible del post
El teorema
- \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}(A|B)\): SI.
- \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=n\): SCD.
- \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=r<n\): SCI con \(n-r\) parámetros.
- Compatible \(\iff B\) es combinación de las columnas de \(A\).
Consecuencias
- \(\operatorname{rg}(A|B)\in\{\operatorname{rg}A,\ \operatorname{rg}A+1\}\).
- \(m<n\): nunca SCD.
- \(\operatorname{rg}A=m\): compatible para todo \(B\).
- Cuadrado con \(\det A\neq0\): SCD para todo \(B\).
- Homogéneo: siempre compatible.
Dos rangos lo deciden todo
El teorema de Rouché–Frobenius resume todo lo que sabemos: un sistema tiene solución si \(B\) no aporta nada nuevo a las columnas de \(A\), y la solución es única si esas columnas son todas independientes. Para discutir basta comparar \(\operatorname{rg}(A)\), \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) y \(n\).
En el próximo post lo aplicamos al caso más agradecido: los sistemas homogéneos, que siempre tienen solución. La pregunta interesante es cuándo tienen alguna además de la trivial.
¿Aporta \(B\) algo nuevo? Si no, hay solución.
Siguiente: sistemas homogéneos →Como el pintor con su paleta: los verdes salen mezclando, pero el rojo no aparece por mucho que remuevas.
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