El método de Gauss (y Gauss‑Jordan) para sistemas
Un buscador de oro mete la arena del río en una batea y la va agitando. En cada vuelta se va el material ligero y queda menos. Al final, en el fondo, solo queda lo que buscaba. El método de Gauss hace lo mismo con un sistema: en cada paso se «lava» una incógnita de las ecuaciones de abajo, hasta que la última ecuación queda casi limpia. Entonces la respuesta aparece sola.
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El método completo en un esquema. Un solo procedimiento sirve para cualquier sistema, sea cual sea su tamaño: escalonar, discutir mirando los pivotes y, si es compatible, resolver de abajo arriba.
Ya tenemos todas las piezas. Del Tema 1, el algoritmo para escalonar una matriz. Del post 02, la garantía de que escalonar la ampliada no cambia las soluciones. Del post 04, cómo discutir y resolver un sistema escalonado. Hoy las montamos en un único método, el más importante del tema y el que más vas a usar: el método de Gauss para resolver sistemas lineales.
El método de Gauss, completo
- Escribe la matriz ampliada \((A\,|\,B)\), con las incógnitas en un orden fijo.
- Escalónala con operaciones elementales de filas, siempre sobre la fila completa (incluida la parte de \(B\)).
- Discute el sistema escalonado: si hay un pivote en la columna de \(B\), es SI. Si no, con \(r\) pivotes y \(n\) incógnitas, es SCD si \(r=n\) y SCI si \(r<n\).
- Resuelve si es compatible: las libres son parámetros y las principales se despejan de abajo arriba.
- Comprueba la solución en el sistema original.
Por qué funciona. El paso 2 produce un sistema equivalente (post 02), y los pasos 3 y 4 discuten y resuelven correctamente ese sistema escalonado (post 04). Como los dos sistemas tienen las mismas soluciones, lo que obtenemos es la discusión y la solución del original.
Resuelve \(\begin{cases}x+2y+z=3\\ 2x+y-z=0\\ x-y+2z=9\end{cases}\).
(x, y, z) = (2, −1, 3) Comprobación en el original: \(2-2+3=3\) ✔, \(4-1-3=0\) ✔, \(2+1+6=9\) ✔.
Resuelve \(\begin{cases}x-y+2z+w=3\\ 2x-2y+5z+4w=8\\ x-y+3z+3w=5\end{cases}\).
Comprobación con \(\lambda=\mu=0\), es decir, \((-1,0,2,0)\): \(-1+4=3\) ✔, \(-2+10=8\) ✔, \(-1+6=5\) ✔.
Discute \(\begin{cases}x+y+z=2\\ x+2y-z=3\\ 2x+3y=4\end{cases}\).
Con \(f_2\to f_2-f_1\) y \(f_3\to f_3-2f_1\), las filas quedan \((0\ \ 1\ \ {-2}\,|\,1)\) y \((0\ \ 1\ \ {-2}\,|\,0)\). Con \(f_3\to f_3-f_2\):
\[\sim_f\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)\]La última fila dice \(0=-1\): SI. Geométricamente, ningún par de planos es paralelo, pero la tercera ecuación tiene el mismo lado izquierdo que la suma de las dos primeras con distinto término independiente (\(4\neq5\)): es un prisma (post 03). En cuanto aparece una fila así, se para: no hay nada que resolver.
Gauss‑Jordan: escalonar del todo y leer
Si en lugar de parar en la escalonada seguimos hasta la escalonada reducida (Tema 1, post 11), con pivotes iguales a 1 y ceros también encima de ellos, la solución se lee sin sustituir. En el ejemplo 1, continuando desde la escalonada:
\[\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)\\ &\xrightarrow[f_1\to f_1-f_3]{f_2\to f_2-f_3}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)\\ &\xrightarrow{f_1\to f_1-2f_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)\end{aligned}\](antes hemos hecho \(f_3\to\tfrac14f_3\)). La última columna es directamente la solución: \((2,-1,3)\). Cuando el sistema es SCD y cuadrado, la reducida siempre es \((I\,|\,X)\): es la misma idea que \((A\,|\,I)\to(I\,|\,A^{-1})\) del Tema 1, post 16.
| Gauss | Gauss‑Jordan | |
|---|---|---|
| Escalonar | Solo ceros debajo de los pivotes | Ceros debajo y encima, pivotes a 1 |
| Al final | Sustitución regresiva | Lectura directa |
| Operaciones | Menos (es el que usan los ordenadores) | Algunas más |
| Cuándo conviene | Casi siempre a mano y en el ordenador | SCI con muchos parámetros, o cuando quieres la forma de Hermite |
Trucos para escalonar a mano sin sufrir
- Busca un 1 de pivote. Si alguna ecuación empieza por 1 (o por \(-1\)), súbela arriba con un intercambio. Evitas fracciones desde el principio.
- Simplifica filas en cuanto puedas: si una fila es \((0\ \ 3\ \ 6\,|\,9)\), divídela entre 3.
- Haz varias operaciones a la vez solo si usan la misma fila pivote sin modificarla (Tema 1, post 12).
- Para en cuanto veas \(0=b\neq0\): el sistema es incompatible y no hay nada más que hacer.
- Varios términos independientes a la vez. Si tienes que resolver \(AX=B_1\) y \(AX=B_2\), escalona \((A\,|\,B_1\ B_2)\) de una sola vez: las operaciones dependen solo de \(A\) (ejercicio 05.4).
Cómo lo hace un ordenador. Con números decimales, dividir entre pivotes muy pequeños amplifica los errores de redondeo. Por eso los programas de cálculo eligen como pivote, en cada columna, el elemento de mayor valor absoluto, e intercambian filas para ponerlo arriba. Se llama pivoteo parcial. A mano, con números enteros, lo que interesa es justo lo contrario: pivotes pequeños y cómodos, como el 1.
Gauss en acción
- CircuitosCorrientes en una redKirchhoff da el sistema y Gauss lo resuelve. Si una corriente sale negativa, simplemente circula en sentido contrario al supuesto (ejercicio 05.8).
- FlujosRedes de tráfico o de tuberíasLa conservación en cada nudo da sistemas SCI: el reparto interior no queda fijado, pero los parámetros tienen límites físicos (ejercicio 05.7).
- SimulaciónProblemas enormesEn simulaciones de calor, estructuras o fluidos aparecen sistemas con millones de incógnitas. Se resuelven con variantes de este mismo método (como la factorización LU del Bloque E) o con métodos iterativos.
Ocho ejercicios para dominar Gauss
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Un SCD clásico
Resuelve por Gauss \(\begin{cases}2x-y+z=3\\ x+y+2z=9\\ 3x-2y-z=-4\end{cases}\).
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Empieza con \(f_1\leftrightarrow f_2\) para tener un 1 de pivote.
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Con \(f_1\leftrightarrow f_2\), y después \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-3f_1\), las filas quedan \((0\ \ {-3}\ \ {-3}\,|\,{-15})\) y \((0\ \ {-5}\ \ {-7}\,|\,{-31})\). Dividiendo la segunda entre \(-3\): \((0\ \ 1\ \ 1\,|\,5)\). Con \(f_3\to f_3+5f_2\): \((0\ \ 0\ \ {-2}\,|\,{-6})\).
\(z=3\), \(y=5-3=2\) y \(x=9-y-2z=1\). (1, 2, 3) Comprobación: \(2-2+3=3\) ✔, \(1+2+6=9\) ✔, \(3-4-3=-4\) ✔.
Cambiar un solo número
Discute y resuelve \(\begin{cases}x+2y-z=1\\ 2x+3y+z=4\\ 3x+5y=b\end{cases}\) para \(b=5\) y para \(b=6\).
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Escalona con \(b\) como letra. Fíjate en la relación entre la tercera ecuación y las dos primeras.
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Con \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-3f_1\): \((0\ \ {-1}\ \ 3\,|\,2)\) y \((0\ \ {-1}\ \ 3\,|\,b-3)\). Con \(f_3\to f_3-f_2\): \((0\ \ 0\ \ 0\,|\,b-5)\).
\(b=6\): \(0=1\), SI.
\(b=5\): SCI. Con \(z=t\): \(-y+3t=2\), así que \(y=-2+3t\), y \(x=1-2y+z=5-5t\). Solución: \((5-5t,\ -2+3t,\ t)\). Comprobación con \(t=0\), \((5,-2,0)\): \(5-4=1\) ✔, \(10-6=4\) ✔, \(15-10=5\) ✔.
Gauss‑Jordan con dos parámetros
Lleva a la forma escalonada reducida y resuelve: \(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+x_4=2\\ 2x_1+4x_2-x_3+3x_4=7\\ -x_1-2x_2+2x_3=1\end{cases}\).
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Tras el primer paso, las dos filas de abajo serán proporcionales.
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Con \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3+f_1\): \((0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\,|\,3)\) dos veces. Con \(f_3\to f_3-f_2\), la tercera se anula. Con \(f_1\to f_1+f_2\):
\[\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 0 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\]Libres: \(x_2=\lambda\), \(x_4=\mu\). Se lee: \(x_1=5-2\lambda-2\mu\) y \(x_3=3-\mu\). Comprobación con \((5,0,3,0)\): \(5-3=2\) ✔, \(10-3=7\) ✔, \(-5+6=1\) ✔.
Dos sistemas por el precio de uno
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}\). Resuelve a la vez \(AX=B_1\) y \(AX=B_2\), con \(B_1=(3,6,10)^t\) y \(B_2=(1,0,0)^t\), escalonando \((A\,|\,B_1\ B_2)\). ¿Qué es la segunda solución?
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Las operaciones se aplican a las dos columnas de la derecha a la vez. Para la última pregunta, recuerda el Tema 1, post 16.
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\(f_2\to f_2-f_1\) y \(f_3\to f_3-f_1\); después \(f_3\to f_3-2f_2\):
\[\left(\begin{array}{ccc|cc}1 & 1 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\]Con \(B_1\): \(z=1\), \(y=3-2=1\), \(x=3-1-1=1\). Así que \(X_1=(1,1,1)\).
Con \(B_2\): \(z=1\), \(y=-1-2=-3\), \(x=1+3-1=3\). Así que \(X_2=(3,-3,1)\).
\(X_2\) es la solución de \(AX=e_1\): la primera columna de \(A^{-1}\). Si pusieras las tres columnas de \(I\) a la derecha, obtendrías \(A^{-1}\) entera: es el método del Tema 1, post 16.
Un 4×4 que se escalona solo
Resuelve \(\begin{cases}x+y+z+w=4\\ x+2y+z+w=5\\ x+y+3z+w=8\\ x+y+z+4w=7\end{cases}\).
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Resta la primera fila a cada una de las otras.
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Con \(f_i\to f_i-f_1\) para \(i=2,3,4\): \(y=1\), \(2z=4\) y \(3w=3\). Así que \(y=1\), \(z=2\), \(w=1\), y de la primera, \(x=4-1-2-1=0\).
(0, 1, 2, 1) Comprobación: \(0+2+2+1=5\) ✔, \(0+1+6+1=8\) ✔, \(0+1+2+4=7\) ✔.
La reducida de un SCD cuadrado
Sea \(AX=B\) un sistema de \(n\) ecuaciones con \(n\) incógnitas que es SCD, con solución \(X_0\). Demuestra que la forma de Hermite por filas de \((A\,|\,B)\) es \((I_n\,|\,X_0)\).
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¿Cuántos pivotes tiene la escalonada de \(A\)? ¿Cómo es la única escalonada reducida \(n\times n\) con \(n\) pivotes? ¿Qué sistema representa \((I_n\,|\,C)\)?
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Como es SCD, al escalonar hay \(n\) pivotes en \(A\) y ninguno en \(B\). La escalonada reducida de \(A\), con \(n\) pivotes en una matriz \(n\times n\), es \(I_n\) (Tema 1, post 13). Así que \(H_f(A\,|\,B)=(I_n\,|\,C)\) para cierta columna \(C\).
El sistema \((I_n\,|\,C)\) dice \(X=C\), y es equivalente al original, cuya única solución es \(X_0\). Por tanto \(C=X_0\). \(\blacksquare\)
Tráfico alrededor de una manzana
Cuatro cruces rodean una manzana. Las calles interiores son de sentido único, con flujos \(x_1,\dots,x_4\) (coches por hora). En cada cruce, los coches que entran son iguales a los que salen.
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a) Plantea una ecuación por cruce y resuelve el sistema. b) ¿Por qué una de las ecuaciones sobra? c) Como las calles son de sentido único, todos los flujos deben ser \(\ge0\). ¿Qué valores del parámetro son posibles? d) Si se cierra por obras la calle \(D\to A\), ¿cuánto tráfico pasa por las demás?
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En A entran \(500+x_4\) y salen \(x_1+300\). Toma \(x_4=t\) como parámetro.
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a) A: \(500+x_4=x_1+300\). B: \(x_1+200=x_2+400\). C: \(x_2+300=x_3+200\). D: \(x_3+100=x_4+200\). Ordenando:
\[\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 0 & -1 & 200\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 200\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -100\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 100\end{array}\right)\]Escalonando (\(f_2\to f_2-f_1\), y después \(f_3\to f_3+f_2\) y \(f_4\to f_4+f_3\)), la última fila queda \(0=0\): SCI con un parámetro. Con \(x_4=t\): \(x_1=200+t\), \(x_2=t\) y \(x_3=100+t\).
b) Lo que entra en total desde fuera (\(500+200+300+100=1100\)) es igual a lo que sale (\(300+400+200+200=1100\)). Por eso la suma de las cuatro ecuaciones es \(0=0\), y cualquiera de ellas se deduce de las otras tres.
c) \(t\ge0\) basta para que los cuatro flujos sean \(\ge0\). El parámetro \(t\) es el tráfico que «da vueltas» a la manzana: no lo fijan las entradas y salidas.
d) \(x_4=t=0\): \(x_1=200\), \(x_2=0\) y \(x_3=100\) coches por hora. Es el reparto mínimo.
Dos pilas que se pelean
En el circuito de la figura, una pila de \(10\ \mathrm{V}\) con una resistencia de \(2\ \Omega\) y otra de \(5\ \mathrm{V}\) con una de \(1\ \Omega\) están conectadas en paralelo a través de una resistencia central de \(4\ \Omega\).
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a) Plantea la ley de los nudos en N y las de las dos mallas, con los sentidos de la figura. b) Resuelve por Gauss. c) Interpreta el signo de \(I_2\).
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Nudo: \(I_1+I_2=I_3\). Malla izquierda: \(10=2I_1+4I_3\). Malla derecha: \(5=1\cdot I_2+4I_3\).
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Con \(f_2\to-\tfrac12f_2\): \((0\ \ 1\ \ {-3}\,|\,{-5})\). Con \(f_3\to f_3-f_2\): \((0\ \ 0\ \ 7\,|\,10)\).
b) \(I_3=\tfrac{10}{7}\ \mathrm{A}\), \(I_2=-5+3I_3=-\tfrac57\ \mathrm{A}\) e \(I_1=I_3-I_2=\tfrac{15}{7}\ \mathrm{A}\). Comprobación: \(2\cdot\tfrac{15}{7}+4\cdot\tfrac{10}{7}=\tfrac{70}{7}=10\) ✔ y \(-\tfrac57+\tfrac{40}{7}=5\) ✔.
c) \(I_2<0\): la corriente por la rama derecha va hacia abajo, al revés de lo supuesto. Entra en la pila de 5 V por su polo positivo: la pila de 10 V la está cargando. En los circuitos se eligen los sentidos al azar, y el signo de la solución dice cuál es el real.
Las trampas de Gauss
- Olvidar aplicar la operación a la columna de \(B\). Cada operación es sobre la fila entera de la ampliada.
- Seguir resolviendo tras un \(0=b\neq0\). El sistema es incompatible: cualquier «solución» que calcules después es falsa.
- Escalonar \(A\) y olvidarse de \(B\) al discutir. La discusión depende de si hay pivote en la columna de \(B\).
- Comprobar en un sistema intermedio. Si te equivocaste al escalonar, el intermedio también está mal. Comprueba en el original.
- Concluir SCD porque hay tantas ecuaciones como incógnitas. Lo que manda es el número de pivotes.
Lo imprescindible del post
Gauss en cinco pasos
- 1. \((A\,|\,B)\). 2. Escalonar por filas.
- 3. Discutir: pivote en \(B\) es SI; \(r=n\) es SCD; \(r<n\) es SCI.
- 4. Resolver de abajo arriba. 5. Comprobar en el original.
Extras
- Gauss‑Jordan: reducida y lectura directa. SCD cuadrado: \((I\,|\,X)\).
- Varios \(B\) a la vez: \((A\,|\,B_1\ B_2\ \cdots)\).
- A mano, pivotes cómodos (1). En el ordenador, pivoteo parcial.
Un método para todos los sistemas
El método de Gauss resuelve cualquier sistema lineal, de cualquier tamaño: escalonar, discutir y resolver. Con él cerramos el Bloque B. A partir de aquí ya sabes resolver; lo que viene es entender a fondo por qué sale cada caso, y cómo saberlo sin resolver.
En el próximo post llega el gran resultado del tema, el teorema de Rouché–Frobenius: todo lo que hemos visto, resumido en una comparación de dos rangos.
Escalona, mira los pivotes, sube peldaño a peldaño.
Siguiente: el teorema de Rouché–Frobenius →Como el buscador de oro con su batea: vuelta a vuelta se va lo que sobra, y al final solo queda la respuesta.
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