Un detective reúne pistas. Si son pocas, hay muchos sospechosos. Si son suficientes y no se contradicen, solo queda un culpable. Y si dos pistas se contradicen, alguien miente y no hay culpable posible. Un sistema de ecuaciones funciona igual: cada ecuación es una pista sobre las incógnitas. Este es el mapa del Tema 2, el tema en el que aprenderás a interrogar a esas pistas.
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Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta del plano y resolver el sistema es buscar los puntos comunes. Solo hay tres posibilidades: una solución, ninguna o infinitas. Nunca exactamente dos.
Bienvenido o bienvenida al Tema 2 de Álgebra: sistemas de ecuaciones lineales, del primer curso del grado en Física. Si vienes del Tema 1, estás de enhorabuena: casi todas las herramientas que necesitas ya las tienes. El método de Gauss, el rango, la inversa y el determinante fueron, en el fondo, una larga preparación para este momento. Ahora les damos su uso más importante.
La serie sigue la misma filosofía: cada idea contada en cristiano y con una imagen mental, después el rigor completo (definiciones, teoremas y demostraciones) y siempre ejercicios para que practiques tú, con la pista y la solución plegadas.
Un poco de historia. Resolver sistemas lineales es de las cosas más antiguas de las matemáticas. En el texto chino Los nueve capítulos sobre el arte matemático, escrito durante la dinastía Han (en torno a los años 200‑100 a. C.), aparece un problema con tres tipos de cereal y tres ecuaciones. Se resuelve colocando los coeficientes en un tablero de cálculo y eliminando incógnitas, que es esencialmente el método que hoy llamamos de Gauss. La regla de Cramer se publicó en 1750, y el teorema central del tema tiene un nombre distinto según el país: en España y buena parte de Latinoamérica se llama de Rouché–Frobenius, en Italia de Rouché–Capelli, en Rusia de Kronecker–Capelli y en Francia de Rouché–Fontené.
¿Por qué un físico vive rodeado de sistemas lineales?
Porque casi cualquier problema con muchas magnitudes que dependen unas de otras acaba, tarde o temprano, en un sistema lineal. A veces de forma exacta y a veces como la mejor aproximación posible. Algunos ejemplos que irán apareciendo en la serie:
- ElectricidadCircuitosLas leyes de Kirchhoff de nudos y mallas dan un sistema lineal cuyas incógnitas son las intensidades.
- QuímicaAjustar reaccionesConservar los átomos de cada elemento da un sistema lineal homogéneo cuyas soluciones son los coeficientes de la reacción.
- EstáticaEstructuras en equilibrioEn una armadura, el equilibrio de fuerzas en cada nudo da un sistema lineal para las tensiones de las barras.
- CalorSimulacionesPara calcular la temperatura en una placa, se divide en una malla de puntos y cada punto aporta una ecuación lineal. Salen sistemas con miles o millones de incógnitas.
- LaboratorioAjustar datosEncontrar la parábola que pasa por tres medidas, como hicimos con el lanzamiento de una pelota en el Tema 1, es resolver un sistema lineal.
- RedesFlujosCaudales en una red de tuberías o tráfico en un cruce: lo que entra en cada nudo es igual a lo que sale. Suelen ser sistemas con infinitas soluciones.
Cinco verbos para un tema entero
Si te pierdes en algún momento, vuelve aquí. El tema es una historia en cinco pasos, y en el centro está la pregunta que decide todo:
Teorema de Rouché–Frobenius. Sea un sistema \(AX=B\) con \(n\) incógnitas y matriz ampliada \((A\,|\,B)\). Entonces:
- NingunaSi \(\operatorname{rg}(A)<\operatorname{rg}(A\,|\,B)\), el sistema es incompatible: no tiene solución.
- UnaSi \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,B)=n\), es compatible determinado: tiene una única solución.
- InfinitasSi \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,B)=r<n\), es compatible indeterminado: infinitas soluciones, que dependen de \(n-r\) parámetros.
Y para sistemas cuadrados, conecta con el gran resultado del Tema 1: la solución es única si y solo si \(A\) es invertible, si y solo si \(\det A\neq0\). Entonces \(X=A^{-1}B\).
Los 13 posts del Tema 2, en orden
Seis bloques. Están pensados para leerse en orden, pero cada post enlaza a lo que necesites repasar, también del Tema 1. La serie se publica de forma progresiva: si algún enlace todavía no funciona, ese post está en camino.
- A Bloque A · El lenguaje de los sistemas
Plantear el problema
01¿Qué es un sistema lineal?Ecuaciones, soluciones, la forma matricial \(AX=B\) y la matriz ampliada. Leer un sistema por filas y por columnas.Física · Kirchhoff y reacciones químicas 02Sistemas equivalentes: por qué Gauss no cambia las solucionesLas operaciones elementales sobre ecuaciones y la demostración de que conservan todas las soluciones.Idea · reescribir sin perder nada 03Cero, una o infinitas: nunca dosPor qué un sistema con dos soluciones tiene infinitas, y la clasificación de los sistemas.Geometría · planos que se cortan - B Bloque B · Resolver
Encontrar las soluciones
- C Bloque C · Discutir
Saber cuántas soluciones hay sin resolver
06El teorema de Rouché–FrobeniusComparar el rango de \(A\) con el de \((A\,|\,B)\), y cuántos parámetros tiene la solución.Idea · ¿\(B\) es combinación de las columnas? 07Sistemas homogéneosSiempre tienen solución. ¿Cuándo tienen alguna distinta de la trivial?Química · ajustar reacciones 08Discutir sistemas con parámetrosEl clásico de examen, con uno y dos parámetros: por Gauss y por determinantes.Examen · el ejercicio estrella - D Bloque D · Sistemas cuadrados
Atajos cuando hay tantas ecuaciones como incógnitas
- E Bloque E · Factorización LU
Resolver muchos sistemas sin repetir trabajo
- F Bloque F · Práctica final
Entrenamiento final
Glosario de notación
A los símbolos del Tema 1 se suman estos:
| Símbolo | Se lee | Significa |
|---|---|---|
| \(AX=B\) | «a equis igual a be» | El sistema en forma matricial: \(A\) son los coeficientes, \(X\) la columna de incógnitas y \(B\) la de términos independientes. |
| \((A\,|\,B)\) | «matriz ampliada» | \(A\) con la columna \(B\) añadida a la derecha. Contiene toda la información del sistema. |
| \(x_1,\dots,x_n\) | «incógnitas» | Las cantidades que buscamos. |
| \(\lambda,\mu,\dots\) | «parámetros» | Valores libres que describen las infinitas soluciones de un sistema compatible indeterminado. |
| SI, SCD, SCI | «incompatible, compatible determinado, compatible indeterminado» | Ninguna, una o infinitas soluciones. |
| \(AX=0\) | «sistema homogéneo» | Todos los términos independientes son nulos. \(X=0\) es la solución trivial. |
| \(A_i\) | «a sub i» (en Cramer) | La matriz que resulta de sustituir la columna \(i\) de \(A\) por \(B\). |
| \(L\), \(U\) | «ele», «u» | Matriz triangular inferior (lower) y superior (upper) de la factorización \(A=LU\). |
Test de diagnóstico: ¿llegas con todo lo necesario?
El Tema 2 se apoya en el Tema 1. Estos seis ejercicios comprueban que tienes engrasadas las herramientas clave: escribir un sistema con matrices, el rango, el determinante y la inversa. Los dos últimos son un adelanto de lo que viene. Si los haces todos sin abrir las soluciones, vas sobrado.
Del sistema a las matrices
Escribe en la forma \(AX=B\), y con su matriz ampliada, el sistema
\[\begin{cases}2x-y+3z=5\\ x+4z=-1\\ -x+2y-z=0\end{cases}\]Ver pista
Cada fila de \(A\) son los coeficientes de una ecuación, en el orden \(x,y,z\). Si una incógnita no aparece, su coeficiente es 0.
Ver solución
El error típico es olvidar el 0 de la \(y\) en la segunda ecuación.
Un rango con Gauss
Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 0\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 6 & 0 & 3\end{pmatrix}\).
Ver pista
Escalona y cuenta las filas no nulas (Tema 1, post 13).
Ver solución
Con \(f_2\to f_2-2f_1\) y \(f_3\to f_3-3f_1\), las dos filas quedan \((0\ \ 0\ \ 3\ \ 3)\). Con \(f_3\to f_3-f_2\), la tercera se anula. Rango 2. (De hecho, \(f_3=f_1+f_2\).)
Un determinante 3×3
Calcula \(\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\ -1 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 4\end{vmatrix}\).
Ver pista
Sarrus, o Laplace por la primera fila, que tiene un cero (Tema 1, posts 18 y 19).
Ver solución
Por la primera fila: \(1\cdot(12-0)-2\cdot(-4-2)+0=12+12=24\).
Resolver con la inversa
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 5 & 2\end{pmatrix}\) y úsala para resolver \(\begin{cases}3x+y=4\\ 5x+2y=7\end{cases}\).
Ver pista
Fórmula de las \(2\times2\) (Tema 1, post 15). Después, \(X=A^{-1}B\).
Ver solución
\(\det A=6-5=1\), así que \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix}\). Entonces
\[X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\]Comprobación: \(3+1=4\) y \(5+2=7\). ✔ Es exactamente lo que estudiaremos en el post 09.
Dos rectas y un parámetro
Para el sistema \(\begin{cases}x+ky=2\\ kx+4y=4\end{cases}\), estudia según el valor de \(k\) si las dos rectas se cortan en un punto, son paralelas o coinciden.
Ver pista
Las rectas se cortan en un único punto cuando el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Busca los \(k\) que lo anulan y estudia cada caso por separado.
Ver solución
\(\det\begin{pmatrix}1 & k\\ k & 4\end{pmatrix}=4-k^2\), que se anula en \(k=\pm2\).
- \(k\neq\pm2\): se cortan en un punto. Una solución (compatible determinado).
- \(k=2\): \(x+2y=2\) y \(2x+4y=4\), que es la primera multiplicada por 2. Son la misma recta: infinitas soluciones (compatible indeterminado).
- \(k=-2\): \(x-2y=2\) y \(-2x+4y=4\), es decir, \(x-2y=-2\). Mismo «lado izquierdo» y distinto término independiente: rectas paralelas. Ninguna solución (incompatible).
Acabas de discutir un sistema con parámetro. Lo haremos de forma sistemática en los posts 06 y 08.
La reacción que te mantiene con vida
Ajusta la reacción global de la fotosíntesis, \(a\,\mathrm{CO_2}+b\,\mathrm{H_2O}\to c\,\mathrm{C_6H_{12}O_6}+d\,\mathrm{O_2}\), planteando una ecuación por cada elemento. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Por qué tiene sentido?
Ver pista
Una ecuación para el carbono, otra para el hidrógeno y otra para el oxígeno. Son tres ecuaciones con cuatro incógnitas: fija \(c=1\) y despeja las demás.
Ver solución
C: \(a=6c\). H: \(2b=12c\). O: \(2a+b=6c+2d\).
Con \(c=1\): \(a=6\), \(b=6\) y \(12+6=6+2d\), es decir, \(d=6\). La reacción ajustada es \(6\,\mathrm{CO_2}+6\,\mathrm{H_2O}\to\mathrm{C_6H_{12}O_6}+6\,\mathrm{O_2}\).
El sistema tiene infinitas soluciones: cualquier múltiplo \((6t,6t,t,6t)\) también vale. Tiene sentido, porque si una reacción está ajustada, también lo está su doble. Es un sistema homogéneo compatible indeterminado (no hay términos independientes: todo está igualado a cero), y lo estudiaremos en el post 07.
Todo el tema en una página
Guárdala para el final. Ahora te sonará a chino, y es normal. Vuelve aquí cuando termines cada bloque.
Plantear y resolver
- Sistema: \(AX=B\). Toda la información está en \((A\,|\,B)\).
- Las operaciones elementales de filas sobre \((A\,|\,B)\) no cambian las soluciones.
- Escalonar, discutir y resolver de abajo arriba. Las incógnitas sin pivote son parámetros.
Discutir (Rouché–Frobenius)
- \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}(A|B)\): incompatible.
- \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=n\): compatible determinado.
- \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=r<n\): compatible indeterminado, con \(n-r\) parámetros.
- Homogéneo: siempre compatible, y tiene soluciones no triviales \(\iff\operatorname{rg}A<n\).
Atajos
- Cuadrado: solución única \(\iff\det A\neq0\), y \(X=A^{-1}B\).
- Cramer: \(x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}\).
- LU: \(A=LU\). Primero se resuelve \(LY=B\) y después \(UX=Y\).
El método, en cuatro pasos
- Lee el «En 30 segundos» antes que nada. Así sabes a dónde vas.
- Quédate con la imagen mental. Rectas y planos que se cortan, pistas que se contradicen, columnas que se combinan.
- Haz los ejercicios sin mirar. Pista solo si te atascas. Solución, al final.
- Vuelve a los pocos días y rehaz los de nivel examen. Repasar espaciado fija mucho más que el atracón de la víspera.
Una ecuación es una pista. Un sistema es una investigación.
Empezamos por lo más básico: qué es exactamente un sistema lineal y las dos formas complementarias de mirarlo.
Empieza por el post 01 →Como el buen detective: antes de buscar al culpable, conviene saber si las pistas permiten encontrar uno, ninguno o demasiados.
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