En un concierto, el técnico de luces quiere un tono de naranja concreto sobre el escenario y tiene tres focos de colores distintos. ¿Con qué intensidad debe encender cada uno? Cada foco aporta su propia mezcla de rojo, verde y azul, y los aportes se suman. Eso es exactamente un sistema lineal: varias cantidades desconocidas, efectos que se suman y un objetivo que cumplir.
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El sistema \(x+y=3,\ x-y=1\) mirado de dos formas. Por filas, cada ecuación es una recta y la solución es su punto común. Por columnas, buscamos cuánto de cada columna hay que mezclar para obtener el término independiente. Las dos dan la misma respuesta: \(x=2,\ y=1\).
En el Tema 1 aprendimos a manejar matrices: operarlas, escalonarlas, medir su rango, invertirlas y calcular su determinante. Ahora llega su uso más importante. En este primer post fijamos el vocabulario (qué es una ecuación lineal, qué es un sistema, qué significa resolverlo) y aprendemos a escribir cualquier sistema con una sola igualdad entre matrices: \(AX=B\).
La ecuación lineal
Una ecuación lineal con \(n\) incógnitas \(x_1,\dots,x_n\) es una igualdad de la forma
\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b\]donde los coeficientes \(a_1,\dots,a_n\) y el término independiente \(b\) son números de \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)). Una solución es una lista ordenada \((s_1,\dots,s_n)\) de números que, al sustituir \(x_i=s_i\), cumple la igualdad.
«Lineal» quiere decir que cada incógnita aparece sola, elevada a 1 y multiplicada por un número. Nada de productos entre incógnitas, potencias, raíces ni funciones aplicadas a ellas.
Sí son lineales
- \(3x-2y+z=7\)
- \(\sqrt2\,x-\pi y=e\): los coeficientes pueden ser cualquier número.
- \(2x+3=y\): equivale a \(2x-y=-3\).
- \(\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)x+y=0\): \(\operatorname{sen}(\pi/6)=\tfrac12\) es solo un número.
No son lineales
- \(xy+z=1\): producto de incógnitas.
- \(x^2+y=0\): potencia.
- \(\tfrac1x+y=2\): incógnita en el denominador.
- \(\operatorname{sen}x+y=0\): función aplicada a una incógnita.
¿Por qué importan tanto en física? Porque lineal es sinónimo de superposición: los efectos de varias causas se suman y, si duplicas la causa, se duplica el efecto. Las ecuaciones de los circuitos de resistencias, la estática de pequeñas deformaciones, la óptica ondulatoria o la propia mecánica cuántica tienen esa propiedad. Y muchísimos problemas no lineales se aproximan por lineales cuando las variaciones son pequeñas.
Dos ecuaciones extremas
- La ecuación \(0x_1+\cdots+0x_n=b\) con \(b\neq0\), es decir, \(0=b\), no tiene ninguna solución. Es la ecuación incompatible, la «contradicción».
- La ecuación \(0x_1+\cdots+0x_n=0\), es decir, \(0=0\), la cumple cualquier lista de números. Es la ecuación trivial, que no aporta información.
Cualquier otra ecuación lineal (con algún coeficiente no nulo) tiene soluciones. Por ejemplo, \(2x+3y=6\) tiene infinitas: todos los puntos de una recta, como \((3,0)\), \((0,2)\) o \((1{,}5;\,1)\).
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema lineal de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas es una colección de \(m\) ecuaciones lineales:
\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\]Una solución del sistema es una lista \((s_1,\dots,s_n)\) que es solución de todas las ecuaciones a la vez. La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
Fíjate en los subíndices: \(a_{ij}\) es el coeficiente de la incógnita \(x_j\) en la ecuación \(i\). Primero la ecuación (la fila) y después la incógnita (la columna), igual que con las entradas de una matriz. No es casualidad.
Resolver un sistema es encontrar su solución general. Pronto verás que puede no tener ninguna solución, tener una o tener infinitas (post 03).
Un sistema es homogéneo si todos sus términos independientes son cero: \(b_1=\cdots=b_m=0\). Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución, la trivial: \(x_1=\cdots=x_n=0\).
Un sistema entero en una sola igualdad: \(AX=B\)
Todo sistema lineal lleva asociadas cuatro matrices:
- \(A\), la matriz de coeficientes, de tamaño \(m\times n\): una fila por ecuación y una columna por incógnita.
- \(X\), la columna de incógnitas, de tamaño \(n\times1\).
- \(B\), la columna de términos independientes, de tamaño \(m\times1\).
- \((A\,|\,B)\), la matriz ampliada, de tamaño \(m\times(n+1)\): \(A\) con \(B\) pegada a la derecha.
Y aquí está la magia del producto «fila por columna» (Tema 1, post 05): la fila \(i\) de \(AX\) es \(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n\), justo el lado izquierdo de la ecuación \(i\). Así que el sistema entero equivale a una sola igualdad entre matrices:
\[AX=B\]Con una ventaja enorme: la matriz ampliada \((A\,|\,B)\) contiene toda la información del sistema. Las letras \(x_1,\dots,x_n\) solo indican qué columna es cuál, y para resolver no hace falta arrastrarlas.
Escribe en forma matricial el sistema \(\begin{cases}2y+z=5\\ x-y+3z=2\\ 4x+y=6\end{cases}\) y comprueba si \((1,2,1)\) es solución.
Cumple las tres ecuaciones a la vez: es solución. ¿Es la única? Lo sabremos con certeza en el post 09: como \(\det A=29\neq0\), sí lo es.
Leer un sistema por filas y por columnas
Por filas: intersección de rectas y planos
Cada ecuación con dos incógnitas es una recta del plano, y con tres incógnitas, un plano del espacio. Una solución del sistema es un punto que está en todas a la vez. Resolver un sistema es, geométricamente, cortar. Es la mirada de la izquierda en la ilustración principal.
Por columnas: mezclar ingredientes
Llamemos \(A_1,\dots,A_n\) a las columnas de \(A\). Haciendo el producto por columnas:
\[AX=x_1A_1+x_2A_2+\cdots+x_nA_n\]Así que el sistema \(AX=B\) pregunta: ¿cuánto de cada columna hay que mezclar para obtener \(B\)? Cada columna es un «ingrediente» (lo que aporta una unidad de esa incógnita) y \(B\) es el «plato» que queremos conseguir. Es la mirada de la derecha en la ilustración.
Resuelve \(x+y=3,\ x-y=1\) y escribe la solución como combinación de columnas.
Sumando las dos ecuaciones, \(2x=4\), así que \(x=2\) e \(y=1\). Por columnas:
\[2\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}\]Las dos miradas son complementarias. La de filas es más intuitiva para dibujar; la de columnas será la clave del teorema de Rouché–Frobenius (post 06): un sistema tiene solución si y solo si \(B\) se puede fabricar con las columnas de \(A\).
Sistemas lineales en el mundo real
- ElectricidadLeyes de KirchhoffEn cada nudo, la suma de intensidades que entran es igual a la que sale. En cada malla, las tensiones suman cero. Todo es lineal en las intensidades (ejercicio 01.6).
- EstáticaEquilibrioQue la suma de fuerzas y la suma de momentos sean cero da ecuaciones lineales en las fuerzas desconocidas, como las reacciones de los apoyos (ejercicio 01.7).
- ColorMezclar lucesSegún las leyes de Grassmann (1853), en buena aproximación la mezcla aditiva de luces es lineal: los componentes de color de una mezcla son la suma de los de cada luz. Elegir intensidades es resolver un sistema (ejercicio 01.8).
- QuímicaAjustar reaccionesUna ecuación por elemento químico: los átomos se conservan. Es un sistema homogéneo.
Ocho ejercicios para hablar el idioma
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
¿Lineal o no?
Di cuáles de estas ecuaciones son lineales en \(x,y,z\): a) \(4x=2y-z+1\); b) \(x+yz=3\); c) \(e^2x-\ln(3)\,y=0\); d) \(\sqrt{x}+y=1\); e) \(x(y+1)=y\); f) \(\tfrac{x}{5}-\tfrac{y}{2}=z\).
Ver pista
Los coeficientes pueden ser cualquier número, incluidos \(e^2\) o \(\ln 3\). Lo que no puede haber es productos de incógnitas o funciones de ellas. En e), desarrolla.
Ver solución
Lineales: a) (equivale a \(4x-2y+z=1\)), c) y f) (equivale a \(\tfrac15x-\tfrac12y-z=0\)).
No lineales: b), por el producto \(yz\); d), por la raíz; y e), porque al desarrollar aparece \(xy\): \(xy+x-y=0\).
Las cuatro matrices
Escribe \(A\), \(X\), \(B\) y \((A\,|\,B)\) para el sistema \(\begin{cases}x_1-x_3+2x_4=0\\ 3x_2+x_3=7\\ x_1+x_2+x_3+x_4=1\end{cases}\). ¿Cuántas ecuaciones e incógnitas tiene? ¿Es homogéneo?
Ver pista
Hay cuatro incógnitas aunque no todas aparezcan en cada ecuación: pon ceros.
Ver solución
\((A\,|\,B)\) es \(A\) con la columna \(B\) a la derecha, de tamaño \(3\times5\). Tiene 3 ecuaciones y 4 incógnitas. No es homogéneo: hay términos independientes no nulos (aunque el primero sea 0).
Comprobar soluciones
Para el sistema del ejemplo, \(\begin{cases}2y+z=5\\ x-y+3z=2\\ 4x+y=6\end{cases}\), comprueba cuáles de estas ternas son solución: \((2,-2,9)\), \((0,3,-1)\) y \(\left(\tfrac54,1,3\right)\). ¿Qué tienen en común las tres?
Ver pista
Sustituye en las tres ecuaciones, o calcula \(AX\) y compáralo con \(B\).
Ver solución
- \((2,-2,9)\): \(-4+9=5\) ✔, pero \(2+2+27=31\neq2\) ✘.
- \((0,3,-1)\): \(6-1=5\) ✔, pero \(0-3-3=-6\neq2\) ✘.
- \(\left(\tfrac54,1,3\right)\): \(2+3=5\) ✔, pero \(\tfrac54-1+9=\tfrac{37}{4}\neq2\) ✘.
Ninguna es solución. Las tres cumplen la primera ecuación: son puntos del primer plano, pero no del punto donde se cortan los tres planos, que es \((1,2,1)\). Cumplir una ecuación no basta.
Mezclar columnas
Escribe \(B=\begin{pmatrix}5\\ 5\end{pmatrix}\) como combinación de \(A_1=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\) y \(A_2=\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}\). ¿Qué sistema estás resolviendo? Interprétalo por filas.
Ver pista
Busca \(x,y\) con \(xA_1+yA_2=B\), y separa por componentes.
Ver solución
\(x\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ 5\end{pmatrix}\) es el sistema \(\begin{cases}x+3y=5\\ 2x+y=5\end{cases}\). De la segunda, \(y=5-2x\). Sustituyendo, \(x+15-6x=5\), así que \(x=2\) e \(y=1\).
Por columnas: \(B=2A_1+A_2\). Por filas: las rectas \(x+3y=5\) y \(2x+y=5\) se cortan en \((2,1)\).
Superposición
Usando solo propiedades del producto de matrices, demuestra:
a) Si \(X_1\) y \(X_2\) son soluciones del sistema homogéneo \(AX=0\), también lo son \(X_1+X_2\) y \(\lambda X_1\) para cualquier número \(\lambda\). b) Si \(X_1\) resuelve \(AX=B_1\) y \(X_2\) resuelve \(AX=B_2\), entonces \(X_1+X_2\) resuelve \(AX=B_1+B_2\). c) Si \(X_1\) y \(X_2\) resuelven \(AX=B\), entonces \(X_1-X_2\) resuelve el homogéneo \(AX=0\).
Ver pista
\(A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2\) y \(A(\lambda X)=\lambda AX\) (Tema 1, posts 04 y 05).
Ver solución
a) \(A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=0+0=0\) y \(A(\lambda X_1)=\lambda AX_1=\lambda\cdot0=0\). \(\blacksquare\)
b) \(A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=B_1+B_2\). \(\blacksquare\)
c) \(A(X_1-X_2)=AX_1-AX_2=B-B=0\). \(\blacksquare\)
El apartado b) es el principio de superposición: en un circuito de resistencias, la respuesta a dos fuentes a la vez es la suma de las respuestas a cada fuente por separado. El c) nos dirá en el post 07 cómo son todas las soluciones de un sistema.
Plantear un circuito
Una pila de \(12\ \mathrm{V}\) alimenta una resistencia \(R_1=2\ \Omega\), y detrás de ella hay dos resistencias en paralelo, \(R_2=3\ \Omega\) y \(R_3=6\ \Omega\). Por \(R_1\) circula \(I_1\), y se reparte en \(I_2\) (por \(R_2\)) e \(I_3\) (por \(R_3\)).
a) Plantea las tres ecuaciones: el nudo, la malla de la pila con \(R_1\) y \(R_2\), y la malla formada por \(R_2\) y \(R_3\). b) Escríbelas como \(AX=B\). c) Comprueba que \((I_1,I_2,I_3)=(3,2,1)\ \mathrm{A}\) es solución.
Ver pista
Nudo: lo que entra es igual a lo que sale. Malla de la pila: \(12=R_1I_1+R_2I_2\). Malla del paralelo: la tensión en \(R_2\) es igual a la tensión en \(R_3\).
Ver solución
a) \(I_1-I_2-I_3=0\), \(2I_1+3I_2=12\) y \(3I_2-6I_3=0\).
\[\begin{pmatrix}1 & -1 & -1\\ 2 & 3 & 0\\ 0 & 3 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_1\\ I_2\\ I_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 12\\ 0\end{pmatrix}\]c) \(3-2-1=0\) ✔, \(6+6=12\) ✔ y \(6-6=0\) ✔. Coincide con el cálculo clásico: \(R_2\parallel R_3=2\ \Omega\), la resistencia total es \(4\ \Omega\), así que \(I_1=3\ \mathrm{A}\) y la tensión en el paralelo es \(6\ \mathrm{V}\), lo que da \(I_2=2\ \mathrm{A}\) e \(I_3=1\ \mathrm{A}\).
Una viga sobre dos apoyos
Una viga horizontal de \(4\ \mathrm{m}\) y \(600\ \mathrm{N}\) de peso (aplicado en su centro) descansa sobre dos apoyos en sus extremos, \(x=0\) y \(x=4\ \mathrm{m}\). Además, en \(x=3\ \mathrm{m}\) cuelga una carga de \(400\ \mathrm{N}\). Llama \(R_1\) y \(R_2\) a las fuerzas verticales que hacen los apoyos.
a) Plantea el equilibrio de fuerzas y de momentos (respecto de \(x=0\)) como un sistema lineal y escríbelo en forma matricial. b) Resuélvelo. c) ¿Qué apoyo soporta más y por qué tiene sentido?
Ver pista
Fuerzas: \(R_1+R_2\) es igual al peso total. Momentos respecto de \(x=0\): \(R_1\) no da momento, porque su brazo es 0.
Ver solución
a) Fuerzas: \(R_1+R_2=1000\). Momentos: \(4R_2=600\cdot2+400\cdot3=2400\).
\[\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}R_1\\ R_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1000\\ 2400\end{pmatrix}\]b) \(R_2=600\ \mathrm{N}\) y \(R_1=400\ \mathrm{N}\).
c) El apoyo derecho soporta más porque la carga de \(400\ \mathrm{N}\) está más cerca de él. Fíjate en que la matriz es triangular: el sistema se resuelve de abajo arriba. Lo verás en el post 04.
Los focos del concierto
Tres focos aportan, por unidad de intensidad, las cantidades de (rojo, verde, azul) siguientes, en unidades arbitrarias: foco 1, \((2,1,0)\); foco 2, \((0,1,1)\); foco 3, \((1,0,2)\). Suponiendo que la mezcla es lineal, ¿qué intensidades \(x,y,z\) hay que dar a cada foco para conseguir el color \((5,4,4)\)? ¿Qué pasaría si la solución tuviera alguna intensidad negativa?
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Por columnas: \(x(2,1,0)+y(0,1,1)+z(1,0,2)=(5,4,4)\). Separa por componentes y despeja.
Ver solución
El sistema es \(2x+z=5\), \(x+y=4\), \(y+2z=4\). De la segunda, \(x=4-y\). Sustituyendo en la primera, \(z=5-2(4-y)=2y-3\). En la tercera, \(y+4y-6=4\), así que \(y=2\), \(x=2\) y \(z=1\).
Comprobación: \(2(2,1,0)+2(0,1,1)+1(1,0,2)=(5,4,4)\). ✔
Si saliera una intensidad negativa, el sistema tendría solución matemática pero no física: un foco no puede «restar» luz. Ese color quedaría fuera de los que se pueden conseguir con esos tres focos. Es un buen recordatorio: el álgebra resuelve las ecuaciones, pero la física decide qué soluciones tienen sentido.
Las trampas del principio
- Olvidar los ceros. Si una incógnita no aparece en una ecuación, su coeficiente es 0, y hay que escribirlo en \(A\).
- Desordenar las incógnitas. Cada columna de \(A\) corresponde siempre a la misma incógnita, en todas las filas.
- Dejar términos constantes a la izquierda. Antes de escribir \(A\) y \(B\), pasa todos los números sueltos a la derecha.
- Creer que una solución lo es si cumple «casi todas» las ecuaciones. Tiene que cumplirlas todas.
- Confundir «no lineal» con «coeficientes raros». \(\sqrt2\,x+\pi y=1\) es perfectamente lineal; \(x^2=1\) no lo es.
Lo imprescindible del post
Definiciones
- Ecuación lineal: \(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\).
- Solución del sistema: cumple todas las ecuaciones. Solución general: el conjunto de todas.
- Homogéneo: \(B=0\). Siempre tiene la solución trivial.
- \(0=b\neq0\): incompatible. \(0=0\): trivial.
Forma matricial
- \(AX=B\), con \(A\) de tamaño \(m\times n\), \(X\) de \(n\times1\) y \(B\) de \(m\times1\).
- Toda la información está en \((A\,|\,B)\).
- Por filas: cortar rectas o planos.
- Por columnas: \(x_1A_1+\cdots+x_nA_n=B\).
Un idioma para miles de problemas
Ya sabes qué es un sistema lineal, qué significa resolverlo y cómo escribirlo en una sola igualdad, \(AX=B\), cuya matriz ampliada lo contiene todo. Y tienes dos gafas para mirarlo: por filas, como figuras que se cortan, y por columnas, como ingredientes que se mezclan.
En el próximo post respondemos a la pregunta que hace posible todo el método de Gauss: ¿por qué podemos combinar ecuaciones sin cambiar las soluciones?
Una ecuación es una pista; \(AX=B\) es el expediente completo.
Siguiente: sistemas equivalentes →Como el técnico de luces: cada foco aporta su mezcla, y el sistema te dice cuánto encender cada uno.
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