Calienta agua y mira el termómetro: a 20 °C es líquida, a 40 °C también, a 80 °C también. Durante casi todo el recorrido no pasa nada especial. Pero a la presión del nivel del mar, al llegar a 100 °C, el comportamiento cambia de golpe. Discutir un sistema con un parámetro es muy parecido: para casi todos los valores el sistema se comporta igual, y solo hay unos pocos valores críticos donde cambia. El trabajo consiste en encontrarlos y estudiar qué pasa en cada uno.
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El sistema del ejemplo 1 de este post. Su determinante solo se anula en \(a=-2\) y en \(a=1\). Para cualquier otro valor del parámetro, el sistema es compatible determinado. En los dos valores críticos hay que mirar con lupa, y cada uno da algo distinto.
Es el ejercicio estrella de los exámenes del tema: «discute el sistema según los valores de \(a\)» o, en su versión dura, «según los valores de \(a\) y \(b\)». Con el teorema de Rouché–Frobenius (post 06) ya tienes toda la teoría que hace falta. Lo que falta es el método: cómo organizar los casos para no dejarte ninguno, y cuándo conviene usar determinantes o Gauss.
Pocos valores críticos y un caso general
Cuando los coeficientes dependen de un parámetro \(a\), los rangos de \(A\) y de \((A\,|\,B)\) también dependen de \(a\). Pero no de cualquier manera. El rango baja solo cuando ciertos menores se anulan a la vez, y un menor es un polinomio en \(a\), que tiene pocas raíces. Por eso la discusión casi siempre tiene esta forma:
- Un caso general («para \(a\neq\ldots\)»), donde los rangos son los máximos posibles.
- Unos pocos casos especiales, uno por cada valor crítico, que se estudian por separado sustituyendo el valor en el sistema.
Valor crítico no significa incompatible. En un sistema cuadrado, que \(\det A=0\) solo descarta el SCD. En ese valor el sistema puede ser SI o SCI, y solo calculando \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) lo sabrás. En el dibujo de arriba, uno de los valores críticos da SI y el otro SCI.
Tres herramientas, según el sistema:
CUADRADO · m = n
Determinantes
Calcula \(\det A\) en función del parámetro. Sus raíces son los únicos candidatos a valor crítico. Es lo más directo cuando el parámetro está en \(A\).
CUALQUIER SISTEMA
Gauss con parámetro
Escalona la ampliada dejando el parámetro para el final. Da a la vez la discusión y la solución. Ideal con dos parámetros.
NO CUADRADO · m ≠ n
Menores
Busca un menor no nulo de \(A\) que no dependa del parámetro, y orla. Si \(m=n+1\), el determinante de \((A\,|\,B)\) decide la compatibilidad.
El caso cuadrado: busca dónde se anula el determinante
Si \(A\) es \(n\times n\):
- Calcula \(\det A\) en función del parámetro y factorízalo.
- Para los valores que no lo anulan, \(\operatorname{rg}A=n=\operatorname{rg}(A\,|\,B)\): SCD.
- Para cada raíz, sustituye en el sistema y calcula \(\operatorname{rg}A\) y \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\) con números, sin parámetros.
Discute según \(a\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}ax+y+z=1\\ x+ay+z=a\\ x+y+az=a^2\end{cases}\)
Fíjate en que la solución tiene \(a+2\) en el denominador. No es casualidad: la fórmula «explota» justo en el valor crítico en el que el sistema es incompatible.
Escalonar con parámetros sin hacer trampas
Gauss funciona igual con parámetros, con tres reglas de seguridad:
- Nunca dividas (ni multipliques una fila) por una expresión que pueda valer cero, como \(a-1\). Si lo haces, ese caso queda fuera sin que te des cuenta.
- Elige pivotes sin parámetro. Reordena las ecuaciones para que los parámetros vayan quedando abajo y a la derecha. Si intercambias columnas, recuerda que estás cambiando el orden de las incógnitas.
- Discute al final. Cuando el parámetro solo queda en las últimas filas, cada fila del tipo \((0\ \cdots\ 0\ p\,|\,q)\) se lee así: si \(p\neq0\), hay pivote. Si \(p=0\) y \(q\neq0\), es incompatible. Si \(p=q=0\), la fila desaparece.
Discute según \(a\) y \(b\): \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ 2x+3y+az=b\end{cases}\)
- \(a\neq4\) (cualquier \(b\)): tres pivotes. SCD.
- \(a=4\) y \(b\neq3\): la fila es \((0\ 0\ 0\,|\,b-3)\) con \(b-3\neq0\). SI.
- \(a=4\) y \(b=3\): la fila desaparece. Dos pivotes: SCI con 1 parámetro.
Comprobación con \(a=5\), \(b=4\), que da \((1,-1,1)\): \(1-1+1=1\) ✔, \(1-2+3=2\) ✔, \(2-3+5=4\) ✔.
Patrón típico con dos parámetros: uno (\(a\)) decide si hay pivote, y el otro (\(b\)) solo importa cuando no lo hay, para decidir entre SI y SCI.
Sistemas no cuadrados
Si \(m\neq n\), no hay \(\det A\). Pero los rangos se calculan igual con menores (Tema 1, post 21). Dos situaciones típicas:
- Más incógnitas que ecuaciones (\(m<n\)): nunca es SCD. Solo hay que decidir entre SI y SCI, y contar los parámetros.
- Una ecuación más que incógnitas (\(m=n+1\)): \((A\,|\,B)\) es cuadrada. Si \(\det(A\,|\,B)\neq0\), entonces \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)=n+1\), que es más de lo que puede valer \(\operatorname{rg}A\) (como mucho \(n\)). Por tanto, \(\det(A\,|\,B)\neq0\Rightarrow\) SI. Solo los valores que anulan \(\det(A\,|\,B)\) pueden dar un sistema compatible.
Discute según \(a\): \(\begin{cases}x+y=1\\ x-y=3\\ 2x+ay=a\end{cases}\)
Geométricamente: tres rectas en el plano. Las dos primeras se cortan en \((2,-1)\), y la tercera solo pasa por ese punto cuando \(a=2\).
Valores críticos de verdad
- EstáticaÁngulos críticosLa geometría de una estructura entra en los coeficientes como parámetro. Para ciertos ángulos el determinante se anula y la estructura no puede soportar la carga, o la soporta de infinitas maneras (ejemplo 4).
- VibracionesResonanciaEn un sistema de masas y muelles forzado, la frecuencia de la fuerza es un parámetro. En las frecuencias críticas el sistema de amplitudes deja de ser compatible determinado: es la resonancia (ejercicio 08.8).
- EstructurasPandeoCuando una columna se modeliza por trozos, su equilibrio es un sistema homogéneo en el que la carga es un parámetro. Solo para ciertas cargas críticas hay soluciones no triviales, que son las formas en las que la columna puede doblarse.
¿Por qué no se puede tensar del todo una cuerda de tender?
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Un peso \(W\) cuelga del centro de una cuerda. Cada mitad forma un ángulo \(\theta\) con la horizontal, así que las tensiones tiran en las direcciones \(u_1=(\cos\theta,\sin\theta)\) y \(u_2=(-\cos\theta,\sin\theta)\). El equilibrio \(T_1u_1+T_2u_2=(0,W)\) es:
\[\begin{cases}T_1\cos\theta-T_2\cos\theta=0\\ T_1\sin\theta+T_2\sin\theta=W\end{cases}\]Y el caso general avisa de lo que pasa cerca del valor crítico. Con \(W=20\ \mathrm{N}\): a 30°, \(T=20\ \mathrm{N}\). A 10°, unos \(57{,}6\ \mathrm{N}\). A 5°, unos \(114{,}7\ \mathrm{N}\). A 1°, unos \(573\ \mathrm{N}\). Cuanto más recta quieres la cuerda, más tensión necesitas, y la perfectamente recta es imposible. El denominador \(\sin\theta\) es el mismo que «explotaba» en el ejemplo 1.
Ocho ejercicios de examen (y de física)
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Lo que dice (y no dice) el determinante
De un sistema \(3\times3\) con parámetro \(a\) sabes que \(\det A=(a-3)(a+1)\). a) ¿Qué puedes asegurar para \(a=0\)? b) ¿Y para \(a=3\)? c) Un compañero dice que para \(a=-1\) es incompatible «porque el determinante se anula». ¿Tiene razón?
Ver pista
Con \(\det A\neq0\) los dos rangos valen 3. Con \(\det A=0\), ¿qué sabes de \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\)?
Ver solución
a) \(\det A=-3\neq0\): SCD, seguro.
b) \(\det A=0\): no es SCD. Puede ser SI o SCI, y para decidirlo hace falta calcular \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\).
c) No necesariamente. Que \(\det A=0\) solo dice que \(\operatorname{rg}A<3\). Si \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)=\operatorname{rg}A\), sería SCI.
Dos rectas que dependen de \(a\)
Discute según \(a\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}x+ay=1\\ ax+y=1\end{cases}\).
Ver pista
\(\det A=1-a^2\). Estudia por separado \(a=1\) y \(a=-1\).
Ver solución
- \(a\neq\pm1\): SCD. Restando las ecuaciones, \((1-a)(x-y)=0\), así que \(x=y\). Sustituyendo, \(x=y=\dfrac{1}{1+a}\).
- \(a=1\): las dos ecuaciones son \(x+y=1\). SCI con 1 parámetro: \((1-t,\ t)\).
- \(a=-1\): \(x-y=1\) y \(-x+y=1\), es decir, \(x-y=-1\). Rectas paralelas: SI.
Por determinantes
Discute según \(m\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}x+2y+z=1\\ 2x+my+3z=2\\ x+2y+(m-1)z=m-1\end{cases}\).
Ver pista
Desarrolla el determinante y factoriza: tiene dos raíces enteras. En cada una, compara las filas de la ampliada.
Ver solución
\(\det A=(m-2)(m-4)\).
- \(m\neq2,4\): SCD. La solución es \(x=\dfrac{2}{m-4}\), \(y=-\dfrac{1}{m-4}\), \(z=1\). Comprobación con \(m=5\), que da \((2,-1,1)\): \(2-2+1=1\) ✔, \(4-5+3=2\) ✔, \(2-2+4=4\) ✔.
- \(m=2\): la primera y la tercera ecuación son iguales, \(x+2y+z=1\). Queda con \(2x+2y+3z=2\). \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=2\): SCI con 1 parámetro. Restando el doble de la primera a la segunda, \(-2y+z=0\), así que \(z=2s\) con \(y=s\), y \(x=1-4s\): \((1-4s,\ s,\ 2s)\).
- \(m=4\): \(\operatorname{rg}A=2\) (la segunda columna es el doble de la primera, y \(\begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=1\neq0\)). En la ampliada, el menor de columnas 1, 3 y \(B\) es \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 3 & 3\end{vmatrix}=2\neq0\), así que \(\operatorname{rg}(A|B)=3\): SI.
Por Gauss, con dos parámetros
Discute según \(a\) y \(b\) y resuelve en el caso indeterminado: \(\begin{cases}x+2y-z=1\\ 2x+5y+z=3\\ x+3y+az=b\end{cases}\).
Ver pista
Con \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\), y después \(f_3-f_2\), la última fila queda de la forma \((0\ 0\ p(a)\,|\,q(b))\).
Ver solución
Tras \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\), las filas son \((0\ 1\ 3\,|\,1)\) y \((0\ 1\ a+1\,|\,b-1)\). Con \(f_3-f_2\): \((0\ 0\ a-2\,|\,b-2)\).
- \(a\neq2\): SCD (cualquier \(b\)).
- \(a=2\), \(b\neq2\): \(0=b-2\neq0\). SI.
- \(a=2\), \(b=2\): SCI con 1 parámetro. Con \(z=t\): \(y=1-3t\) y \(x=1-2y+z=-1+7t\). Solución \((-1+7t,\ 1-3t,\ t)\).
Comprobación con \(t=0\), \((-1,1,0)\): \(-1+2=1\) ✔, \(-2+5=3\) ✔, \(-1+3=2\) ✔.
Tres rectas y un punto
Discute según \(a\): \(\begin{cases}x+y=2\\ x-y=0\\ ax+y=4\end{cases}\). Interpreta el resultado geométricamente.
Ver pista
\(\operatorname{rg}A=2\) siempre. Calcula \(\det(A\,|\,B)\).
Ver solución
El menor \(\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-2\neq0\), así que \(\operatorname{rg}A=2\). Además, \(\det(A\,|\,B)=2(a-3)\).
- \(a\neq3\): \(\operatorname{rg}(A|B)=3\). SI.
- \(a=3\): los dos rangos valen 2. SCD, con solución \((1,1)\): \(3+1=4\) ✔.
Las dos primeras rectas se cortan en \((1,1)\). La tercera, \(ax+y=4\), pasa por ese punto solo si \(a+1=4\).
Más incógnitas que ecuaciones
Discute según \(a\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}x+ay+z=1\\ ax+y+az=1\end{cases}\).
Ver pista
Calcula los tres menores \(2\times2\) de \(A\). ¿Para qué valores se anulan todos?
Ver solución
Los menores de \(A\) son \(\begin{vmatrix}1 & a\\ a & 1\end{vmatrix}=1-a^2\), \(\begin{vmatrix}1 & 1\\ a & a\end{vmatrix}=0\) y \(\begin{vmatrix}a & 1\\ 1 & a\end{vmatrix}=a^2-1\). Todos se anulan si y solo si \(a=\pm1\).
- \(a\neq\pm1\): \(\operatorname{rg}A=2=\operatorname{rg}(A|B)\) (la ampliada tiene 2 filas). SCI con \(3-2=1\) parámetro. Con \(z=t\): \(y=\dfrac{1}{a+1}\) y \(x=\dfrac{1}{a+1}-t\).
- \(a=1\): las dos ecuaciones son \(x+y+z=1\). SCI con 2 parámetros: \((1-s-t,\ s,\ t)\).
- \(a=-1\): \(x-y+z=1\) y \(-x+y-z=1\), es decir, \(x-y+z=-1\). Planos paralelos: SI.
Nunca es SCD, como debe ser con \(m<n\).
El clásico de examen, con dos parámetros
Discute según \(a\) y \(b\), y resuelve en todos los casos compatibles: \(\begin{cases}x+y+az=1\\ x+ay+z=1\\ ax+y+z=b\end{cases}\).
Ver pista
\(\det A\) solo depende de \(a\). Para el caso \(a=-2\), suma las tres ecuaciones.
Ver solución
Sumando las filas, \(\det A=-(a-1)^2(a+2)\). Y sumando las tres ecuaciones: \((a+2)(x+y+z)=2+b\).
- \(a\neq1\) y \(a\neq-2\): SCD para cualquier \(b\). Restando ecuaciones se obtiene \(y=z\), y la solución es \[\begin{gathered}x=\frac{(a+1)b-2}{(a-1)(a+2)},\\ y=z=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)}.\end{gathered}\] Comprobación con \(a=0\), \(b=0\), que da \((1,0,0)\): \(1=1\) ✔, \(1=1\) ✔, \(0=0\) ✔.
- \(a=1\): las tres filas de \(A\) son \((1\ 1\ 1)\) y \(B=(1,1,b)\). Si \(b=1\): SCI con 2 parámetros, \((1-s-t,\ s,\ t)\). Si \(b\neq1\): SI.
- \(a=-2\): \(\operatorname{rg}A=2\). La suma da \(0=2+b\). Si \(b\neq-2\): SI. Si \(b=-2\): SCI con 1 parámetro. Restando la segunda a la primera, \(3y-3z=0\), así que \(y=z=t\), y \(x=1+t\): \((1+t,\ t,\ t)\).
Comprobación del último caso con \(t=1\), \((2,1,1)\): \(2+1-2=1\) ✔, \(2-2+1=1\) ✔, \(-4+1+1=-2\) ✔.
Resonancia en dos masas y tres muelles
Dos masas iguales unidas por muelles iguales, en unas unidades en las que \(m=k=1\), se fuerzan con una fuerza que oscila con frecuencia \(\omega\) y solo actúa sobre la primera masa. Si buscamos un movimiento oscilante con la misma frecuencia, las amplitudes \(X_1,X_2\) cumplen (con \(\lambda=\omega^2\) y amplitud de la fuerza \(F_0\)):
\[\begin{cases}(2-\lambda)X_1-X_2=F_0\\ -X_1+(2-\lambda)X_2=0\end{cases}\]a) Discute el sistema según \(\lambda\). b) Calcula las amplitudes en el caso general. c) ¿Qué ocurre físicamente en los valores críticos?
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\(\det A=(2-\lambda)^2-1\) es una diferencia de cuadrados.
Ver solución
a) \(\det A=(2-\lambda)^2-1=(1-\lambda)(3-\lambda)\). Valores críticos: \(\lambda=1\) y \(\lambda=3\).
- \(\lambda\neq1,3\): SCD.
- \(\lambda=1\): la matriz es \(\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}\), de rango 1. La ampliada tiene filas \((1\ \ {-1}\,|\,F_0)\) y \((-1\ \ 1\,|\,0)\), de rango 2 si \(F_0\neq0\). SI.
- \(\lambda=3\): la matriz es \(\begin{pmatrix}-1 & -1\\ -1 & -1\end{pmatrix}\), de rango 1, y la ampliada tiene rango 2. SI.
b) De la segunda, \(X_1=(2-\lambda)X_2\). Sustituyendo en la primera: \(X_2=\dfrac{F_0}{(1-\lambda)(3-\lambda)}\) y \(X_1=\dfrac{(2-\lambda)F_0}{(1-\lambda)(3-\lambda)}\).
c) Cuando \(\lambda\) se acerca a 1 o a 3, el denominador tiende a cero y las amplitudes crecen sin límite. En los valores críticos, sin rozamiento, no existe ningún movimiento oscilante con amplitud constante: es la resonancia, y la amplitud crece con el tiempo. Esas frecuencias, \(\omega=1\) y \(\omega=\sqrt3\) en estas unidades, son las frecuencias propias del sistema: justo las que hacen que el homogéneo \(\left(\begin{smallmatrix}2-\lambda & -1\\ -1 & 2-\lambda\end{smallmatrix}\right)X=0\) tenga soluciones no triviales (post 07).
Las trampas de la discusión
- Dividir por una expresión con parámetro. Si divides por \(a-1\), el caso \(a=1\) desaparece de tu discusión sin que te des cuenta. Divide solo por números, o separa antes el caso en que la expresión vale cero.
- Decir «\(\det A=0\), luego incompatible». Solo descarta el SCD. Hay que calcular \(\operatorname{rg}(A\,|\,B)\).
- Estudiar los casos especiales con la solución general. En los valores críticos hay que volver al sistema original y sustituir. La fórmula del caso general no vale ahí, a menudo porque tiene ese valor en un denominador.
- Olvidar combinaciones con dos parámetros. Para cada valor crítico de \(a\), revisa qué pasa con todos los valores de \(b\).
- No dar la discusión completa. La respuesta debe cubrir todos los valores: «para \(a\neq1,-2\)…», «para \(a=1\)…», «para \(a=-2\)…».
- Usar \(\det(A\,|\,B)\) al revés. Con \(m=n+1\), \(\det(A\,|\,B)\neq0\) implica SI. Pero \(\det(A\,|\,B)=0\) no garantiza que sea compatible si \(\operatorname{rg}A\) también baja.
Lo imprescindible del post
Receta
- Cuadrado: factoriza \(\det A\). Fuera de sus raíces, SCD.
- En cada raíz: sustituye y calcula los dos rangos.
- Gauss: pivotes sin parámetro y la última fila decide.
- \(m=n+1\): \(\det(A|B)\neq0\Rightarrow\) SI.
- \(m<n\): nunca SCD.
Trucos y avisos
- Filas que suman lo mismo: suma todas las ecuaciones.
- No dividas por expresiones que puedan anularse.
- Valor crítico \(\neq\) incompatible.
- Con dos parámetros, \(b\) suele decidir entre SI y SCI.
- Comprueba la solución con un valor concreto.
Encuentra los valores críticos y mira con lupa
Discutir con parámetros es organizar bien los casos: un caso general, donde los rangos son los máximos, y unos pocos valores críticos donde algún menor se anula y hay que sustituir y recalcular. Con determinantes encuentras los valores críticos de golpe. Con Gauss obtienes a la vez la discusión y la solución. En física, esos valores críticos son ángulos imposibles, resonancias y cargas de pandeo.
En el próximo post empieza el Bloque D: los sistemas cuadrados, donde «solución única» y «matriz invertible» resultan ser lo mismo, y la solución se escribe \(X=A^{-1}B\).
Casi todos los valores se portan bien. Los críticos, uno a uno.
Siguiente: sistemas cuadrados e inversa →Como el agua al calentarla: casi todo el recorrido es tranquilo, y lo interesante pasa en unos pocos puntos.
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