Endomorfismos: Cuando el espacio se dobla sobre sí mismo

Endomorfismos: Cuando el espacio se dobla sobre sí mismo

Hasta este punto, hemos concebido las aplicaciones lineales como "viajes interestelares": tomábamos un vector en un universo de partida (U) y lo proyectábamos hacia un universo de destino completamente distinto (V). Podíamos mapear desde el mundo de los polinomios hacia el mundo de las matrices, o desde un espacio 3D hacia un plano 2D.

Sin embargo, en la física mecánica y la ingeniería cuántica, lo más habitual es estudiar un sistema cerrado. ¿Qué ocurre cuando rotamos una pieza de maquinaria en un programa CAD? El espacio tridimensional de origen es exactamente el mismo que el espacio tridimensional de llegada. El universo no cambia, simplemente sus vectores se mueven, se giran o se estiran dentro de él.

A esta categoría tan especial y recurrente de transformaciones se las conoce en el rigor algebraico como Endomorfismos[cite: 1].

1. Definición y el Club de los Automorfismos

En términos formales, un endomorfismo es una aplicación lineal que va de un espacio vectorial en sí mismo[cite: 1] (una función f : V ➔ V). Para referirnos al conjunto de todos los endomorfismos que pueden existir dentro de un espacio V, utilizamos la notación simplificada L(V, V) o simplemente L(V)[cite: 1].

Existe una élite dentro de estas transformaciones. Si un endomorfismo no aplasta información (su núcleo es cero) y además alcanza a todo el espacio (su imagen es todo V), significa que es un isomorfismo (una biyección perfecta)[cite: 1]. A este tipo de endomorfismo que es a la vez isomorfismo se le corona con el título de Automorfismo[cite: 1].

2. Simplificación Extrema: La Matriz Cuadrada

Al programar un endomorfismo, no tiene ningún sentido matemático ni informático utilizar una base B para medir el origen y una base distinta B' para medir el destino, ¡porque origen y destino son el mismo lugar físico!

Para determinar la matriz de un endomorfismo f : V ➔ V, se considera siempre la misma base B tanto para el espacio de partida como para el de llegada[cite: 1].

Como la dimensión de llegada es la misma que la dimensión de partida (m = n), la matriz que codifica un endomorfismo será siempre y por obligación una matriz cuadrada de tamaño n × n[cite: 1]. En el caso del Grupo General Lineal GL(V), sus matrices asociadas corresponden exactamente al grupo de matrices cuadradas invertibles GL(n)[cite: 1].

3. El Preludio a las Matrices Semejantes

Ahora que la aplicación f se mide respecto a una sola base B, veamos qué le ocurre a nuestra Ecuación Universal de Cambio de Base del capítulo anterior si decidimos cambiar nuestro sistema de observación a una base nueva B'.

Si recuerdas, la ecuación del cambio entre observadores era:

M_A'B'(f) = M_BB' · M_AB(f) · M_A'A[cite: 1]

Como ahora el espacio de origen y destino es el mismo (A = B y A' = B'), la fórmula colapsa de forma bellísima sobre sí misma (Corolario 4.34)[cite: 1]:

Pero fíjate bien en los extremos. La matriz de la izquierda (M_BB') traduce de B a B', y la matriz de la derecha (M_B'B) hace exactamente lo contrario, traduce de B' a B. Como sabemos, una es la inversa de la otra[cite: 1].

Si bautizamos a M_B'B como la matriz de paso P, y a M_B(f) como la matriz antigua A, la ecuación se simplifica hasta su expresión más célebre en la historia de la física matemática[cite: 1]:

Cuando dos matrices cuadradas se pueden relacionar mediante esta ecuación, se dice por definición que son Matrices Semejantes[cite: 1].

Aunque sus números internos sean radicalmente distintos, dos matrices semejantes son exactamente la misma ley de deformación física en el mismo universo (el mismo endomorfismo), observada simplemente por dos personas con los cuellos girados en ángulos diferentes. Esto cerrará nuestra FASE 21 para abrir paso a la fase final de esta ruta: Matrices Semejantes, Proyecciones y Simetrías.