Dos carreteras rectas pueden cruzarse una vez, no cruzarse nunca (si son paralelas) o ser la misma carretera. Lo que no pueden hacer es cruzarse exactamente dos veces: para eso una de las dos tendría que curvarse. Esa sencilla observación encierra un teorema: un sistema lineal nunca tiene exactamente dos soluciones. O ninguna, o una, o infinitas.
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Una ecuación no lineal (la circunferencia) puede cortar a una recta en exactamente dos puntos. Con ecuaciones lineales es imposible: en cuanto hay dos soluciones \(X_1\) y \(X_2\), todos los puntos de la recta que pasa por ellas, \(X_1+t(X_2-X_1)\), también lo son.
En el post 01 vimos qué es un sistema y en el post 02 cómo transformarlo sin cambiar sus soluciones. Antes de aprender a resolverlo, conviene saber qué tipo de respuesta podemos esperar. La respuesta es sorprendentemente limitada: solo tres posibilidades. Y además veremos cómo son por dentro las soluciones cuando hay infinitas.
Nunca exactamente dos
Un sistema lineal con coeficientes en \(\mathbb{R}\) o en \(\mathbb{C}\) tiene ninguna, exactamente una o infinitas soluciones.
Por qué. Basta ver que si hay dos soluciones distintas, hay infinitas. Sean \(X_1\neq X_2\) con \(AX_1=B\) y \(AX_2=B\). Para cualquier número \(t\), probamos con \(X_t=X_1+t(X_2-X_1)\):
\[\begin{aligned}AX_t&=AX_1+t(AX_2-AX_1)\\ &=B+t(B-B)=B\end{aligned}\]Así que \(X_t\) es solución para todo \(t\). Y valores distintos de \(t\) dan puntos distintos, porque \(X_2-X_1\neq0\). Como hay infinitos valores de \(t\), hay infinitas soluciones. \(\blacksquare\)
Geométricamente, \(X_t\) recorre la recta que pasa por \(X_1\) (con \(t=0\)) y \(X_2\) (con \(t=1\)). Con \(t=\tfrac12\) sale el punto medio, y con \(t=2\) un punto más allá de \(X_2\). Es la imagen de la derecha en la ilustración principal.
Curiosidad: el teorema depende de los números con los que trabajas. La demostración usa que hay infinitos valores de \(t\). En la aritmética de los bits (solo 0 y 1, con \(1+1=0\)), que se usa en informática y en los códigos que corrigen errores de transmisión, la ecuación \(x+y=1\) tiene exactamente dos soluciones: \((1,0)\) y \((0,1)\). En \(\mathbb{R}\) y en \(\mathbb{C}\), que son los cuerpos de este curso, el teorema se cumple siempre.
La clasificación de los sistemas
SI
Incompatible
No tiene ninguna solución. Las condiciones se contradicen, como \(x+y=1\) y \(x+y=3\).
SCD
Compatible determinado
Tiene exactamente una solución. Las condiciones fijan todas las incógnitas.
SCI
Compatible indeterminado
Tiene infinitas soluciones, que se describen con uno o más parámetros.
Discutir un sistema es decidir si es SI, SCD o SCI. Resolver un sistema es encontrar su solución general.
Son tareas distintas. Muchas veces basta con discutir: en física, saber que un problema tiene solución única ya es una información valiosísima, aunque luego se calcule con un ordenador. En el post 06, el teorema de Rouché–Frobenius nos dejará discutir con solo calcular dos rangos.
Un ejemplo de cada
Discute y resuelve los sistemas \(S_1=\begin{cases}x+y=3\\ x-y=1\end{cases}\), \(S_2=\begin{cases}x+y=3\\ 2x+2y=5\end{cases}\) y \(S_3=\begin{cases}x+y+z=3\\ x-y+z=1\end{cases}\).
En \(S_3\), la solución general es una recta del espacio: la intersección de dos planos que no son paralelos. Por ejemplo, con \(t=0\) sale \((2,1,0)\) y con \(t=1\), \((1,1,1)\).
La estructura de todas las soluciones
Cuando hay infinitas soluciones, no están desordenadas: tienen una estructura muy precisa. La clave es el sistema homogéneo asociado, \(AX=0\), que tiene la misma matriz \(A\) pero con los términos independientes a cero.
Sea \(X_p\) una solución cualquiera de \(AX=B\) (una solución particular). Entonces las soluciones de \(AX=B\) son exactamente
\[X=X_p+X_h\]donde \(X_h\) recorre todas las soluciones del homogéneo \(AX=0\).
Por qué. (⊇) Si \(AX_h=0\), entonces \(A(X_p+X_h)=B+0=B\). (⊆) Si \(AX=B\), entonces \(X_h=X-X_p\) cumple \(AX_h=B-B=0\), y \(X=X_p+X_h\). \(\blacksquare\)
En el ejemplo de \(S_3\): \((2-t,1,t)=(2,1,0)+t(-1,0,1)\). La parte \((2,1,0)\) es una solución particular, y \(t(-1,0,1)\) recorre todas las soluciones de \(x+y+z=0,\ x-y+z=0\). Compruébalo: \(-1+0+1=0\) y \(-1-0+1=0\). ✔
Consecuencias inmediatas:
- Un sistema compatible es determinado si y solo si su homogéneo solo tiene la solución trivial, \(X_h=0\).
- Un homogéneo nunca es incompatible, porque \(X=0\) siempre es solución. Así que tiene una o infinitas soluciones.
- Todos los sistemas compatibles con la misma \(A\) tienen «la misma cantidad» de soluciones: la que marca el homogéneo. Lo único que cambia con \(B\) es dónde está la solución particular, o si existe.
En física, esta idea aparece por todas partes: la solución general de una ecuación diferencial lineal es «solución particular + solución de la homogénea», como en las oscilaciones forzadas (régimen permanente + transitorio). Es el mismo teorema en otro escenario.
Tres planos en el espacio
Con tres incógnitas, cada ecuación (con algún coeficiente no nulo) es un plano. Un sistema de tres ecuaciones es preguntar qué puntos están en los tres planos a la vez. Estas son todas las posibilidades:
| Posición de los tres planos | Soluciones | Tipo |
|---|---|---|
| Se cortan en un único punto (como el rincón de una habitación) | Un punto | SCD |
| Los tres pasan por una misma recta (un «haz», como las páginas de un libro abierto) | Una recta: 1 parámetro | SCI |
| Dos coinciden y el tercero los corta | Una recta: 1 parámetro | SCI |
| Los tres coinciden | Un plano: 2 parámetros | SCI |
| Se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (un «prisma», como un toblerone) | Ninguna | SI |
| Dos son paralelos (distintos) y el tercero los corta | Ninguna | SI |
| Los tres paralelos, o dos coincidentes y el tercero paralelo | Ninguna | SI |
Varios de estos casos se entienden mejor mirando los planos de canto, de forma que cada plano se vea como una línea:
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El haz y el prisma se parecen mucho: en los dos, los planos se cortan dos a dos. La diferencia es que en el haz las tres rectas de corte coinciden, y en el prisma son tres rectas paralelas distintas, sin ningún punto común. Fíjate en que en el prisma ningún par de planos es paralelo, y aun así no hay solución.
Qué significa cada caso en un problema real
- SCDUn problema bien planteadoEn un circuito de resistencias con sus fuentes, las intensidades quedan determinadas de forma única. Que el sistema sea SCD es la versión matemática de que «la física da una sola respuesta».
- SCIFaltan condicionesEn una estructura apoyada en más puntos de los necesarios (hiperestática), las ecuaciones de equilibrio no bastan: hay infinitas soluciones y la real la decide la elasticidad del material (ejercicio 03.8).
- SCIUna libertad realAl ajustar una reacción química, el sistema es SCI con un parámetro: la escala. Si una reacción está ajustada, su doble también.
- SIMedidas que se contradicenSi tomas más medidas que incógnitas, los errores experimentales suelen hacer el sistema incompatible. Entonces se busca la solución «que menos falla», con el método de mínimos cuadrados que verás más adelante.
Ocho ejercicios para contar soluciones
Intenta cada uno sin abrir nada. Si te atascas, abre la pista. La solución, solo al final.
Clasifica a ojo
Discute, y resuelve si son compatibles: a) \(\begin{cases}2x-y=1\\ 4x-2y=2\end{cases}\) b) \(\begin{cases}2x-y=1\\ 4x-2y=3\end{cases}\) c) \(\begin{cases}2x-y=1\\ x+y=5\end{cases}\)
Ver pista
Compara la segunda ecuación con el doble de la primera.
Ver solución
a) La segunda es el doble de la primera: la misma recta. SCI, con solución \((t,\,2t-1)\).
b) Con \(f_2\to f_2-2f_1\) queda \(0=1\). SI: rectas paralelas.
c) Sumando, \(3x=6\), así que \(x=2\) e \(y=3\). SCD.
De dos soluciones a infinitas
Un sistema lineal en \(x,y,z\) tiene como soluciones \((1,2,0)\) y \((3,1,1)\). a) Da otras tres soluciones. b) ¿Es \((5,0,2)\) solución seguro? ¿Y \((2,2,2)\)?
Ver pista
Usa \(X_1+t(X_2-X_1)\) con distintos valores de \(t\). Para b), busca si existe un \(t\) que dé ese punto.
Ver solución
a) \(X_2-X_1=(2,-1,1)\), así que \((1+2t,\ 2-t,\ t)\) es solución para todo \(t\). Con \(t=-1\): \((-1,3,-1)\); con \(t=\tfrac12\): \(\left(2,\tfrac32,\tfrac12\right)\); con \(t=3\): \((7,-1,3)\).
b) \((5,0,2)\) sale con \(t=2\): es solución seguro. \((2,2,2)\) no está en esa recta (de \(z=2\) saldría \(t=2\), pero entonces \(x=5\neq2\)). Con la información que tenemos no podemos saberlo: podría haber más soluciones fuera de la recta, si el sistema tuviera dos o más parámetros.
Verdadero o falso
a) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones siempre es SCI. b) Un sistema homogéneo puede ser incompatible. c) Si \(AX=B\) es SCD, el homogéneo \(AX=0\) solo tiene la solución trivial. d) Si \(AX=0\) solo tiene la solución trivial, \(AX=B\) es SCD para cualquier \(B\).
Ver pista
a) Piensa en dos planos paralelos. d) ¿Puede \(AX=B\) ser incompatible aunque el homogéneo tenga solución única?
Ver solución
a) Falso. \(\{x+y+z=1,\ x+y+z=2\}\) tiene más incógnitas que ecuaciones y es SI. Lo que sí es cierto es que, si es compatible, es indeterminado (lo veremos en el post 06).
b) Falso. \(X=0\) siempre es solución.
c) Verdadero. Si el homogéneo tuviera \(X_h\neq0\), \(X_p+X_h\) sería otra solución de \(AX=B\).
d) Falso. \(A=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) (dos ecuaciones, una incógnita): \(x=0,\ x=0\) solo tiene la trivial, pero \(x=1,\ x=2\) es incompatible. Lo correcto es: si es compatible, es determinado.
¿Cómo están los tres planos?
Describe la posición de los planos y discute cada sistema:
a) \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x-y=0\\ 2x+z=1\end{cases}\) b) \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+y+z=3\\ x-y+z=0\end{cases}\) c) \(\begin{cases}x+y=1\\ y+z=1\\ x-z=1\end{cases}\)
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Dos planos son paralelos si sus coeficientes de \(x,y,z\) son proporcionales. Busca además si una ecuación es suma o resta de las otras (con o sin el término independiente).
Ver solución
a) La tercera es la suma de las dos primeras, también en el término independiente (\(1+0=1\)), y no hay dos planos paralelos. Es un haz: SCI. Resolviendo: \(\left(\tfrac{1-t}{2},\ \tfrac{1-t}{2},\ t\right)\).
b) Los dos primeros son paralelos (mismos coeficientes, distinto término) y el tercero los corta. SI.
c) La primera menos la segunda da \(x-z=0\), pero la tercera dice \(x-z=1\). Ningún par es paralelo: es un prisma. SI.
Particular más homogéneo
Para el sistema \(\begin{cases}x+2y-z=4\\ 2x+4y-2z=8\end{cases}\): a) ¿cuántas ecuaciones «de verdad» tiene? b) Encuentra una solución particular a ojo. c) Resuelve el homogéneo asociado y escribe la solución general en la forma \(X_p+X_h\). ¿Cuántos parámetros hacen falta?
Ver pista
a) Compara las dos ecuaciones. c) En \(x+2y-z=0\) puedes elegir libremente dos incógnitas.
Ver solución
a) Una: la segunda es el doble de la primera.
b) Por ejemplo, \(X_p=(4,0,0)\).
c) En \(x+2y-z=0\), con \(y=s\) y \(z=t\) libres, \(x=-2s+t\). Así que \(X_h=s(-2,1,0)+t(1,0,1)\), y
\[\begin{aligned}X=\ &(4,0,0)+s(-2,1,0)\\ &+t(1,0,1),\quad s,t\in\mathbb{R}\end{aligned}\]Hacen falta dos parámetros: la solución general es un plano entero.
Mezclas de soluciones
Sean \(X_1,\dots,X_k\) soluciones de \(AX=B\) y \(c_1,\dots,c_k\) números. a) Demuestra que \(c_1X_1+\cdots+c_kX_k\) es solución de \(AX=B\) si y solo si \(c_1+\cdots+c_k=1\) (suponiendo \(B\neq0\)). b) ¿Qué pasa si \(B=0\)? c) ¿Es el punto medio de dos soluciones una solución?
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Calcula \(A(c_1X_1+\cdots+c_kX_k)\) usando que cada \(AX_i=B\).
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a) \(A(c_1X_1+\cdots+c_kX_k)=(c_1+\cdots+c_k)B\). Esto es igual a \(B\) si y solo si \((c_1+\cdots+c_k-1)B=0\), y como \(B\neq0\), si y solo si \(c_1+\cdots+c_k=1\). \(\blacksquare\)
b) Si \(B=0\), cualquier combinación es solución, sin condiciones: las soluciones del homogéneo se pueden sumar y multiplicar libremente.
c) Sí: es \(\tfrac12X_1+\tfrac12X_2\), y \(\tfrac12+\tfrac12=1\). Es el caso \(t=\tfrac12\) del teorema.
Un parámetro que nunca da solución única
Discute según \(k\) el sistema \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+3z=k\\ 2x+3y+4z=3\end{cases}\) y describe la posición de los planos en cada caso. Resuélvelo cuando sea compatible.
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Compara el lado izquierdo de la tercera ecuación con la suma de las dos primeras. ¿Para qué \(k\) coinciden también los términos independientes?
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El lado izquierdo de la tercera es la suma de los de las dos primeras. Con \(f_3\to f_3-f_1-f_2\) la tercera queda \(0=3-1-k=2-k\).
- \(k\neq2\): aparece \(0=2-k\neq0\). SI. Ningún par de planos es paralelo, así que es un prisma.
- \(k=2\): la tercera ecuación desaparece. SCI, un haz de planos. Con \(f_2\to f_2-f_1\): \(y+2z=1\). Con \(z=t\): \(y=1-2t\) y \(x=1-y-z=t\). Solución: \((t,\ 1-2t,\ t)\).
Para ningún valor de \(k\) es SCD: el determinante de los coeficientes es 0 siempre, y el parámetro solo afecta al término independiente. Lo entenderás del todo en los posts 06 y 09.
Una viga con un apoyo de más
Una viga horizontal de \(4\ \mathrm{m}\), con un peso de \(800\ \mathrm{N}\) repartido uniformemente (su centro de gravedad está en \(x=2\ \mathrm{m}\)), descansa sobre tres apoyos en \(x=0\), \(x=2\) y \(x=4\ \mathrm{m}\). Llama \(R_1,R_2,R_3\) a sus reacciones verticales.
a) Plantea el equilibrio de fuerzas y de momentos respecto de \(x=0\). b) Discute el sistema y escribe su solución general. c) ¿Qué valores del parámetro tienen sentido físico, sabiendo que los apoyos solo pueden empujar hacia arriba? d) ¿Cómo se decide cuál es la solución real?
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Son dos ecuaciones con tres incógnitas. Toma \(R_3=t\) como parámetro.
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a) \(R_1+R_2+R_3=800\) y \(2R_2+4R_3=800\cdot2=1600\).
b) Es SCI. Con \(R_3=t\): \(R_2=800-2t\) y \(R_1=800-R_2-R_3=t\). Solución: \((t,\ 800-2t,\ t)\) N.
c) Las tres reacciones deben ser \(\ge0\): \(t\ge0\) y \(800-2t\ge0\), es decir, \(0\le t\le400\). Aun así, quedan infinitas posibilidades.
d) Las ecuaciones de equilibrio no bastan: la viga es hiperestática. La solución real la fija la elasticidad de la viga, que añade ecuaciones sobre cómo se deforma. Para una viga continua sobre tres apoyos equidistantes con carga uniforme, la teoría de vigas da \(R_1=R_3=\tfrac38\cdot400=150\ \mathrm{N}\) y \(R_2=500\ \mathrm{N}\), que corresponde a \(t=150\) en nuestra familia. El álgebra dice que hay infinitas soluciones compatibles con el equilibrio; la física de materiales elige una.
Las trampas de contar soluciones
- Creer que «más incógnitas que ecuaciones» implica infinitas soluciones. Puede ser incompatible (dos planos paralelos).
- Creer que «tantas ecuaciones como incógnitas» implica solución única. Puede ser SI o SCI si hay ecuaciones dependientes (ejercicio 03.7).
- Pensar que si ningún par de planos es paralelo, hay solución. El prisma es el contraejemplo.
- Dar una sola solución de un SCI como «la» solución. Hay que dar la solución general, con sus parámetros.
- Confundir discutir con resolver. Discutir es clasificar (SI, SCD, SCI); resolver es dar todas las soluciones.
Lo imprescindible del post
Clasificación
- Ninguna, una o infinitas soluciones: nunca exactamente dos.
- \(X_1\neq X_2\) soluciones \(\Rightarrow X_1+t(X_2-X_1)\) es solución para todo \(t\).
- SI, SCD, SCI. Discutir es clasificar; resolver es dar la solución general.
Estructura
- Soluciones de \(AX=B\) = \(X_p\) + soluciones de \(AX=0\).
- Homogéneo: nunca SI.
- Compatible y homogéneo con solo la trivial \(\iff\) SCD.
- Tres planos: punto, recta (haz), plano, o nada (prisma, paralelos).
Tres respuestas posibles
Un sistema lineal solo puede responder de tres maneras: «imposible», «esta es la solución» o «hay infinitas, y aquí está su fórmula». Y cuando hay infinitas, tienen siempre la misma forma: una solución particular más las soluciones del homogéneo.
Con esto cerramos el Bloque A. En el próximo post empezamos a resolver, por los sistemas más fáciles de todos: los escalonados, que se resuelven de abajo arriba.
Las rectas no saben cruzarse dos veces.
Siguiente: resolver sistemas escalonados →Como las carreteras rectas: se cruzan una vez, nunca, o son la misma. Lo de cruzarse dos veces se lo dejamos a las curvas.
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