Antes de un estreno, una compañía de teatro hace el ensayo general: la obra entera, de principio a fin, con vestuario y luces, como si hubiera público. Es donde aparecen los fallos que no se veían ensayando escenas sueltas. Este post es el ensayo general del Tema 2: dieciocho ejercicios que recorren todo el tema, del lenguaje de los sistemas a la factorización LU, y un simulacro de examen al final. Todos tienen pista y solución completa, ocultas hasta que las abras.
desliza para ver todo →
Los ejercicios siguen el orden de los bloques del tema. En cada bloque se indican los posts donde está la teoría que necesitas.
¿Qué te piden? ¿Qué herramienta usas?
La mitad de un examen consiste en reconocer qué te están pidiendo. Esta tabla resume la herramienta más eficaz para cada tipo de pregunta:
| Te piden… | Herramienta más eficaz | Post |
|---|---|---|
| ¿Es \(X_0\) solución? | Sustituir en todas las ecuaciones | 01 |
| Resolver un sistema escalonado | Sustitución hacia atrás. Las incógnitas sin pivote son parámetros | 04 |
| Resolver un sistema de números | Gauss sobre la ampliada \((A\,|\,B)\) | 05 |
| Discutir un sistema sin parámetros | Rouché–Frobenius: \(\operatorname{rg}A\), \(\operatorname{rg}(A|B)\) y \(n\), escalonando la ampliada | 06 |
| ¿Soluciones no triviales de \(AX=0\)? | \(\operatorname{rg}A<n\). Si es cuadrado, \(\det A=0\). Si \(m<n\), siempre | 07 |
| Forma de la solución general | \(X=X_p+X_h\): una particular más el homogéneo | 07 |
| Discutir un cuadrado con parámetro | Raíces de \(\det A\). En cada raíz, sustituir y calcular los dos rangos | 08 |
| Discutir con dos parámetros | Gauss con pivotes sin parámetro. La última fila decide | 08 |
| Discutir un no cuadrado con parámetro | Menores. Si \(m=n+1\): \(\det(A|B)\neq0\Rightarrow\) SI | 08 |
| Solución con \(\det A\neq0\) | \(X=A^{-1}B\). En \(2\times2\), la fórmula de la inversa | 09 |
| Una sola incógnita, o una fórmula con parámetro | Cramer: \(x_i=\Delta_i/\det A\) | 10 |
| Muchos \(B\) con la misma \(A\) | LU, o \((A\,|\,B_1\cdots B_k)\) con Gauss–Jordan | 09, 11 |
| ¿Existe la LU? | Menores principales \(\Delta_1,\dots,\Delta_n\) no nulos | 12 |
| Pivote cero | \(PA=LU\) y resolver \(LUX=PB\) | 12 |
Dieciocho ejercicios para dominar el tema
El lenguaje de los sistemas
POSTS 01–03Forma matricial y soluciones
Para el sistema \(\begin{cases}x+2y-z=3\\ 2x-y+z=1\\ x+y+z=2\end{cases}\): a) escríbelo en la forma \(AX=B\) y como combinación de columnas; b) comprueba si \((1,1,0)\) y \((0,2,1)\) son soluciones.
Ver pista
b) Una solución tiene que cumplir las tres ecuaciones. Basta que falle una.
Ver solución
a) \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\), \(X=(x,y,z)^t\), \(B=(3,1,2)^t\). Por columnas: \[x\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}.\]
b) \((1,1,0)\): \(1+2=3\) ✔, \(2-1=1\) ✔, \(1+1=2\) ✔. Es solución. \((0,2,1)\): \(0+4-1=3\) ✔, pero \(0-2+1=-1\neq1\). No es solución.
Con dos soluciones, infinitas
De un sistema \(AX=B\) con tres incógnitas solo sabes que \(X_1=(1,0,2)\) y \(X_2=(3,1,0)\) son soluciones. a) Encuentra una tercera solución. b) Encuentra una solución no trivial de \(AX=0\). c) ¿Qué puedes decir de \(\operatorname{rg}A\)?
Ver pista
La diferencia de dos soluciones de \(AX=B\) resuelve el homogéneo.
Ver solución
b) \(X_h=X_2-X_1=(2,1,-2)\), porque \(A(X_2-X_1)=B-B=0\), y no es nula.
a) Todas las \(X_1+tX_h=(1+2t,\ t,\ 2-2t)\) son soluciones. Por ejemplo, con \(t=2\): \((5,2,-2)\).
c) Como hay solución no única, el sistema es SCI, así que \(\operatorname{rg}A<3\). Es decir, \(\operatorname{rg}A\le2\).
Resolver
POSTS 04–05Un escalonado con dos parámetros
Resuelve \(\begin{cases}x+2y-z+w=4\\ z+3w=2\end{cases}\) e indica las incógnitas principales y las secundarias.
Ver pista
Los pivotes están en \(x\) y en \(z\). Las otras dos son parámetros.
Ver solución
Principales: \(x\), \(z\). Secundarias: \(y=s\), \(w=t\). De abajo arriba: \(z=2-3t\), y \(x=4-2s+z-w=6-2s-4t\).
\[(x,y,z,w)=(6-2s-4t,\ s,\ 2-3t,\ t).\]Comprobación con \(s=t=0\), \((6,0,2,0)\): \(6-2=4\) ✔, \(2=2\) ✔.
Gauss completo
Resuelve por Gauss: \(\begin{cases}x+y+2z=3\\ 2x+3y+z=2\\ 3x+y-z=4\end{cases}\).
Ver pista
Tras \(f_2-2f_1\) y \(f_3-3f_1\), el segundo pivote es 1. Usa \(f_3+2f_2\).
Ver solución
Con \(f_2-2f_1\) y \(f_3-3f_1\), las filas 2 y 3 de la ampliada son \((0\ 1\ {-3}\,|\,{-4})\) y \((0\ {-2}\ {-7}\,|\,{-5})\). Con \(f_3+2f_2\), la tercera es \((0\ 0\ {-13}\,|\,{-13})\).
De abajo arriba: \(z=1\), \(y=-4+3z=-1\), \(x=3-y-2z=2\). \((2,-1,1)\).
Comprobación: \(2-1+2=3\) ✔, \(4-3+1=2\) ✔, \(6-1-1=4\) ✔.
Una ecuación que sobra
Resuelve \(\begin{cases}x+y+z+w=4\\ x+2y+3z+4w=10\\ 2x+3y+4z+5w=14\end{cases}\) y da la solución en forma paramétrica.
Ver pista
Compara la tercera ecuación con la suma de las dos primeras.
Ver solución
La tercera es la suma de las dos primeras (también en \(B\): \(4+10=14\)), así que desaparece al escalonar. Con \(f_2-f_1\): \(y+2z+3w=6\).
Con \(z=s\) y \(w=t\): \(y=6-2s-3t\) y \(x=4-y-z-w=-2+s+2t\).
\[\begin{aligned}(x,y,z,w)=\ &(-2,6,0,0)\\ &+s(1,-2,1,0)\\ &+t(2,-3,0,1).\end{aligned}\]Comprobación de la particular \((-2,6,0,0)\): \(4\) ✔, \(-2+12=10\) ✔, \(-4+18=14\) ✔. Fíjate en la forma \(X_p+X_h\) del post 07.
Discutir
POSTS 06–08Clasificar sin resolver
Clasifica cada sistema \(AX=B\) con los datos que se dan: a) 4 ecuaciones, 3 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=3\), \(\operatorname{rg}(A|B)=4\). b) 3 ecuaciones, 5 incógnitas, \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=3\). c) \(A\) es \(4\times4\) con \(\det A=7\). d) Homogéneo \(3\times3\) con \(\det A=0\). e) Cuadrado con \(\det A=0\) y \(\Delta_1\neq0\) (Cramer).
Ver pista
Rouché–Frobenius. En d), un homogéneo nunca es incompatible. En e), recuerda el ejercicio 10.6.
Ver solución
a) SI. b) SCI con 2 parámetros. c) SCD para cualquier \(B\). d) SCI, con al menos 1 parámetro. e) SI: si hubiera solución, \(\Delta_1=x_1\det A=0\).
Un homogéneo con parámetro
¿Para qué valores de \(\lambda\) tiene soluciones no triviales \(\begin{cases}x+y+z=0\\ x+\lambda y+2z=0\\ x+2y+\lambda z=0\end{cases}\)? Resuélvelo en esos casos.
Ver pista
Calcula \(\det A\): sale un producto de dos factores sencillos.
Ver solución
Con \(f_2-f_1\) y \(f_3-f_1\): \(\det A=\begin{vmatrix}\lambda-1 & 1\\ 1 & \lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2-1=\lambda(\lambda-2)\). Hay no triviales si y solo si \(\lambda=0\) o \(\lambda=2\).
- \(\lambda=0\): \(x+y+z=0\), \(x+2z=0\), \(x+2y=0\). Con \(z=t\): \(x=-2t\), \(y=t\). Solución \(t(-2,1,1)\). Comprobación: \(-2+1+1=0\) ✔.
- \(\lambda=2\): \(x+y+z=0\) y \(x+2y+2z=0\) (dos veces). Restando, \(y+z=0\), así que \(x=0\). Solución \(t(0,-1,1)\).
Un parámetro, dos valores críticos
Discute según \(m\) y resuelve cuando sea compatible: \(\begin{cases}x+y+z=2\\ 2x+my+2z=4\\ x+y+mz=m\end{cases}\).
Ver pista
\(\det A=(m-1)(m-2)\). En cada valor crítico, sustituye y compara filas.
Ver solución
Con \(f_2-2f_1\) y \(f_3-f_1\), las filas son \((0\ \ m-2\ \ 0\,|\,0)\) y \((0\ \ 0\ \ m-1\,|\,m-2)\). Así que \(\det A=(m-2)(m-1)\).
- \(m\neq1,2\): SCD. \(y=0\), \(z=\dfrac{m-2}{m-1}\), \(x=2-z=\dfrac{m}{m-1}\). Comprobación con \(m=3\), \(\left(\tfrac32,0,\tfrac12\right)\): \(2\) ✔, \(3+1=4\) ✔, \(\tfrac32+\tfrac32=3\) ✔.
- \(m=1\): la tercera fila es \((0\ 0\ 0\,|\,{-1})\). SI.
- \(m=2\): la segunda fila es nula y la tercera da \(z=0\). SCI con 1 parámetro: \((2-t,\ t,\ 0)\).
Tres ecuaciones, dos incógnitas
Discute según \(a\): \(\begin{cases}x+y=3\\ 2x-y=0\\ x+ay=a+3\end{cases}\).
Ver pista
\(\operatorname{rg}A=2\) siempre. Calcula \(\det(A\,|\,B)\).
Ver solución
\(\begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=-3\neq0\): \(\operatorname{rg}A=2\). Desarrollando por la primera fila, \(\det(A|B)=\begin{vmatrix}1 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & a & a+3\end{vmatrix}=3(a-2)\).
- \(a\neq2\): \(\operatorname{rg}(A|B)=3\). SI.
- \(a=2\): SCD. Las dos primeras dan \((1,2)\), y la tercera se cumple: \(1+4=5\) ✔.
Dos parámetros por Gauss
Discute según \(a\) y \(b\), y resuelve en los casos compatibles: \(\begin{cases}x+y+2z=1\\ 2x+3y+5z=3\\ x+2y+az=b\end{cases}\).
Ver pista
Escalona: la última fila queda \((0\ 0\ a-3\,|\,b-2)\).
Ver solución
\(f_2-2f_1\): \((0\ 1\ 1\,|\,1)\). \(f_3-f_1\): \((0\ 1\ a-2\,|\,b-1)\). Y \(f_3-f_2\): \((0\ 0\ a-3\,|\,b-2)\).
- \(a\neq3\): SCD. \(z=\dfrac{b-2}{a-3}\), \(y=1-z\), \(x=1-y-2z=-z\).
- \(a=3\), \(b\neq2\): SI.
- \(a=3\), \(b=2\): SCI con 1 parámetro: \((-t,\ 1-t,\ t)\).
Comprobación del caso SCI con \(t=1\), \((-1,0,1)\): \(-1+2=1\) ✔, \(-2+5=3\) ✔, \(-1+3=2\) ✔.
Sistemas cuadrados
POSTS 09–10Cramer exprés
Resuelve por Cramer \(\begin{cases}3x-2y=1\\ 5x+4y=9\end{cases}\).
Ver pista
\(\det A=12-(-10)\).
Ver solución
\(\det A=22\), \(\Delta_x=\begin{vmatrix}1 & -2\\ 9 & 4\end{vmatrix}=22\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}3 & 1\\ 5 & 9\end{vmatrix}=22\). Así que \(x=y=1\). Comprobación: \(3-2=1\) ✔, \(5+4=9\) ✔.
Una parábola por tres puntos
Buscamos una parábola \(p(t)=x+yt+zt^2\) que pase por \((1,1)\), \((2,a)\) y \((3,a^2)\). a) Plantea el sistema para \(x,y,z\). b) Calcula solo \(z\) con Cramer. c) ¿Para qué \(a\) es la «parábola» en realidad una recta? Interprétalo.
Ver pista
a) Cada punto da una ecuación \(x+yt+zt^2=p(t)\). b) \(\det A\) es un determinante de Vandermonde (Tema 1).
Ver solución
a) \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+4z=a\\ x+3y+9z=a^2\end{cases}\).
b) \(\det A=(2-1)(3-1)(3-2)=2\) (Vandermonde con 1, 2, 3). Desarrollando por la primera columna, \(\Delta_3=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & a\\ 1 & 3 & a^2\end{vmatrix}=(2a^2-3a)-(a^2-3)+(a-2)\). Simplificando, \(\Delta_3=a^2-2a+1=(a-1)^2\), así que \(z=\dfrac{(a-1)^2}{2}\).
c) \(z=0\iff a=1\). Entonces los tres puntos son \((1,1)\), \((2,1)\) y \((3,1)\): están alineados, y la «parábola» es la recta \(p(t)=1\).
Dos sistemas con una inversa
Sea \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\). Calcula \(A^{-1}\) y úsala para resolver a la vez \(AX=(1,2,1)^t\) y \(AX=(2,4,3)^t\).
Ver pista
\(\det A=1\). Los dos sistemas son la ecuación matricial \(AX=C\) con \(C=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}\).
Ver solución
Por Gauss–Jordan (o por adjuntos):
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -2 & 1\\ -2 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}.\]\(X=A^{-1}C=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\): las soluciones son \((0,1,0)\) y \((1,1,1)\).
Comprobación: \(A(0,1,0)^t\) es la segunda columna de \(A\), \((1,2,1)^t\) ✔. \(A(1,1,1)^t\) es la suma de las filas: \((2,4,3)^t\) ✔.
Factorización LU
POSTS 11–12LU y dos términos independientes
Calcula la LU de \(A=\begin{pmatrix}2 & 4 & -2\\ 1 & 5 & 2\\ -1 & 1 & 6\end{pmatrix}\), su determinante, y resuelve \(AX=B\) para \(B=(0,3,5)\) y \(B=(-2,-1,3)\).
Ver pista
Multiplicadores de la primera columna: \(\tfrac12\) y \(-\tfrac12\).
Ver solución
\(f_2-\tfrac12f_1\): \((0,3,3)\). \(f_3+\tfrac12f_1\): \((0,3,5)\). \(f_3-f_2\): \((0,0,2)\).
\[L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ \tfrac12 & 1 & 0\\ -\tfrac12 & 1 & 1\end{pmatrix},\]\[U=\begin{pmatrix}2 & 4 & -2\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.\]\(\det A=2\cdot3\cdot2=12\).
\(B=(0,3,5)\): \(Y=(0,3,2)\), y después \(x_3=1\), \(x_2=0\), \(x_1=1\). \((1,0,1)\).
\(B=(-2,-1,3)\): \(Y=(-2,0,2)\), y después \(x_3=1\), \(x_2=-1\), \(x_1=2\). \((2,-1,1)\). Comprobación: \(4-4-2=-2\) ✔, \(2-5+2=-1\) ✔, \(-2-1+6=3\) ✔.
Menores principales con parámetro
Sea \(A=\begin{pmatrix}a & 1 & 0\\ 1 & a & 1\\ 0 & 1 & a\end{pmatrix}\). a) ¿Para qué valores de \(a\) es invertible y tiene LU? b) Calcula los pivotes en función de \(a\), sin escalonar. c) Compruébalo con \(a=2\).
Ver pista
\(\Delta_3\): desarrolla por la primera fila. Pivotes: \(u_{kk}=\Delta_k/\Delta_{k-1}\).
Ver solución
a) \(\Delta_1=a\), \(\Delta_2=a^2-1\) y \(\Delta_3=a(a^2-1)-a=a(a^2-2)\). Invertible con LU si y solo si \(a\notin\{0,\pm1,\pm\sqrt2\}\).
b) \(u_{11}=a\), \(u_{22}=\dfrac{a^2-1}{a}\) y \(u_{33}=\dfrac{a(a^2-2)}{a^2-1}\).
c) Con \(a=2\): \(2\), \(\tfrac32\) y \(\tfrac{2\cdot2}{3}=\tfrac43\). Son los pivotes de la tridiagonal del ejercicio 11.5 ✔.
Con permutación
Calcula \(PA=LU\) para \(A=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 4 & 2 & 3\end{pmatrix}\), deduce \(\det A\) y resuelve \(AX=(2,4,10)^t\).
Ver pista
\(\Delta_1=0\): intercambia las filas 1 y 2 antes de empezar, y reordena \(B\) igual.
Ver solución
Con \(P\) intercambiando las filas 1 y 2, \(PA=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 1\\ 4 & 2 & 3\end{pmatrix}\). Con \(f_3-2f_1\) queda \((0,0,1)\), y ya es triangular:
\[L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix},\]\[U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]\(\det A=(-1)^1\cdot2\cdot3\cdot1=-6\).
\(PB=(4,2,10)\). \(LY=PB\): \(Y=(4,2,2)\). \(UX=Y\): \(x_3=2\), \(3x_2=2-2\), así que \(x_2=0\), y \(2x_1=4-0-2\), así que \(x_1=1\). \((1,0,2)\). Comprobación: \(0+0+2=2\) ✔, \(2+0+2=4\) ✔, \(4+0+6=10\) ✔.
Simulacro de examen
TODO EL TEMAUn sistema, todas las herramientas
Considera el sistema \(\begin{cases}x+y+(a-1)z=1\\ y+z=0\\ (a+1)x-y-z=0\end{cases}\), con \(a\in\mathbb{R}\).
a) Discútelo según \(a\). b) Resuélvelo por Cramer en el caso compatible determinado. c) En el caso compatible indeterminado, escribe la solución como \(X_p+X_h\). d) Para \(a=0\), comprueba que \(A\) tiene LU, calcúlala y úsala para resolver el sistema y también \(AX=(2,2,0)^t\).
Ver pista
a) Sumando la segunda y la tercera ecuación desaparecen \(y\) y \(z\). b) Uno de los \(\Delta_i\) vale siempre 0. d) Mira \(\Delta_1\) y \(\Delta_2\).
Ver solución
a) Desarrollando por la primera columna, \(\det A=1\cdot(-1+1)+(a+1)\cdot\big(1-(a-1)\big)=(a+1)(2-a)\). Valores críticos: \(a=-1\) y \(a=2\).
- \(a\neq-1,2\): SCD.
- \(a=2\): sumando la segunda y la tercera ecuación queda \(3x=0\), así que \(x=0\). Pero entonces la primera dice \(y+z=1\), y la segunda \(y+z=0\). SI. (Con rangos: \(\operatorname{rg}A=2\), \(\operatorname{rg}(A|B)=3\).)
- \(a=-1\): la tercera ecuación es \(-y-z=0\), la segunda cambiada de signo. \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=2\): SCI con 1 parámetro.
b) \(\Delta_1=\begin{vmatrix}1 & 1 & a-1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1\end{vmatrix}=0\) (dos filas proporcionales). \(\Delta_2=a+1\) y \(\Delta_3=-(a+1)\). Por tanto: \[\begin{gathered}x=0,\\ y=\frac{a+1}{(a+1)(2-a)}=\frac{1}{2-a},\\ z=-\frac{1}{2-a}.\end{gathered}\] Comprobación con \(a=0\), \(\left(0,\tfrac12,-\tfrac12\right)\): \(\tfrac12+\tfrac12=1\) ✔, \(0\) ✔, \(-\tfrac12+\tfrac12=0\) ✔.
c) Con \(a=-1\) el sistema es \(x+y-2z=1\), \(y+z=0\). Con \(z=t\): \(y=-t\), \(x=1+3t\). \[X=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}.\] \(X_p=(1,0,0)\) y el homogéneo tiene soluciones \(t(3,-1,1)\): \(3-1-2=0\) ✔, \(-1+1=0\) ✔.
d) Con \(a=0\), \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\): \(\Delta_1=1\), \(\Delta_2=1\), \(\Delta_3=2\). Todos no nulos: tiene LU. Con \(f_3-f_1\) queda \((0,-2,0)\), y con \(f_3+2f_2\), \((0,0,2)\):
\[L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix},\]\[U=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.\]\(B=(1,0,0)\): \(Y=(1,\ 0,\ 0-1+0)=(1,0,-1)\). \(x_3=-\tfrac12\), \(x_2=0-x_3=\tfrac12\), \(x_1=1-x_2+x_3=0\). \(\left(0,\tfrac12,-\tfrac12\right)\), como en b) ✔.
\(B=(2,2,0)\): \(Y=(2,\ 2,\ 0-2+4)=(2,2,2)\). \(x_3=1\), \(x_2=2-1=1\), \(x_1=2-1+1=2\). \((2,1,1)\). Comprobación: \(2+1-1=2\) ✔, \(1+1=2\) ✔, \(2-1-1=0\) ✔.
Un circuito con una resistencia variable
Un circuito tiene dos mallas. La malla 1 contiene una pila de \(12\ \mathrm{V}\) y una resistencia de \(2\ \Omega\). La malla 2 contiene una resistencia de \(3\ \Omega\). Las dos mallas comparten una resistencia variable \(R\ge0\). Con corrientes de malla \(I_1,I_2\) en el mismo sentido, las leyes de Kirchhoff dan:
\[\begin{cases}(2+R)\,I_1-R\,I_2=12\\ -R\,I_1+(3+R)\,I_2=0\end{cases}\]a) Demuestra que el sistema es compatible determinado para todo \(R\ge0\). b) Calcula \(I_1\) e \(I_2\) por Cramer en función de \(R\). c) Estudia los casos límite \(R=0\) y \(R\to\infty\), e interprétalos físicamente.
Ver pista
a) Desarrolla \(\det A\): los términos en \(R^2\) se cancelan. c) Con \(R=0\), la rama compartida es un cable. Con \(R\to\infty\), es un circuito abierto.
Ver solución
a) \(\det A=(2+R)(3+R)-R^2=6+5R>0\) para todo \(R\ge0\). SCD siempre. (Solo fallaría con \(R=-\tfrac65\), que no tiene sentido físico.)
b) Por Cramer: \[\begin{aligned}I_1&=\frac{1}{6+5R}\begin{vmatrix}12 & -R\\ 0 & 3+R\end{vmatrix}=\frac{12(3+R)}{6+5R},\\ I_2&=\frac{1}{6+5R}\begin{vmatrix}2+R & 12\\ -R & 0\end{vmatrix}=\frac{12R}{6+5R}.\end{aligned}\]
c) \(R=0\): \(I_1=6\ \mathrm{A}\) e \(I_2=0\). La rama compartida es un cable, que «cortocircuita» la malla 2: toda la corriente vuelve por el cable, y la pila solo ve la resistencia de \(2\ \Omega\) (\(12/2=6\)).
\(R\to\infty\): \(I_1\to\tfrac{12}{5}\) e \(I_2\to\tfrac{12}{5}\ \mathrm{A}\). La rama compartida está abierta, y queda un único circuito con \(2+3=5\ \Omega\) en serie: \(12/5=2{,}4\ \mathrm{A}\), la misma corriente en las dos mallas.
Por la resistencia compartida circula \(I_1-I_2=\dfrac{36}{6+5R}\): \(6\ \mathrm{A}\) con \(R=0\), y tiende a 0 cuando \(R\) crece, como debe ser.
Los errores que más puntos cuestan en el Tema 2
- Comprobar una solución en una sola ecuación. Tiene que cumplir todas.
- Hacer operaciones que no son elementales. Por ejemplo, sustituir dos ecuaciones a la vez por combinaciones que dependen la una de la otra. Se pueden perder soluciones.
- Comparar el rango con el número de ecuaciones. Para decidir entre SCD y SCI se compara con el número de incógnitas, y los parámetros son \(n-r\).
- Concluir «incompatible» porque \(\det A=0\). Solo descarta el SCD. Hay que calcular \(\operatorname{rg}(A|B)\).
- Dividir por una expresión con parámetro. El caso en que se anula desaparece de la discusión.
- Estudiar los valores críticos con la fórmula general. Hay que volver al sistema y sustituir.
- Decir que un homogéneo es incompatible. Nunca lo es.
- Escribir \(X=BA^{-1}\). En \(AX=B\), la inversa va por la izquierda.
- Usar Cramer para discutir. Con \(\det A=0\) no sirve. Para eso está Rouché–Frobenius.
- Poner mal los signos de los multiplicadores en \(L\), u olvidar reordenar \(B\) con \(PA=LU\).
- No comprobar. Sustituir la solución en el sistema detecta casi cualquier error.
Ya sabes interrogar a un sistema
Has recorrido el tema entero: qué es un sistema y cómo se lee por filas y por columnas, por qué Gauss no cambia las soluciones, cómo se resuelve un escalonado, cómo se discute con Rouché–Frobenius (con y sin parámetros), qué tienen de especial los homogéneos, cómo se resuelven los cuadrados con la inversa y con Cramer, y cómo los ordenadores aprovechan el trabajo de Gauss con la LU.
Y todo se reduce a dos preguntas que ya sabes hacer: ¿aporta \(B\) algo nuevo a las columnas de \(A\)? (¿hay solución?) y ¿son independientes las columnas de \(A\)? (¿es única?). Si un ejercicio de esta batería se te ha resistido, vuelve al mapa del tema, busca su post y repásalo.
Un sistema lineal ya no es una lista de ecuaciones: es una pregunta sobre columnas que sabes responder.
Volver al mapa del Tema 2 →Como en el ensayo general: cada fallo que aparece hoy es uno que no aparecerá el día del estreno.
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